032 đề HSG toán 8 trực ninh 2017 2018

Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC E là giao điểm của BN và , DM F, là giao điểm của CM và DN.. 1 Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF / /BC.. 2 Gọi H là giao đ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN TRỰC NINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC : 2017-2018

MÔN TOÁN LỚP 8 Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018

Bài 1 (4,0 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x3 x2  14x24

b) x4 2018x2 2017x2018

2) Cho x y  và 1 xy  Chứng minh rằng:0.

2

0

x y



Bài 2 (3,0 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên x y thỏa mãn ,  y2 2xy 3x 2 0

b) Tìm các cặp số nguyên x y thỏa mãn ; 

2 2

2

1

4

y x

x

sao cho tích x y đạt giá

trị lớn nhất

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Tìm đa thức ( ),f x biết ( ) f x chia cho x  dư 10, chia cho 2 x  dư 24, chia cho2

x  được thương là 5x và còn dư

b) Cho p và 2 p  là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng 4 11 p  là hợp số

Bài 4 (8,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC có AD là tia phân giác của BAC Gọi

M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC E là giao điểm của BN và , DM F,

là giao điểm của CM và DN.

1) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF / /BC.

2) Gọi H là giao điểm của BN và CM Chứng minh ANB.  đồng dạng với NFA và

H là trực tâm AEF

3) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm

BI AO DM

KI  KO  KM 

Bài 5 (2,0 điểm)

a) Cho x0,y  và ,0 m n là hai số thực Chứng minh rằng

 2

m n



 b) Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn abc 1

Chứng minh rằng: 3  3  3 

2

ĐÁP ÁN Bài 1.

1)

     

2

2

a x x x

2) Với x y  và 1 xy  ta có:0

2

2 2

2 2

1 2

2

3 3

x y x y

xy x x y y

x y x y x y

xy x y xy x y x y xy

x y x x y y

xy x y x y

x y

xy x y









Vậy

2

0

x y



Bài 2.

a)

       

VT (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0

Với x 1 y 1

Với x 2 y 2

b)

Điều kiện x 0

1

2 2

y

x

Vì

1

2

y

x

Do đó xy  mà ,x y2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

x y

x y









Bài 3.

a)

Giả sử f x chia cho   x  được thương là 5x2 4  và dư ax b

Khi đó f x( )x2  4 5xxa b

Theo đề ta có:

7

2

17

b



2

f x  x   x  x

Vậy

2

f x  x  x

b) Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng p3k 1;p3k  với 1 k 1 + Nếu p3k thì 1 2p 1 6k  3 3 2 k 1

Suy ra 2p  là hợp số (vô lý)1

+Nếu p 3k  1,k  thì 1 4p 1 12k  3 3 4  k  1

Do k  nên 41 k   Do đó 41 3 p  là hợp số.1

Bài 4.

L O K

E

F H

N M

D

A

1) *Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông

+) Chứng minh AMD90 ;0 AND90 ;0 MAN 900

Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật

+)Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của MAN nên tứ giác AMDN là hình

vuông

*Chứng minh EF // BC

+) Chứng minh : (1)

FM DB

FC DC

DB MB

DC MA

MB MB

AM DN

MA DN

MB EM

DN ED

Từ        1 , 2 , 3 , 4 suy ra / /

EM FM

EF BC

ED FC 

2) Chứng minh ANB NFA

AN DN

AB AB

DN CN

AB CA

CN FN

CA AM

FN FN

AM AN

Từ (5) (6) (7) (8) suy ra AN FN ANB NFA c g c 

AB AN   

*chứng minh H là trực tâm tam giác AEF

Vì ANB NFAnên NBA FAN 

Mà BAF FAN   900  NBA BAF  900

Suy ra EH AF , Tương tự: FH  AE , suy ra H là trực tâm AEF

3) Đặt S AKD a S, BKD b S, AKB c.Khi đó:

3

S S S a b c a b c a b c

b a

a b 

Tương tự : 2 ; 2

c a  c b 

BI AO DM

KI  KO  KM 

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi ABD là tam giác đều, suy ra trái với giả thiết

Bài 5.

5a) Với x 0,y  và ,0 m n  ta có:

2

2

(1)

m n

m n

m y n x x y xy m n





nx my2 0

5b) Áp dụng bất đẳng thức  1 ta có:

(2)

a b c b c a c a b ab ac bc ab ac bc    

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:

1

1 1 1

ab ac bc ab ac bc ab bc ac

a b c

Hay

1 1 1 1 2

ab ac bc ab ac bc a b c

Mà

1 1 1

3

a b c   nên

3 2

ab ac bc ab ac bc     

2