5 điểm Cho biểu thức.. Rút gọn biểu thức A.. b Tìm giá trị nguyên của xđể A nhận giá trị nguyên.. a Chứng minh: DH vuông góc với BM.
Trang 1UBND HUYỆN A LƯỚI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn: TOÁN Năm học: 2017-2018 Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Câu 1 (5 điểm)
Cho biểu thức
1
A
a) Tìm xđể giá trị của A
được xác định Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của xđể A
nhận giá trị nguyên
Câu 2 (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x x( +2) ( x2 +2x+ + =2) 1 0
b)
2 4x 2 2x 1 2 0
y + + y− + + =
c)
2 4 6 2 16 72 2 8 20 2 12 42
Câu 3 (3 điểm)
1) Tìm số tự nhiên nđể
p
là số nguyên tố biết:
2) Tìm a b,
sao cho
3 2
f x =ax +bx + x−
chia hết cho đa thức 2
g x =x + −x
3) Cho
2 2
4a + =b 5ab
và 2a b> >0.
Tính
2 2 4
ab P
a b
=
−
Câu 4 (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD,
trên tia đối của tia CDlấy điểm M bất
kỳ (CM CD< )
, vẽ hình vuông CMNP(P nằm giữa B
và C), DP
cắt BM tại H, MP cắt BD tại K
a) Chứng minh: DH
vuông góc với BM.
b) Tính
Q
Trang 2c) Chứng minh:
2
MP MK DK BD DM+ =
Câu 5 (1,5 điểm)
1) Cho
, 0
x y>
Chứng minh rằng :
2 2
2 2 4 3
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( 2) ( 6) 12 2 24 3 2 18 2045
B xy x= − y+ + x − x+ y + y+
ĐÁP ÁN Câu 1.
a)
Giá trị của A
được xác định
2
2 3
0
x
x
≠
2 2
4
2
0
x x
x
x
≠ −
Ta có:
Trang 3( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
2
2 2
1
2
A
x
x
x
=
=
b)
1
2
x
x
mà 2 2x xM 1( )
2 2 1
1( )
x tm
=
Vậy
1
1 2
x
x
+
hoặc x = −1
Trang 4Câu 2.
a)
2
2
2 2
4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= −1
b)
( )
2 2
2
2 1 2 2.2 1 0
x
y
+
0
2x 1 0
x
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất ( ) (x y; = 0; 1− ) c)
2 4 6 2 16 72 2 8 20 2 12 42
(1) ĐKXĐ: x≠ −2;x≠ −4;x≠ −6;x≠ −8
Trang 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 8 4 8 6 48 8 48
( )
tm
=
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=0;x= −5
Câu 3.
1) Biến đổi được p=(n2 +1) (n−1)
Nếu n=0;1
không thỏa mãn đề bài
Nếu n=2
thỏa mãn đề bài vì p=(22 +1 2 1) ( − =) 5
Nếu n>3
không thỏa mãn đề bài vì khi đó
p
có từ 3 ước trở lên là 1;n− >1 1
và
2 1 1 1
Vậy n=2
thì
là số nguyên tố
2) * ( )g x =x2+ − =x 2 (x−1) ( x−2)
3 2
3 2
M
¡
- Thay 1 2
1; 2
x = x =
vào ( )1
ta có:
6 0
và 8a+4b+ =16 0⇒ =a 2
và b= −8
Trang 6Vậy
10 4
8
a
f x ax bx x g x
b
=
M
3)
Biến đổi được:
4a b 5ab 4a b a b b a
b a
=
Mà 2a b> > ⇒0 4a>2b b>
nên a b=
Ta có:
2
2 2
1
a P
a a
−
Vậy
2 2
4a + =b 5ab
và 2a b> >0
thì
1 3
P=
Trang 7Câu 4.
a) Chứng minh được : DH vuông góc với BM
Chứng minh được:
CD BC PC CM DCB BCM= = = =
( ) · 900
DPC BMC c g c BHP
b) Chứng minh được:
1
2
1 . 2
PDM BDM
DM PC
MP BD
BC DM BC S
∆
∆
Tương tự
DH = DB MK = S DH = DB MK = S
1
BDM
Q
S
c) Chứng minh: ∆MCP: ∆MKD g g( ) ⇒MP MK MC MD = (1) Chứng minh: ∆DBC: ∆DKM g g( )⇒DK BD DC DM = ( )2
Từ ( ) ( )1 & 2
Trang 8( ) 2
MP MK DK BD DM MC DC
MP MK DK BD DM
Câu 5.
1)
Học sinh chứng minh
2
x y
y + ≥x
với mọi
, 0
x y >
2 2
2 2
2 2
2 2
4 3
Dấu " "=
xảy ra
0
x y
⇔ = >
2)
( 2) ( 6) 12 2 24 3 2 18 2045
B xy x= − y+ + x − x+ y + y+
( )2
với mọi
(1)
x∈¡ ( )2
y + y+ = y+ ≥ ⇒ y + y+ ≥
với mọi
(2)
y∈¡
Trang 9Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 ⇒ ≥B 2.3 2009+ ⇒ ≥B 2015
*) 2015 1& 3
1
3
x MinB
y
=