199 đề HSG toán 8 danh thắng 2017 2018

TRƯỜNG THCS DANH THẮNG ĐỀ THI KHẢ SAT HỌC SINH GIỎI LẦN 2

Môn: Toán 8 – NH 2017-2018 Thời gian: 120 phút

Câu 1

1 Chứng minh rằng B x x 3( 2 7)2 36x chia hết cho 105 với mọi số nguyên x

2 Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:

2a + b 2b + c 2c + d 2d + a

a b b c d d Chứng minh A = abcd là số chính phương

3 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

2

x y y 2015 4031 x 2016      

4 Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5

Chứng minh rằng: a2 + b2  1 + ab

5

6

Đáp án

2)

a) 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a+ + 6

+ c  + a 

0

b(c - a) d(a - c)

0 ( )( + c) ( )( + a)

 b c d d a    d a b b c     abc acd bd  2 b d2 0

( b d ac bd )( ) 0

0,25

0,25

0,25

d 0 d

 ac b   ac b (vì b ≠ d)

Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

3.

+) Với a, b, c, d dương, ta có

2

  

F

b c c d d a a b

b c d a c d a b b c d a c d a b

a c a bc b d ab c a b c d ab a bc c

a b c d

b c d a c d a b

(theo bất đẳng thức 1 2

4

+) Mặc khác:

2(a b c d ab ad bc cd) (a b c d)

a b c d 2ac 2bd (a c) (b d) 0

          

Suy ra F 2  và đẳng thức xảy ra  a = c; b = d

+) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có:

2

x y y 2015 4031 x 2016      

Đẳng thức xảy ra  y = 2016; x = 2015

0,5

0,25 0,25

4.

Với 2 số a, b dương:

Xét: 2 2  

a b 1 ab  a2 + b2 – ab  1

 (a + b)(a2 + b2 – ab)  (a + b) ( vì a + b > 0)

 a3 + b3  a + b

 (a3 + b3)(a3 + b3)  (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )

 a6 + 2a3b3 + b6  a6 + ab5 + a5b + b6

 2a3b3  ab5 + a5b

0,5

0,5

0.5 0.5

 ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0

 ab a2 b2 2 0 đúng  a, b > 0

Vậy: 2 2 

a b 1 ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5

0,25

0,25

5.

6.

7.