97 HSG 16 HUYỆN hạ hòa BUI CAM

Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.. a Chứng minh rằng: AE AB... AH BC BE CF khôn

ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẠ HÒA NĂM HỌC 2015 - 2016 Câu 1: (3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x xy y+ + =9.

b) Với a b, là các số nguyên Chứng minh rằng nếu

4a + 3ab− 11b

chia hết cho 5 thì

4 4

a −b

chia hết cho 5

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Cho

( ) ( 12 31)

f x = x + x−

Tính f a( )với

3 16 8 5 3 16 8 5.

b) Cho a b x y, , , là các số thực thoả mãn:

2 2 1

x +y =

và

a + b =a b×

+

Chứng minh rằng:

2016 2016

1008 1008 1008

2 ( )

+

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình:

2

2x− +3 5 2− x=3x −12x+14

b) Giải hệ phương trình sau:

2 2 2

2

x xy







Câu 4: (7,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H ∈BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.

a) Chứng minh rằng: AE AB. = AF AC. . b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I A K, , thẳng hàng

c) Chứng minh tỷ số

3

AH

BC BE CF

không đổi

d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho x y z, , dương sao cho

6

x y+ y z +z x =

Tìm giá trị lớn nhất của

P

……….HẾT……….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẠ HÒA NĂM HỌC 2015

-2016 Câu 1: (3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x xy y+ + =9.

b) Với a b, là các số nguyên Chứng minh rằng nếu

4a + 3ab− 11b

chia hết cho 5 thì

4 4

a −b

chia hết cho 5

Lời giải

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x xy y+ + =9.

Ta có: x xy y+ + = ⇔9 x y( + + + =1) y 1 10⇔ +(x 1) ( y+ =1) 10

Vì x y, ∈¥ và 10 1.10 2.5= = nên ta có bảng sau:

1

1

Vậy ( ) (x y, = 0; 9 , 1; 4 , 4; 1 , 9; 0 ) ( ) ( ) ( ) b) Với a b, là các số nguyên Chứng minh rằng nếu

4a + 3ab− 11b

chia hết cho 5 thì

4 4

a −b

chia hết cho 5

Ta có:

4a +3ab−11b = 5a +5ab−10b − a +2ab b+ =5 a +ab−2b − +a b

4a + 3ab− 11b M 5 ⇒ a b+ M 5 ⇒ +a bM 5

Ta có: 4 4 ( 2 2) ( ) ( ) 4 4

5.

a −b = a +b a b a b+ − ⇒a −b M

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Cho

( ) ( 12 31)

f x = x + x−

Tính f a( )với

3 16 8 5 3 16 8 5.

b) Cho a b x y, , , là các số thực thoả mãn:

2 2 1

x +y =

và

a + b =a b×

+

Chứng minh rằng:

2016 2016

1008 1008 1008

2 ( )

+

Lời giải

a) Cho

( ) ( 12 31)

f x = x + x−

Tính f a( )với

3 16 8 5 3 16 8 5.

Ta có:

16 8 5 16 8 5

3 32 3 16 8 5 16 8 5 16 8 53 3 316 8 5

a

⇔ a3 =32 3.( 4).+ − a ⇔ a3 = 32 12 − a ⇔ a3 + 12a− 32 0 =

⇔ a3 + 12a− 31 1 = ⇒ f a( ) 1= 2015 =1 b) Cho a b x y, , , là các số thực thoả mãn:

2 2 1

x +y =

và

a + b =a b×

+

Chứng minh rằng:

2016 2016

1008 1008 1008

2 ( )

+

Ta có: 2 2 ( 2 2)2

x +y = ⇒ x +y =

mà

a + b =a b×

+

4 4 ( 2 2 2)

+

+

( ) 4 ( ) 4 ( 4 2 2 2 4)

b a b x a a b y ab x x y y

2 4 2 4 2 2 2 0

b x a y abx y

⇔ + − = ⇔(bx2−ay2 2) =0

Ta có:

+

2016 2016 2016 2016

1008 1008 1008 1008

(đpcm)

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình:

2

2x− +3 5 2− x=3x −12x+14

b) Giải hệ phương trình sau:

2 2 2

2

x xy







Lời giải

a) Giải phương trình: 2x− +3 5 2− x=3x −12x+14.

ĐKXĐ: 1,5≤ ≤x 2,5 +) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cốp xki, ta có:

2x− +3 5 2− x ≤2 2x− + −3 5 2x = ⇒4 2x− +3 5 2− x≤2

(1)

3x −12x+ =14 3 x −4x+ + =4 2 3 x−2 + ≥2 2

2

2x 3 5 2x 2 3x 12x 14

Suy ra

2

2x− +3 5 2− x =3x −12x+14 2

2 3 5 2 2

3 12 14 2



⇔ 



2 3 5 2

2 2

x x



=



(thỏa mãn) Vậy phương trình có một nghiệm x=2.

b) Giải hệ phương trình sau:

2 2 2

4 2 2 (1)

2 (2)

x xy







Lấy pt (1) trừ pt (2) vế với vế, ta được:

3

x y

=





 =



TH1: x= y Khi đó pt (1):

4x −2x = ⇔2 2x = ⇔2 x = ⇔ = ± ⇒ = ±1 x 1 y 1

TH2:

2 3

x= − y

Khi đó pt (1):

−

(vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( ) ( ) (x y, = 1; 1 , 1; 1 − − )

Câu 4: (7,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông

nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.

a) Chứng minh rằng: AE AB. = AF AC. .

b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I A K, , thẳng hàng

c) Chứng minh tỷ số

3

AH

BC BE CF

không đổi

d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó

Lời giải

a) Chứng minh rằng: AE AB. = AF AC. .

Xét ∆ABH vuông tại H có HE là đường cao

2

AE AB AH

(1) Xét ∆ACH

vuông tại H có HF là đường cao 2

AF AC AH

(2)

Từ (1), (2) suy ra AE AB AF AC. = . .

b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I A K, , thẳng hàng

Vì I đối xứng với H qua AB nên ·IAH =2HAE·

Vì K đối xứng với H qua AC nên KAH· =2HAF·

· · 2· 2· 2(· · ) 180 o

Vậy ba điểm I A K, , thẳng hàng

c) Chứng minh tỷ số

3

AH

BC BE CF

không đổi

Ta có :

AH =BH CH ⇒AH =BH CH =BE BA CF CA BE CF AH BC=

3

AH

AH BE CF BC

BE CF BC

d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó

Ta có:

PQFE

S = PE FQ EF+ = BC FE

mà

2

2 PQFE 8

Dấu “=” xảy ra ⇔ A

là điểm chính giữa của nửa đường tròn tâm ,

O

đường kính BC.

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho x y z, , dương sao cho

6

x y+ y z +z x =

Tìm giá trị lớn nhất của

P

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức

1 1 4

a b+ ≥a b

+

ta có:

3x 3y 2z 2x y z x 2y z 4 2x y z x 2y z

( ) ( ) ( ) ( )

4 x y x z x y y z 16 x y x z x y y z

3x 3y 2z 16 x y x z y z

Chứng minh tương tự, ta có:

3y 3z 2x 16 y z x y y z

3z 3x 2y 16 x z x y y z

Suy ra

4

P

Dấu “=” xảy ra

1 4

x= = =y z

……… HẾT………