97 hsg 16 huyện hạ hòa bui cam

Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.. a Chứng minh rằng: AE AB.. AH BC BE CF không

ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẠ HÒA NĂM HỌC 2015 - 2016 Câu 1: (3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x xy y  9.

b) Với a b, là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a2 3ab 11b2

chia hết cho 5 thì a4 b4 chia hết cho 5

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Cho f x( ) ( x312x 31)2015.

Tính f a( )với a 316 8 5 316 8 5.

b) Cho a b x y, , , là các số thực thoả mãn:x2y2 1 và

a  b a b  Chứng minh rằng:

2016 2016

1008 1008 1008

2

a b  a b 

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2x 3 5 2 x3x212x14.

b) Giải hệ phương trình sau:

2 2

2

2

x xy







Câu 4: (7,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A

chuyển động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.

a) Chứng minh rằng: AE AB. AF AC. .

b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I A K, , thẳng hàng

c) Chứng minh tỷ số

3

AH

BC BE CF không đổi

d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho x y z, , dương sao cho

6

x y  y z z x 

Tìm giá trị lớn nhất của

P

……….HẾT……….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HẠ HÒA NĂM HỌC 2015

-2016 Câu 1: (3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x xy y  9.

b) Với a b, là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a2 3ab 11b2

chia hết cho 5 thì a4 b4 chia hết cho 5

Lời giải

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x xy y  9.

Ta có: x xy y   9 x y 1  y 1 10 x1 y110

Vì x y  , và 10 1.10 2.5  nên ta có bảng sau:

1

1

Vậy x y ,  0; 9 , 1; 4 , 4; 1 , 9; 0       

b) Với a b, là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a2 3ab 11b2

chia hết cho 5 thì a4 b4 chia hết cho 5

Ta có:

4a 3ab11b  5a 5ab10b  a 2ab b 5 a ab 2b  a b

2

4a  3ab 11b  5  a b  5  a b  5

Ta có: a4  b4 a2 b2 a b a b     a4  b4  5.

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Cho f x( ) ( x312x 31)2015.

Tính f a( )với a 316 8 5 316 8 5.

b) Cho a b x y, , , là các số thực thoả mãn:x2y2 1 và

a  b a b  Chứng minh rằng:

2016 2016

1008 1008 1008

2

a b  a b 

Lời giải

a) Cho f x( ) ( x312x 31)2015.

Tính f a( )với a 316 8 5 316 8 5.

Ta có: a 316 8 5 316 8 5

     

3 32 3 16 8 5 16 8 5 16 8 53 3 316 8 5

a

 a3 32 3.( 4).  a  a3  32 12  a  a3 12a 32 0 

 a3 12a 31 1   f a ( ) 12015 1

b) Cho a b x y, , , là các số thực thoả mãn:x2y2 1 và

a  b a b  Chứng minh rằng:

2016 2016

1008 1008 1008

2

a b  a b 

Ta có: x2 y2  1 x2y22 1

mà

a  b a b 

4 4 ( 2 2 2)





  4   4  4 2 2 2 4

b a b x a a b y ab x x y y

2 4 2 4 2 2 2 0

b x a y abx y

     (bx2 ay2 2) 0

Ta có:



2016 2016 2016 2016

1008 1008 1008 1008

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2x 3 5 2 x3x212x14.

b) Giải hệ phương trình sau:

2 2

2

2

x xy







Lời giải

a) Giải phương trình: 2x 3 5 2 x3x212x14.

ĐKXĐ: 1,5 x 2,5

+) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cốp xki, ta có:

 2x 3 5 2 x2 2 2 x 3 5 2  x 4 2x 3 5 2 x2

(1) +) Ta có: 3x212x14 3 x2 4x4 2 3x 22 2 2

2

2x 3 5 2x 2 3x 12x 14

Suy ra 2x 3 5 2 x 3x212x14 2



 



2 2

x x





b) Giải hệ phương trình sau: 2

x xy







Lấy pt (1) trừ pt (2) vế với vế, ta được:

3

x y







 



TH1: xy

Khi đó pt (1): 4x2 2x2  2 2x2  2 x2  1 x 1 y1.

TH2:

2 3

x y

Khi đó pt (1):



(vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm x y ,  1; 1 , 1; 1    

Câu 4: (7,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A

chuyển động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.

a) Chứng minh rằng: AE AB. AF AC. .

b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I A K, , thẳng hàng

c) Chứng minh tỷ số

3

AH

BC BE CF không đổi

d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó

Lời giải

a) Chứng minh rằng: AE AB. AF AC. .

F E

A

Xét ABH vuông tại H có HE là đường cao

2

AE AB AH

Xét ACH vuông tại H có HF là đường cao

2

AF AC AH

Từ (1), (2) suy ra AE AB. AF AC. .

b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I A K, , thẳng hàng

K

I

F E

A

Vì I đối xứng với H qua AB nên IAH 2HAE

Vì K đối xứng với H qua AC nên KAH 2HAF

Vậy ba điểm I A K, , thẳng hàng

c) Chứng minh tỷ số

3

AH

BC BE CF không đổi

Ta có : AH2 BH CH.  AH4 BH CH2. 2 BE BA CF CA BE CF AH BC. . .  . . .

3

AH

AH BE CF BC

BE CF BC

d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó

PQFE

S  PE FQ EF  BC FE

mà

2

Dấu “=” xảy ra  A là điểm chính giữa của nửa đường tròn tâm

,

O đường kính BC

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho x y z, , dương sao cho

6

x y  y z z x 

Tìm giá trị lớn nhất của

P

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức

a b a b ta có:

3x 3y 2z 2x y z x 2y z 4 2x y z x 2y z

3x 3y 2z 16 x y x z y z

Chứng minh tương tự, ta có:

3y 3z 2x 16 y z x y y z

3z 3x 2y 16 x z x y y z

Suy ra

4

P

Dấu “=” xảy ra

1 4

x  y z

……… HẾT………