43 hsg h 20 chu se

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.. M là điểm di động trên đoạn thẳng AB, kẻ CM ^AB tại M C thuộc nửa đường tròn tâm O.. Xác định vị trí của điểm M đ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯ SÊ - NĂM HỌC 2019 – 2020

Câu 1: (6,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: M = 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ - + .

b) Giải phương trình:

2

3

- +

Câu 2: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( )d

có phương trình

(m- 4)x+(m- 3)y=1 (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến

đường thẳng ( )d

là lớn nhất

Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho

BPC = ° Chứng minh rằng: 2PB2+PC2=PA2

Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R M là điểm di động trên

đoạn thẳng AB, kẻ CM ^AB tại M (C thuộc nửa đường tròn tâm O) Gọi D và E

là hình chiếu vuông góc của M trên CA và CB Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của

AM và MB Xác định vị trí của điểm M để diện tích của tứ giác DEQP đạt giá trị lớn

nhất

Câu 5: (3,0 điểm)

a) Giả sử x y z, , là các số thực thỏa mãn điều kiện: x y+ + +z xy yz+ +zx=6.

Chứng minh rằng: x2+y2+z2³ 3.

b) Chứng minh trong 8 số tự nhiên có 3 chữ số bao giờ cũng chọn hai số mà khi viết liền nhau ta được một số có 6 chữ số chia hết cho 7

HẾT

-Liên hệ tài liệu word môn toán:

Câu 1: (6,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: M = 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ - + .

b) Giải phương trình:

2

3

- +

Lời giải

a) M = 4+ 5 3+5 48 10 7 4 3- + = 4+ 5 3 5 48 10 2+ - ( + 3)

28 10

-4 25 9 3

b) Điều kiện: x > - 1

1

x

x x

+ +

Đặt 2 1( 0)

1

x

- +

+ Phương trình trở thành:

1

6t 5

t

- =

( ) ( )

6

é = ê ê

-ê = ê

Với

( ) ( )

2

é =

= Þ + = Û + = Þ - = Û ê =ê

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0;x=2.

Câu 2: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( )d

có phương trình

(m- 4)x+(m- 3)y=1 (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến

đường thẳng ( )d

là lớn nhất

Lời giải

Liên hệ tài liệu word môn toán:

 Với mọi giá trị của m thì đường thẳng ( )d

không đi qua gốc tọa độ

 Với m =4, ta có đường thẳng ( )d y =: 1

Do đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d

 Với m =3, ta có đường thẳng x = - 1 Do đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường

thẳng ( )d

 Với m¹ 4;m¹ 3 thì đường thẳng ( )d

cắt trục Oy Ox; lần lượt tại

1 0;

3

A m

æ ö÷

ç

-è ø và

1 ;0 4

m

æ ö÷

ç

-è ø, suy ra

;

- Kẻ đường cao

OH ^AB H Î AB

1 1 1 m 3 m 4 2m 14m 25

2 2

2 4 2 2

= çç - + ÷+ ³

÷

Từ (1), (2) và (3) suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d

lớn nhất bằng

2 khi

7 2

m =

Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho

BPC = ° Chứng minh rằng: 2PB2+PC2=PA2.

Lời giải

Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB không

chứa điểm P , vẽ điểm P' sao cho DPBP ' vuông cân tại

B Khi đó

Xét DAP B' và DCPB có

 AB =BC (giả thiết);

Liên hệ tài liệu word môn toán:

P'

P

B A

 (cùng phụ với ;

 BP '=BP (theo cách vẽ).

Suy ra DAP B' = CPBD (cạnh – góc – cạnh).

· ' ·

AP B CPB

Mà CPB· +BPP· ' 180= ° Þ AP B· ' +BPP· '=180°

· ' · ' · ' 180 · ' 90

Do đó DAP P' vuông tại P' Theo định lý Py-ta-go, ta có

AP =AP +P P =PC + BP +BP =PC + BP

(do VAP B¢ =VCPB)

Vậy AP2=PC2+2BP2.

Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R M là điểm di động trên

đoạn thẳng AB , kẻ CM ^AB tại M (C thuộc nửa đường tròn tâm O) Gọi D và E

là hình chiếu vuông góc của M trên CA và CB Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của

AM và MB Xác định vị trí của điểm M để diện tích của tứ giác DEQP đạt giá trị lớn

nhất

Lời giải

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính

AB nên vuông tại C Từ đó tứ giác MDCE là

hình chữ nhật DE =CM Do đó

1 2

SD = S

Tam giác ADM có DP là trung tuyến nên

1 2

SD = SD

(2)

Tương tự, EQ là trung tuyến của DMEB nên

1 2

SD = SD

Từ (1), (2) và (3) ta có

S =SD +SD +SD = S +SD +SD = SD

Mà

2

ABC

SD = CM AB× £ CO AB× = × × =R R R

(khổng đổi)

Liên hệ tài liệu word môn toán:

D

E C

O

Suy ra

2 1 2

PDEQ

Dấu “ = ” xảy ra khi M º O.

Vậy S PDEQ

lớn nhất bằng

2 1

2R khi M º O.

Câu 5: (3,0 điểm)

a) Giả sử x y z, , là các số thực thỏa mãn điều kiện: x+ + +y z xy+yz+zx=6.

Chứng minh rằng: x2+y2+z2³ 3.

b) Chứng minh trong 8 số tự nhiên có 3 chữ số bao giờ cũng chọn hai số mà khi viết liền nhau ta được một số có 6 chữ số chia hết cho 7

Lời giải

a) Ta có

2 1 2 ; 2 1 2 ; 2 1 2

x + ³ x y + ³ y z + ³ z

và 2(x2+y2+z2) ³ 2(xy yz+ +zx)

Cộng vế theo vế 4 bất đẳng thức trên, ta được

3 x +y +z + ³3 2 x y z+ + +xy yz+ +zx

Theo đề bài, ta có x+ + +y z xy yz+ +zx=6 nên

( 2 2 2) 2 2 2

3 x +y +z + ³3 2.6Û x +y +z ³ 3

(điều phải chứng minh) b) Lấy 8 số chia cho 7, ta nhận được 8 số dư nhận được 7 trong 7 số sau: 0; 1; 2; 3; 4; 5;

6 Theo nguyên lý Di-rich-le thì có ít nhất 2 số có cùng số dư

Giả sử hai số abc và def là hai số khi chia cho 7 có cùng số dư là r Suy ra

7

abc= k+r và def =7m r+ Khi đó

abcdef = abc def+ = k r+ + m r+ = k+m + rM

Vậy ta có điều phải chứng minh

Liên hệ tài liệu word môn toán: