70 HSG 18 HAU GIANG PHUONG HOANG

a Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC.. Trên tia đối của tia MB lấy MD MB=.. Chứng minh ∆MCD đều.. Thí sinh không được sử dụng tài liệu.. Giám thị không giải thích gì th

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (2,5 điểm)

Tính giá trị biểu thức

3 2

A

x x x y

=

biết

x + y − xy xy x= − −

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

2

x+ =y

b) Tìm các số tự nhiên n sao cho

2 2 8

A n= + n+

là số chính phương

Câu 3: (4,5 điểm)

a) Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng

2 2 2

a b c

a b c

b + c + a ≥ + +

b) Giải hệ phương trình

2(1 )

2 0

x y xy

xy x y



 − + − =



Câu 4: (5,5 điểm)

Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O R; )

a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC (M ≠B C; )

Trên tia đối của tia MB lấy MD MB= Chứng minh ∆MCD đều

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S MA MB MC= + +

là lớn nhất Tính giá trị lớn nhất của S theo R

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a b c, , là độ dài ba cạnh của tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S

b c a c a b a b c

……….HẾT……….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (2,5 điểm)

Tính giá trị biểu thức

3 2

A

x x x y

=

biết

x + y − xy xy x= − −

Lời giải

ĐKXĐ: y≠ −1;x≠0;x≠3

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (2 ) ( ) ( )

( 3)

A

x x

x x y

−

Từ giả thiết

x + y − xy xy= − −x ( )2

Do đó

7 4

A= −

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

2

x+ =y

b) Tìm các số tự nhiên n sao cho

2 2 8

A n= + n+

là số chính phương

Lời giải

a) Với x, y 0≠ ta có

2

x+ =y

1 2

x y xy

+

2x 2y xy 0

⇔ + − = ⇔x y( − −2) 2(y− =2) 4 ⇔ −(x 2)(y− =2) 4

Lập bảng xét các ước của 4 ta có các nghiệm :

( ) (x; y ∈ −{ 2;1 ; 1; 2 ; 3;6 ; 4; 4 ; 6;3) ( − ) ( ) ( ) ( ) }

b) Đặt

2 2 8 2

n + n+ =a ⇔(a n− −1 ) (a n+ + =1) 7

với a nguyên dương

Vì a n+ + > − −1 a n 1

nên

Câu 3: (4,5 điểm)

a) Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng

2 2 2

a b c

a b c

b + c + a ≥ + +

b) Giải hệ phương trình

2(1 )

2 0

x y xy

xy x y



 − + − =



Lời giải

a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

2

2

a

b a

b + ≥

Tương tự ta có:

2

2 ;

b

c b

c + ≥ c2 a 2c

a + ≥

⇒ + + + + + ≥ + + a2 b2 c2 a b c

b c a

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

b) Từ phương trình xy x y− + − =2 0 ⇔ +1 xy= − +x y 3 Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

x y+ = x y− + ⇔ + =x y 2x− 2y+ = ⇔ = 6 0 x 3y− 6

Thay vào phương trình thứ hai ta được

( ) ( ) 2

3y −8y+ = ⇔4 0 3y−2 y− =2 0

Với y= ⇒ =2 x 0.

Với

2

4 3

Vậy hệ có nghiệm

( ; ) ( )0; 2 ; 4;2

3

Câu 4: (5,5 điểm) Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O R; )

a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC (M ≠B C; )

Trên tia đối của tia MB lấy MD MC=

Chứng minh ∆MCD đều

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S MA MB MC= + +

là lớn nhất Tính giá trị lớn nhất của S theo R

a) Kẻ đường cao AH Ta có

;

3

sin sin 60

R AH

B

°

b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên

CMD BAC= = °

MCD

∆

cân có

CMD= °

nên ∆CMD

là tam giác đều

c) Ta có ∆MCD

đều nên MC MD CD= =

Xét ∆AMC

và ∆BDC

có AC BC=

; MC CD=

; ·ACM =·BCD= ° +60 BCM· Nên ∆AMC= ∆BDC c g c( )⇒MA BD= .

Do đó:S MA MB MC MA MB MD MA BD= + + = + + = + =2MA

Vậy S lớn nhất khi MA là đường kính của đường tròn ( )O

hay M là điểm chính giữa cung nhỏ BC

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a b c, , là độ dài ba cạnh của tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S

b c a c a b a b c

Lời giải

Đặt

b c a x

c a b y

a b c z

+ − =



 + − =



 + − =



2 2 2

a y z

b z x

c z y

= +





⇒ = +

 = +



Ta có :

y z z x x y S

2

x y x z y z

1

2.3 2.4 2.3.4 19 2

Giá trị nhỏ nhất của S là 19 Đạt được khi và chỉ khi

a= b= c=

……… HẾT………