114 HSG 14 THANH OAI PHUONG HOANG

Tìm giá trị nguyên của xđể biểu thức M nhận giá trị là số nguyên.. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung đi

ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI - NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (6,0 điểm)

a) Cho

M

1 Rút gọn M

2 Tìm giá trị nguyên của xđể biểu thức M nhận giá trị là số

nguyên

b) Tính giá trị của biểu thức P

Câu 2: (4,0 điểm) Giải phương trình:

a) x3 x4 x5 x 6 24

b) 2x x  2 1 2x x 2 1

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Cho hai số dương x y, thoả mãn x y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) Cho x y z, , là các số dương thoả mãn

6

x y y z z x 

Chứng minh rằng:

3x 3y 2z3x 2y 3z2x 3y 3z 2

Câu 4: (5,0 điểm)

Cho đường tròn O R; và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn O R;  cắt các đường thẳng BC và BD

tại hai điểm tương ứng là E và F Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF

1 Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA

2 Gọi α là số đo của góc BFE Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì biểu thức Psin6cos6 đạt giá trị nhỏ

nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó

3 Chứng minh các hệ thức sau: CE DF EF CD  3 và

3 3

BE CE

BF  DF

Câu 5: (1,0 điểm)

Tìm n¥*sao cho: n4  n3 1 là số chính phương.

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG THANH OAI NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm)

a) Cho

M

1 Rút gọn M

2 Tìm giá trị nguyên của xđể biểu thức M nhận giá trị là số

nguyên

b) Tính giá trị của biểu thức P

Lời giải

ĐKXĐ: (*)

1) Rút gọn M : Với

:

M

:

:



2 1

x x





 Vậy (với ) (*)

2)

Biểu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi: 3Mx 1 x 1 U(3)

Ư(3) Vì x 0 x 0 x 1 1

(TMĐK (*) )

(không TMĐK (*) loại )

b)

Có

6 2 2 3 3 1 3 6 2 2 2 3 3 6 2 4 2 3 3

Với x Ta có 1

Vậy với x thì 1 P2014.

Câu 2: (1,0 điểm)

a) x3 x4 x5 x 6 24

b) 2x x  2 1 2x x 2 1

Lời giải

a) x 3 x 6 x 4 x  5 24 x2  9x 18 x2  9x 20 24 (1)

Đặt phương trình (1) trở thành :

y1  y 1 24 0  y225 0 y5  y 5 0

x2 9x 24 x2 9x 14 0

x 2 x 7 x2 9x 24 0

x 2 x 7 x2 9x 24 0

Chứng tỏ

Vậy nghiệm của phương trình : x 2;x 7.

b) Ta có

Phương trình trở thành :  x 1

Vậy nghiệm của phương trình : x1

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Cho hai số dương thỏa mãn: x y 1 Tìm GTNN của biểu thức:

b) Cho x, y là các số dương thỏa mãn:

6

x y y z z x 

Chứng minh rằng:

3x 3y 2z3x 2y 3z2x 3y 3z 2

Lời giải

a) (1,0 điểm)

4 4 2 2

2 2

2 2 2 2

x y

2 2

2 2

xy

Ta có:

* Ta có:

(1)

*

1

x y

4 4

xy

xy

(2)

Từ (1) và (2)

Vậy

M xy

xy

Dấu “=” xảy ra

1 16

xy

xy

x y

 



 



1

1 4

2

xy

x y

x y

 



 

 (Vì x y,  0)

Vậy

289 16

M

Min 

tại

1 2

x y

b) (1,0 điểm)

Áp dụng BĐT

a b  a b

 (với a b,  0)

4

Ta có: 3x 31y 2z 2x y z 1 x 2y z 14 2x y z1 x 21y z

       

16 x y x z y z

Tương tự:

Cộng vế theo vế, ta có:

3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 16 x y x z y z

Câu 4: ( 5,0 điểm)

Cho đường tròn O R;  và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn O R;  cắt các đường thẳng BC và BD

tại hai điểm tương ứng là E và F Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF

1) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA

2) Gọi α là số đo của góc BFE Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì biểu thức Psin6cos6 đạt giá trị nhỏ

nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó

3) Chứng minh các hệ thức sau: CE DF EF CD  3 và

3 3

BE CE

BF DF

Lời giải

1

1

I

H

Q P

O

D

C

E

B

1)BAlà đường cao của tam giác BPQsuy ra H thuộc BA

Nối OE, BEF vuông tại B; BA EF nên AB2  AE AF. .

E

AF

VậyAEO  ABQ (c.g.c) Suy ra ·ABQ AEO· mà ·ABQ P (góc có µ1

các cạnh tương ứng vuông góc) nên ·AEO Pµ1, mà hai góc đồng vị. Trong AEO có PEPA (giả thiết); PH OE// suy ra H là trung điểm của OA

2) Ta có:

  3 3

P      co 

sin2 cos2  sin4 sin2 cos2 cos4

P       

sin cos 3sin cos 1 3sin cos

Ta có:

4

Suy ra:

1 3sin cos 1

4 4

Do đó: min

1 4

P 

khi và chỉ khi: sin2 cos2 sin  cos (vì  là góc

nhọn)

sin



Khi đó CD vuông góc với AB

3) Ta có ACBvà ADB nội tiếp đường tròn  O có AB là đường kính nên ·ACB ADB·  90  ADBC là hình chữ nhật

Ta có: CD2 AB2 AE AF.

4 4 2 2

CD AB AE AF

   EC EB   DF BF  EC DF   EB BF  EC DF AB EF. . .

3

AB CE DF EF

Vậy CD3 CE DF EF .

Ta có:

2 2

BE EA EF A

BF  FA EF  AF 44 22 .

BE AE CE BE

BF AF DF BF

BF DF

Câu 5: (1,0 điểm)

Tìm n¥*sao cho: n4  n3 1 là số chính phương.

Lời giải

Giả sử n4 n3 1 là số chính phương vì 4 3 4  2 2

1

n   n n  n

 2

4 3 1 2 4 2 2 2 ( * )

3 2 2 2 1 2 2 2 1 0

Mà k2 1 Mn2 k2  1hoặc n2 k2  1

Nếu k2    1 k 1 n n2    2 0 n 2

Thử lại ( thỏa mãn)

Khi k 1 k2 k2 1 n2 k n

n k

   mâu thuẫn với điều kiện n n2 2kk2  1 0.

Vậy n2.

……… HẾT………