70 hsg 18 hau giang phuong hoang

a Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC.. Trên tia đối của tia MB lấy MD MB.. Chứng minh MCD đều.. Thí sinh không được sử dụng tài liệu.. Giám thị không giải thích gì th

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (2,5 điểm)

Tính giá trị biểu thức

3 2

A



biết x216y2 7xy xy  x 4

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

1 1 1

2

x y  b) Tìm các số tự nhiên n sao cho A n 2 2n 8 là số chính phương

Câu 3: (4,5 điểm)

a) Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng

2 2 2

a b c

b  c  a    b) Giải hệ phương trình

2(1 )

2 0

xy x y

  





   



Câu 4: (5,5 điểm)

Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn O R; 

a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC

b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC M B C;  Trên tia đối của tia MB lấy MD MB Chứng minh MCD đều

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S MA MB MC   là lớn nhất Tính giá trị lớn nhất của S theo R

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a b c, , là độ dài ba cạnh của tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S

b c a c a b a b c

     

……….HẾT……….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (2,5 điểm)

Tính giá trị biểu thức

3 2

A



biết x216y2 7xy xy  x 4

Lời giải

ĐKXĐ: y1;x0;x3

Ta có

       

   

    2

( 3)

A

x x



Từ giả thiết x216y2 7xy xy x   4  

2

Do đó

7 4

A 

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

1 1 1

2

x y  b) Tìm các số tự nhiên n sao cho A n 2 2n 8 là số chính phương

Lời giải

a) Với , y 0 ta có

1 1 1

2

x y 

1 2

x y xy



2x 2y xy 0

     x y  2 2(y 2) 4  (x 2)(y 2) 4  Lập bảng xét các ước của 4 ta có các nghiệm :

x; y   2;1 ; 1; 2 ; 3;6 ; 4;4 ; 6;3          

b) Đặt n2 2n  8 a2 a n 1  a n 17 với a nguyên dương

Vì a n   1 a n nên 1



Câu 3: (4,5 điểm)

a) Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng

2 2 2

a b c

b  c  a    b) Giải hệ phương trình

2(1 )

2 0

xy x y

  





   



Lời giải

a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

2

2

a

b  

Tương tự ta có:

2

2 ;

b

c  

2

2

c

a  

2 2 2

2 2 2

a b c

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a b c 

b) Từ phương trình xy x y   2 0   1 xy x y   3

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

2( 3)

x y  x y   x y  2x 2y   6 0 x 3y 6

Thay vào phương trình thứ hai ta được

2

3y  8y  4 0 3y 2 y 2 0

Với y 2 x0.

Với

2

4 3

y  x

Vậy hệ có nghiệm    

2

; 0; 2 ; 4;

3

x y   

 

a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC

b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC M B C;  Trên tia đối của tia MB lấy MD MC Chứng minh MCD đều

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S MA MB MC   là lớn nhất Tính giá trị lớn nhất của S theo R

Lời giải

H

D

O A

M

a) Kẻ đường cao AH Ta có

3 3

AO R

;

3

sin sin 60

R AH

B

b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên CMD BAC  60

MCD

 cân có CMD   60 nên CMD là tam giác đều

c) Ta có MCD đều nên MC MD CD 

Xét AMC và BDC có AC BC ; MC CD ; ACM BCD60 BCM

Nên AMCBDC c g c( ) MA BD

Do đó:S MA MB MC MA MB MD MA BD        2MA

Vậy S lớn nhất khi MA là đường kính của đường tròn  O hay M là điểm chính giữa cung nhỏ BC

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a b c, , là độ dài ba cạnh của tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S

b c a c a b a b c

     

Lời giải

Đặt

b c a x

c a b y

a b c z

  





  



   



2 2 2

a y z

b z x

c z y

 





   

  



Ta có :

9( ) 16( )

S

2

1

2.3 2.4 2.3.4 19 2

Giá trị nhỏ nhất của S là 19 Đạt được khi và chỉ khi

; ;

a b c

……… HẾT………