Trên tia HClấy điểm Dsao cho HD HA= .Đường vuông góc với với BC tại Dcắt ACtại E.. a Chứng minh hai tam giác BECvà ADC đồng dạng.. b Chứng minh tam giác ABE cân... c Gọi M là trung điểm
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HSG CAM LỘ - NĂM HỌC 2008-2009
Câu 1: (1,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
4 2009 2 2008 2009
Câu 2: (2,0 điểm)
Giải phương trình sau:
2 2 45 3 8 4 69
x+ + x+ = x+ + x+
Câu 3: (1,0 điểm)
a) Chứng minh rằng
4 4
3 3 2 2 2
b) Cho hai số dương a b, và a= −5 b
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
1 1
P
a b
= +
Câu 4: (2,0 điểm)
a) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện :
2008 2008 2007
2007 2006
Hãy tính tổng:
2009 2009
b) Chứng minh rằng :
2 3 5 13 48
6 2
=
+
là số nguyên
Câu 5: (1,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình sau:
2 3 1 0
xy− x− y+ =
Câu 6: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABCvuông tại Acó cạnh AC> AB
, đường cao AH H BC( ∈ )
Trên tia HClấy điểm Dsao cho HD HA=
.Đường vuông góc với với BC tại Dcắt ACtại E
a) Chứng minh hai tam giác BECvà ADC đồng dạng
b) Chứng minh tam giác ABE cân
Trang 2c) Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G Chứng minh rằng: AH HC
HD BC
GB
+
=
……….HẾT……….
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:
………
Trang 3LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG CAM LỘ - HÀ TĨNH NĂM HỌC
2008-2009 Câu 1: (1,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
4 2009 2 2008 2009
Lời giải
4 2009 2 2008 2009
(x2 x 1) (x2 x 2009 )
= + + − +
Câu 2: (2,0 điểm)
Giải phương trình sau:
2 2 45 3 8 4 69
x+ + x+ = x+ + x+
Lời giải
2 2 45 3 8 4 69
x+ + x+ = x+ + x+
⇔ + +÷ − =÷ + +÷ − ÷
15 2( 15) 3( 15) 4( 15)
( 15) 1 2 3 4 0
13 15 37 9
⇔ + + − − ÷=
15
x
⇔ = −
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng
4 4
3 3 2 2 2
b) Cho hai số dương a b, và a= −5 b
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
1 1
P
a b
= +
Lời giải
a)(1,0 điểm)
4 4
3 3 2 2 2
4 4 2 3 2 3 2 2 2
Trang 44 4 2 3 2 3 2 2 2 0
) 2
( ) 2
( 4 3 2 2 4 3 2 2
b a ab b
b a b a
⇔
0 ) (
) ( 2− 2+ 2− 2 ≥
⇔ a ab b ab
b)(1,0 điểm)
1 1 a b 5
P
+
P
+
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5
4 khi
5 2
a b= =
Câu 4: (3,0 điểm)
a) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện :
2008 2008 2007
2007 2006
Hãy tính tổng:
2009 2009
b) Chứng minh rằng :
2 3 5 13 48
6 2
=
+
là số nguyên
Lời giải
a) (1,0 điểm)
Ta có: a2008+b2008 =(a2007+b2007) (a b+ −) ab a( 2006+b2006)
1 a b ab
⇔ = + − ⇔ −(1 a)(1− =b) 0⇒ =a 1,b=1
Vậy S 1 1 2 = + =
b) (1,0 điểm)
2 3 5 13 48
6 2
=
+
2
2 3 5 (2 3 1)
6 2
=
+
2
2 3 ( 3 1)
6 2
=
+
2 2 3
6 2
+
=
2 ( 6 2)
1
6 2
+ = ∈
Câu 5: (3,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình sau:
2 3 1 0
xy− x− y+ =
Trang 5
Lời giải
( )
xy− x− y+ = ⇔ xy− y= x− ⇔ y x− = x−
Ta thấy x=3
không thỏa mãn, với x≠3
thì
5 2
3
y
x
= +
−
;
Để y nguyên thì x−3
phải là ước của 5; Suy ra: ( )x y,
= ( ) ( )4,7 ; 8,3
Câu 6: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABCvuông tại Acó cạnh AC> AB
, đường cao AH H( ∈BC)
Trên tia HClấy điểm Dsao cho
HD HA=
.Đường vuông góc với với BC tại Dcắt ACtại E a) Chứng minh hai tam giác BECvà ADC đồng dạng
b) Chứng minh tam giác ABE cân
c) Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G Chứng minh rằng: AH HC
HD BC
GB
+
=
Lời giải
a) (1 điểm)
Xét∆ADC
và ∆BEC
có:
( vì ∆CDE
∆CAB
)
µC
chung
Suy ra: ∆ADC
∆BEC
(c-g-c)
Trang 6b)(1 điểm)
Theo câu ta suy ra:
Ta có:
ADC EDC ADE= + = ° ⇒·BEC=135°
Suy ra:
· 45
Do đó: ∆ABE
cân (tam giác vuông có một góc bằng 45°
)
c) (1 điểm)
ABE
∆
cân tại E nên AM còn là phân giác của ·BAC
Suy ra:
, mà
(do∆ABC
∆DEC
)
Mà
DC = HC
(doED AH// ); Mặt khác :
HC = HC
Do đó:
+
……… HẾT………