Gọi F là hình chiếu của Otrên BC; H là hình chiếu của O trên AC.Lấy điểm I trên đoạn FCsao cho FI = AH.. Gọi K là giao điểm của FH và AI.
Trang 1TRƯỜNG THCS
GIAO TÂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017
Môn: TOÁN 7
Bài 1 (4 điểm)
1 Rút gọn
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
2 Tìm số tự nhiên nthỏa mãn điều kiện:
2.2 +3.2 +4.2 + + n−1 2n− +n.2n =2n+
Bài 2 (5 điểm)
1 Tìm các số
, ,
x y z
biết:
2 Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên
, ,
x y z
thỏa mãn : 2017
x y− + − + − =y z z x
Bài 3 (3 điểm)
Chứng minh rằng:
2 2+ + + + +2 2 2 2+ +2
chia hết cho 31
Bài 4 (3 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) (2 )2
P= x− y − y− x − xy−
Bài 5 (5 điểm)
Cho ∆ABC
có 3 góc nhọn, AB AC BC< < .
Các tia phân giác của góc A
và góc C cắt nhau tại O Gọi F
là hình chiếu của Otrên BC; H
là hình chiếu của O trên AC.Lấy điểm I
trên đoạn FCsao cho FI = AH.
Gọi K
là giao điểm của FH
và AI.
Trang 2a) Chứng minh ∆FCH
cân b) Chứng minh AK KI=
c) Chứng minh 3 điểm B O K, ,
thẳng hàng
Trang 3ĐÁP ÁN Bài 1.
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100
1
100 2 2 3 97 98 98 99 99 100
A
A
A
A
= − − + − + + − + − + −
1
100 100 50
A
÷
−
= − − ÷=
1.2) 2.22 +3.23+4.24 + +(n−1 2) n− 1+n.2n =2n+ 34
(1)
Đặt
3 4
2.2 3.2 4.2 1 2 2
2 2 2.2 3.2 4.2 1 2 2
2 2.2 3.2 4.2 1 2 2
2 2.2 3.2 4.2 1 2 2
2.2 3.2 4.2 1 2 2
2 2
B
−
− + +
−
= − − −
2 2 2 2.2
2 2 2 2 2 2
n n
+ +
Đặt
1 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
n
n
C
C
C C
C
+ +
+
= + + + +
= −
Khi đó B= −(2n+1−23) +n.2n+1−23
2n+ 2 n.2n+ 2 2n+ n.2n+ n 1 2n+
Trang 4Vậy từ (1) ta có: (n−1 2) n+1=2n+34
n
n
+
Vậy
33
2 1
n= +
Bài 2.
1 Xét
0 0, 0 2 4 0
x= ⇒ =y z = ⇒ y+ z =
(vô lý) Suy ra
0; 0; 0
x≠ y≠ z≠
Khi đó từ đề suy ra :
2y 4x 4z 6y 6x 2z 2 4 6
2
Đặt
2 4 6 1
0
k
x = = =y z k ≠
thì
Suy ra :
2 ; 4 ; 6
x = k y = k z = k
và
2 2 2 28 (3)
x + y + =z k
Thay
2 , 4 , 6
x= k y = k z= k
vào (3) ta được:
2
0( )
( ) 2
k ktm
=
=
Với
1
1; 2; 3 2
k = ⇒ =x y = z=
Vậy
1, 2, 3
x= y= z=
Trang 52.2 Ta có: x y− + − + − = − + −y z z x x y (x y) + − +y z ( y z− + − + −) z x (z x)
Với mọi số nguyên xta lại có
x x
x
≥
Suy ra
x +x
luôn là số chẵn với mọi số nguyên x
Từ đó ta có:
− + −
− + −
− + −
là các số chẵn với mọi số nguyên
, ,
x y z
Suy ra x y− + −(x y) + − +y z ( y z− + − + −) z x (z x)
là một số chẵn với mọi số nguyên
, ,
x y z
Hay
x y− + − + −y z z x
là một số chẵn với mọi số nguyên
, ,
x y z
Do đó, không thể tìm được số nguyên
, ,
x y z
thỏa mãn:
x y− + − + −y z z x
=2017
Bài 3.
Đặt
2 2 2 2 2 2 2
D= + + + + + + +
(có 100số hạng)
(2 22 23 24 25) (26 27 28 29 210)
(296 297 298 299 2100)
(có 20 nhóm)
2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2.31 2 31 2 31
D
D
31 2 2 2
chia hết cho 31 Vậy
2 2 2 2 2 2 2
D= + + + + + + +
chia hết cho 31
Bài 4.
Trang 6Ta có: ( ) (2 )2
P= x− y − y− x − xy −
2
Ta thấy ( )2
2x−5y ≥0
với mọi
,
x y
nên ( )2
8 2x−5y ≥0
với mọi
,
x y
90 0
xy− ≥
với mọi
,
x y
Khi đó ( )2
8 2x−5y + xy−90 0≥
với mọi
,
x y
Suy ra
8 2x 5y xy 90 0
− − + − ≤
với mọi
,
x y
Hạy P≤0
với mọi
,
x y
Dấu " "=
xảy ra khi
2 5 0
5 2
x y
− =
Đặt 5 2
x y
k
= =
ta được
5 , 2
x= k y= k
Mà
90
xy=
nên
3
k
k
=
Nếu
3 15, 6
k = ⇒ =x y=
Nếu
k = − ⇒ = −x y= −
Vậy
15; 6 0
MaxP
Bài 5.
Trang 7a) Chứng minh
Ta có
· · 90 (0
CHO CFO= =
vì
OH ⊥ AC OF ⊥ BC
Xét ∆CHO
vuông và ∆CFO
vuông có: OCchung;
HCO FCO OC=
là phân giác Cµ ) Vậy ∆CHO= ∆CFO
(cạnh huyền – góc nhọn)
CH CF
(hai cạnh tương ứng) Vậy ∆FCH
cân tại C b) Qua I
vẽ IG/ /AC G FH( ∈ )
Ta có ∆FCH
cân tại C (cmt)
· · (1)
CHF CFH
Mà
· ·
CHF FGI=
(đồng vị,
/ / ) (2)
IG AC
Từ (1) và (2)
· ·
CFH FGI
hay
· ·
IFG IGF=
, Vậy ∆IFG
cân tại I
FI GI
, mặt khác : FI = AH
nên
( )
GI = AH =FI
Trang 8Ta lại có :
IGK = AHK HAK GIK=
(so le trong ,
/ / )
IG AC
Xét ∆AHK
và ∆IGK
có:
· · ( ); ( );· · ( )
IGK = AHK cmt GI =AH cmt HAK GIK cmt=
AHK IGK gcg AK KI dfcm
c) Vẽ OE ⊥ AB
tại E, Chứng minh được BO là tia phân giác của
· (*)
ABC
Chứng minh được AB BI=
Chứng minh được:
· · ( )
ABK IBC c c c ABK IBK
Từ đó suy ra BK
lầ tia phân giác của
· ( )**
ABC
Từ (*) và (**) suy ra tia BK BO,
trùng nhau Hay B O K, ,
là ba điểm thẳng hàng