Bài 1 bất đẳng thức câu hỏi

Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng mệnh đề đúng.. Chứng minh bất đẳng thức A B với điều kiện nào đó nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với tất cả các g

Bài 1 BẤT ĐẲNG THỨC

• Chương 4 BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I Định nghĩa

Định nghĩa 1 Cho a b, là hai số thực Các mệnh đề "a b ", "a b " được gọi là những bất đẳng thức

Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng (mệnh đề đúng)

Với A B, là mệnh đề chứa biến thì "A B " là mệnh đề chứa biến

Chứng minh bất đẳng thức A B (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến

đúng với tất cả các giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện đó) Khi ta nói có bất đẳng thức mà

"A B "

không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến số là số thực

II Tính chất

a) a b và b c  a c

b) a b  0 a  b

c) a b    a c b c

d) a b  0 a2 b2

e) a b và c d    a c b d

f) a b  0 a nb n

g) Nếu c 0 thì a b ac bc

h) Nếu c 0 thì a b ac bc

III Bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối

a)   a a a với mọi số thực a

b) x     a a x a ( với a 0)

c)   (với )

    x a

x a

IV Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ( Bất đẳng thức Cauchy).

a) Đối với hai số không âm Cho a0,b0, ta có bất đẳng thức

2

a b ab



Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b

Hệ quả.

-Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

-Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

b) Đối với ba số không âm Cho a0,b0,c0, ta có bất đẳng thức 3

3

a b c  abc



Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c 

PHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp: Để chứng minh bất đẳng thức A B ta có thể sử dụng các cách sau:

-Ta đi chứng minh A B 0 Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phan tích A B thành tổng hoặc tích của các biểu thức không âm

Trang 2

-Xuất phát từ bất đẳng thức đúng, biến đổi tương đương về bất đẳng thức cần chứng minh

Câu 1. Cho a b, là các số thực Chứng minh rằng

a)  2  2 b)

2

a b

2

2

a b ab

Câu 2. Cho a b, là hai số thực thỏa mãn a b Chứng minh rằng

a) 4 a 3b3a b 3 b) a33a 4 b33b

Câu 3. Cho a b, là các số thực Chứng minh rằng

a) a4b44ab 2 0

b) 2a4 1 b2 12 2ab12

Câu 4. Cho a b, là các số thực thỏa mãn ab 1 Chứng minh rằng 21 21 2

Câu 5. Cho a b, là các số thực dương Chứng minh rằng

  2 2

1



Câu 6. Cho a b c, , là các số thực Chứng minh rằng

a) 3 a 2b2c2a b c  2b)    2     

3

Câu 7. Chứng minh rằng

a) a b c   ab bc ac với a b c, , là các số thực dương

b) a2b2  c2 3 2a b c   với a b c, , là các số thực

Câu 8. Cho số thực a b c, , thỏa mãn a2 b2c2 1.Chứng minh rằng

2(1   a b c ab bc ac  )abc0

Câu 9. Cho a b c d e, , , , là các số thực a2b2 c2 d2e2 a b c d e    

Dạng 2 Phương pháp biến đổi hệ quả

Câu 1 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng nếu a b thì a a c

b b c







Câu 2. Cho a b c d, , , là các số thực dương Chứng minh rằng

a b c b c d c d a d a b

Câu 3. Cho x y z, , là các số thực không âm Chứng minh

x xy y  y zy z  x xz z  x y z 

Câu 4. Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng

a b ab c b cb a c ac 

Câu 5. Chứng minh rằng x6x4x2 1 x5x3x, với mọi x R

Câu 6. Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có

a)



1.2 2.3 n n 1

b) 12  12   12 2

Câu 7. Chứng minh với mọi số nguyên dương , ta cón

a) 1  1   1 2 1

b) 1 3 2 . 1 1

n

Câu 8. Cho tam giác ABC có cạnh a b c, , Chứng minh rằng

a) Nửa chu vi lớn hơn độ dài mỗi cạnh

b) a2b2 c2 2ab bc ca  

Dạng 3: Phương Pháp Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cô – Si

- Cho a b, là hai số không âm Ta có hoặc

2

a b

ab

2

a b

ab   

  

- Cho a b c, , là ba số không âm Ta có 3 hoặc

2

a b c

abc

2

a b c abc    

Câu 1 Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x y 1 Chứng minh rằng

a) 1 49

x y

    

2 2

2

Câu 2. Cho a b, là số thực dương thỏa mãn a2 b2 2 Chứng minh rằng

a)     

a b a2 b2  4

b a b a

b) a b 5 16ab 1a21b2

Câu 3. Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 Chứng minh rằng

2

Câu 4. Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x2y2 1 Chứng minh rằng

x  y y  x 

Câu 5. Cho a b, là các số thực thuộc đoạn 0;1 Chứng minh rằng 1 1   8

27

Câu 6. Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a b 4 Chứng minh rằng

4

Câu 7. Cho x y, là hai số thực dương thỏa mãn x y x y  xy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P x y 

Câu 8. Cho x y z, , là hai số thực dương thỏa mãn 2 xy xz1 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3yz 4xz 5xy P

Câu 9. Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng

a)       

b) a21b2 b2 1c2 c2 1a26abc

c) 1a1b1 c 13 abc3

d) a bc b ac c ab a2  2  2  3b3c3

Trang 4

Câu 10 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn a b c a b c  1 Chứng minh rằng

a) a 1 b 1 c 1 6 0

Câu 11 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn a b c a b c  1 Chứng minh rằng

1

b b c c a a 

b) 1 4 9 36

a b c  

Câu 12 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn a b c a b c  3 Chứng minh rằng

a) 2 2 2 2 2 2 3

2

a b b c c a 

2

b  c  a 

Câu 13 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn a b c a b c  3 Chứng minh rằng

a) 8a b b c c a       3 a3b3c

b) 3 2 a3 2 b3 2 cabc

Câu 14 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn a b c a b c  3 Chứng minh rằng

b) 2 3 2 3 2 3 1

a b b c c a 

Câu 15 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn a b c a2b2c2 3 Chứng minh rằng

3 3 3 3 3 3

3

a b b c c a

abc

c  a  b 

b) ab bc ca 3

c  a  b 

Câu 16 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn a b c a2b2c2 3 Chứng minh rằng

3 2

3

Câu 17 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn a b c abc1 Chứng minh rằng

b c a

3 2

a b c b c a c a b 

Câu 18 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn a b c abc1 Chứng minh rằng

a b b c c a 

3 3

Câu 19 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca1 Chứng minh rằng

2

a b b c c a  

Câu 20 Cho a, b, là các số thực đôi một khác nhau thuộc đoạn c  0; 2 Chứng minh rằng

  2  2 2

4

a b  b c  c a 

Dạng 4 Phương pháp áp dụng bất đẳng thức bun-nhi-a-cốp-xki

a) Bất đẳng thức bi-nhi-a-cốp-xki cho 4 số:

Với 4 số x y ta có:

a b

   2 2 2 2  2

a b x y  ax by

Dấu đẳng thức xảy ra bx ay x ynếu

a b

    a b, 0 b) Bất đẳng thức bi-nhi-a-cốp-xki cho 6 số:

Với 4 số x y z ta có:

a b c

a b c x y z  ax by cz 

Dấu đẳng thức xảy ra bx ay x y z nếu

cx az a b c





     a b c, , 0

Câu 1 Cho hai số x y, là hai số thỏa 4x29y2 45 Chứng minh 6x3y 15 Khi nào đẳng thức xảy ra?

Câu 2. Cho x y, là hai số thỏa mãn 6x12y5 Chứng minh: 4x29y2 1

Câu 3. Cho a b c, , là ba số thỏa a23b29c2 1 Chứng minh 2a2 3b3 5c3

Câu 4. Cho , là hai số thực dương thỏa mãn đẳng thức a b a2b2 1.Chứng minh rằng:  2

a b 

Câu 5. Cho a b c, , là những số thực dương thỏa mãn đẳng thức a b c  1 Chứng minh rằng:

6

a b  b c  c a 

Câu 6. Cho x0, y0 và x2y2  x y Chứng minh: x3y 2 5

Câu 7. Cho các số thực x y z, , 1 thỏa mãn 1 1 1 2 Chứng minh

x  y z

x y z   x  y  z

Câu 8. Cho , , là những số thực dương thỏa mãn x y z x y z  1, chứng minh rằng:

82

Dạng 5 Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số y f x  xác định trên tập Khi đóD

m x

:

D

f x M x

f x

D f



 

 







m n

:

D

f x m x

f x

D f

  



 

 







- Ta sử dụng tính chất và bất đẳng thức (Cauchy, Bunhiacopxki, vectơ,…) để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

a)   2 2

A x  x

B x y  y  y xy

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau

a) A 5 3 x x x 8

Trang 6

2

2 2

2

4

a

B ab  bc ca  b c

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

a) A   x 2 x 5

b) B       x 3 x 1 x 1 x 3

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 1  x 1 x2 1  x1

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) yx3 5 x với   3 x 5

b) y x 1 4x

Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a)   2 với

1

f x x

x

 

b)   2 với

2

g x x

x

 

Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) f x( ) | x 1|, với b)

2

2 ( )

1







x

f x

x

Câu 8. Với 0 x 1, tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

1

 



f x

5 ( )

1



x

f x

x x

Câu 9. Với x0, tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

3

x

x



 a0 b0

Câu 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y4x3x4 với 0 x 4

Câu 11 Cho , , , là các số thực Chứng minh rằnga b c d

(ab c d) (a c )(b d )

Từ đó áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2, biết , thỏa mãn

Câu 12 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh (cm) Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau a

(như hình vẽ) và gấp lại được thành một chiếc hộp không nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất

Câu 13 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

  2004 2006 2

PHẦN 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Nếu m0, n0 thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A m n B n m– 0 C –m–n D m n– 0

Câu 2. Nếu a b, và là các số bất kì và c a b thì bất đẳng nào sau đây đúng?

A ac bc B a2 b2 C a c b c   D c a c b  

Câu 3. Nếu a b và c d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

c d a c b d   ac bd a c b d  

Câu 4. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?

A 6a3a B 3a6a C 6 3 a 3 6a D 6  a 3 a

Câu 5. Nếu a b c, , là các số bất kì và a b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A 3a2c3b2c B a2 b2 C ac bc D ac bc

Câu 6. Nếu a b 0, c d 0. thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

A a c b d   B ac bd C a b D

b  c

Câu 7. Cho hai số thực a b, tùy ý Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A a b+ = +a b B a b+ £ +a b C a b+ < +a b D a b+ > +a b

Câu 8. Cho hai số thực a b, tùy ý Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A a b- £ +a b B a b- = +a b

C a b- = -a b D a b- > -a b

Câu 9. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực ?x

A x x> B x>-x C x2>x2 D x x³

Câu 10 Nếu a b, là những số thực và a £ b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A a2£b2 B 1 1 với

a £ b ab ¹0

C - £ £b a b D a b£

Câu 11 Cho a> 0 Nếu x a< thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

a

x >

Câu 12 Cho a³1,b³1 Bất đẳng thức nào sau đây không đúng?

A a³2 a-1 B ab³2a b-1

C ab<2b a-1 D 2 b- £1 b

Câu 13 Nếu x7 thì biểu thức P 3 2 có giá trị lớn nhất là số nào?

x

 

Trang 8

7

15 7

17 7

19 7

Câu 14 Nếu 0 x 9 thì biểu thức P 5 1 có giá trị nhỏ nhất là số nào?

x

 

9

9

9

9



Câu 15 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức f x( ) 4x 2 3x 1 là số nào?

16

5 16

7 16

9 16

Câu 16 Giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) 3x210x 5 là số nào?

3

11

13 3

Câu 17 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 26 x với x R là:

Câu 18 Cho biểu thức P=- +a a vớia ³0 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A Giá trị lớn nhất của P là 1 B Giá trị nhỏ nhất của P là

4

1 4

C Giá trị lớn nhất của P là 1 D P đạt giá trị nhỏ nhất tại

2

1 4

a =

Câu 19 Giá tị lớn nhất của hàm số y x 1 trên đoạn 2;0 là:

Câu 20 Cho các số thựcx y, thoả mãn 0 25.Gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức

x y

 



  

.Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

2

F  x y y x

A M15; 20 B M21; 26 C M27;32 D M33;38

Câu 21 Cho c>0 và a c b c ,  Giá trị lớn nhất của biểu thức F  c a c( ) c b c( ) là:



Câu 22 Cho x2017.Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  20172 là với và là phân

2017

x x

b a b Q,  a

b

số tối giản.Tổng a b là:

Câu 23 Cho x8y0.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 là:

F x

y x y

 



Câu 24 Giá trị lớn nhất của hàm số f x( )x3(2x)5 trên đoạn  0;2 là:

A 84375 B C D

65536

84376 65537

84375 65537

84376 65536

Câu 25 Chox 0;3 ,y 0; 4 Giá trị lớn nhất của biểu thức (3 )(4 )(2 3 ) bằng:

2

y

F x y x

3

77 4

47 2

45 2

Câu 26 Chox3,y4,z2.Giá trị lớn nhất của biểu thứcF xy z 2 yz x 3 zx y 4 thuộc

xyz

 khoảng:

2

x y y z z x  x2y2z2

nửa khoảng

2

1

;1 2

3 1;

2

3

; 2 2

Câu 28 Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thứcG x( ) 0,025 (30 x2 x) trong đó

là liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân.Để huyết áp giảm nhiều nhất thì

0;30 , ( )

x x miligam

cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng:

Câu 29 Cho x,y là hai số thực Mệnh đề nào sau đây SAI?

2

2

x y

xy   

Câu 30 Cho hai số x,y là hai số thỏa mãn hệ thức x22y2 1 Đặt M  |x 2 |y Giá trị lớn nhất của M là

Câu 31 Cho x,y là hai số thỏa hệ thức 3x4y1 Đặt M | 3x24y2| Giá trị nhỏ nhất của M là

1 7

Câu 32 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a  4a2 biết a [ 2; 2]

Câu 33 Biết a,b,c là 3 số dương, giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 a 1 b 1c là

Câu 34 Cho a>1,b>1 và các bất đẳng thức

1

a

ab cd  a c b d

Trong các bất đẳng thức trên có bất đẳng thức

Câu 35 Mệnh đề nào sau đây là Sai?

Trang 10

x y z   x y z x y z xy yz zx x   2y2z2, x,y,z>0

C x2y z 6x2y2z2, , ,x y z0 D xy yz zx x   2y2z2, x,y,z<0

Câu 36 Cho x,y thỏa mãn x y 5 GTNN của P 1 1 là

x y

 

4

3 5

4 5

5 3

Câu 37 Cho a,b>0 và a+b=1 GTNN của P 1 1 1 1 là

    

Câu 38 Cho hai số thực a, b thỏa mãn a b,  1,a b 1 GTLN của A a 1 b1 là

Câu 39 Cho a b c d, , , là các số dương Tìm khẳng định sai:

a b c d   a b c d

  

2

a b a b

 

C a b    a c b c D a b  a b

Câu 40 Cho a b x y, , , là các số thực Khi đó:

2

a b

ab

ax by  a b x y

ax by a b  2 2 2

ax by x y

Câu 41 Cho a b c é ù, , Î ë û1; 3 và thoả mãn điều kiện a b c+ + =6 Giá trị lớn nhất của P a= + +2 b2 c2

Câu 42 Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 với là

x

f x

x

= +

- x> 1

Câu 43 Cho x >2 Giá trị lớn nhất của hàm số ( ) bằng

2

x

f x

x

=

2

2 2

1

2 2

Câu 44 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) 2x 1 với là

x

= + x> 0

Câu 45 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) 4x2 12 với là

x

Câu 46 Cho x y, là các số thực dương thõa x y  1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

là:

2 2 2

Px y 

2

2 5

Câu 47 Cho biểu thứcF maxx5 ; x1.Giá trị nhỏ nhất của là:F

Câu 48 Biết khim m 0thì giá trị lớn nhất của hàm sốy x22x m 4 ( là tham số thực) trên đoạnm

đạt giá trị nhỏ nhất là Tổng là:

2;1 y0 m0y0

Câu 49 Cho a,b,c(a>0,b>0) là các số thực sao cho f(x) ax 2bx c  0 x.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là:

F  4a c

b



Câu 50 Choxy1000 và x>y.Biết khi x a thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.Tổng

y b





 



F

x y







2 2

1000

a b

là:

Câu 51 Biết hệ phương trình (a,b là các tham số thực) có nghiệm Giá trị nhỏ nhất của biểu

2 2

6 0

2 0

x ax

x bx

   





  



thức F  a b là:

Câu 52 Cho , 0 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F= là:

3

x y

x y





  



2

x y

x y

2

17 4

13 3

14 3

Câu 53 Cho x,y>1.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

F

Câu 54 Cho các số thực x y, thoa mãn:x y 2( x 3 y3).Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá

trị lớn nhất của biểu thức F  x y.Tổng M+m là:

Câu 55 Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12m3 để chứa chất thải

chăn nuôi và tạo khí sinh học.Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng.Hãy xác định các kích thước của đáy(dài,rộng)của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất(không tính đến bề dầy của thành bể).Ta có kích thước(dài;rộng tính theo đơn

vị m làm tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy)phù hợp yêu cầu là:

A Dài 2,42m và rộng 1,82m B Dài 2,74m và rộng 1,71m.