Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -NGUYỄN TÀI TUỆ MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỚI ĐA THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN TÀI TUỆ

MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC

VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỚI ĐA THỨC

ĐỐI XỨNG BA BIẾN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội – Năm 2014

Trang 2

Mục lục

1 Một số kiến thức bổ trợ 5

1.1 Đa thức đối xứng ba biến 5

1.2 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 6

1.3 Bất đẳng thức thường dùng 6

1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM 6

1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 7

1.3.3 Bất đẳng thức Karamata 7

2 Bất đẳng thức với tổng không đổi 9 2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu tỉ 9

2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 9

2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 15

2.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số 21

2.1.4 Bài toán liên quan 31

2.2 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm vô tỉ 33

3 Bất đẳng thức có tích không đổi 45 3.1 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm phân thức hữu tỉ 45

3.2 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm vô tỉ 56

Trang 3

MỤC LỤC

4 Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến 63

4.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 63

4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 68

4.3 Sử dụng các tính chất của hàm số 73

4.4 Bài toán liên quan 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

Trang 4

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một nội dung cổ điển và quan trọng của Toán học Ngay

từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo Bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong thực tế Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế, Olympic

Là một giáo viên THPT, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về bất đẳng thức nhằm nâng cao chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, vậy nên tôi đã chọn bất đẳng thức làm luận văn thạc sĩ của mình

Bất đẳng thức vô cùng rộng lớn, trong thời gian ngắn, tôi chỉ có thể nghiên cứu lĩnh vực nhỏ trong đó Dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài

"Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng

ba biến."

Luận văn được chia làm bốn chương:

• Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ

• Chương 2: Bất đẳng thức với tổng không đổi

• Chương 3: Bất đẳng thức có tích không đổi

• Chương 4: Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp

ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu

Trang 5

MỞ ĐẦU

toán học Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán- Cơ - Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành bản luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2014

Tác giả

Trang 6

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ

1.1 Đa thức đối xứng ba biến

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Một đơn thức ϕ(x, y, z) của các biến x, y, z được hiểu là hàm

số có dạng

ϕ(x, y, z) = aklmxkylzm,

trong đó k, l, m ∈N được gọi là bậc của biến x, y, z, số aklm ∈R∗ =R\{0} được gọi là hệ số của đơn thức, còn số k + l + mđược gọi là bậc của đơn thức ϕ(x, y, z) Định nghĩa 1.2 Một hàm số P (x, y, z) của các biến x, y, z được gọi là một đa thức nếu nó có thể được biểu diễn ở dạng tổng hữu hạn các đơn thức

P (x, y, z) = X

k,l,m∈N k+l+m=n

aklmxkylzm, n ∈ N.

Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức Định nghĩa 1.3 Đa thức P (x, y, z) được gọi là đối xứng, nếu nó không thay đổi với mọi hoán vị của x, y, z, nghĩa là

P (x, y, z) = P (y, x, z) = P (z, y, x) = P (x, z, y).

Định nghĩa 1.4 Đa thức f (x, y, z) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu

f (tx, ty, tz) = tmf (x, y, z), t 6= 0

Định nghĩa 1.5 Các đa thức

σ1= x + y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3= xyz,

được gọi là đa thức đối xứng cơ sở của các biến x, y, z.

1.1.2 Tổng lũy thừa

Trang 7

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ

Định nghĩa 1.6 Các đa thức sk = xk + yk + zk, (k = 0, 1, ), được gọi là tổng lũy thừa bậc k của các biến x, y, z.

Định lý 1.1 ( Công thức Newton) Với mọi k ∈Z, ta có hệ thức

sk = σ1sk−1− σ2sk−2+ σ3sk−3.

Định lý 1.2 Một tổng lũy thừa sk = xk + yk + zk đều có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc n theo các biến σ1, σ2, σ3.

Định lý 1.3 (Công thức Waring) Tổng lũy thừa sk được biểu diễn qua cá đa thức đối xứng cở sở theo công thức

sk

k =

X

0≤l,m,n l+2m+3n=k

(−1)k−l−m−n(l + m + n − 1)!

l

1 σ2mσn3.

1.2 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

1 a > b ⇔ a + c > b + c

2 a > b, b > c thì a > c.

3 a > b thì

ca > cb khi c > 0

ca < cb khi c < 0.

4 a > b, c > d thì a + c > b + d

5 a > b > 0, c > d > 0 thì ac > bd

6 Với n nguyên dương, ta có

a < b ⇔ a2n+1 < b2n+1

0 < a < b ⇒ a2n < b2n.

1.3 Bất đẳng thức thường dùng

1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM

Định lý 1.4 Giả sử a1, a2, , an là các số thực không âm, khi đó ta luôn có

a1+ a2+ · · · + an

a1a2 an.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = · · · = a n

Trang 8

Hệ quả 1.1 Với mọi số thực dương a 1 , a 2 , , a n ta có

1

a1 +

1

a2 + · · · +

1

an

(a1+ a2+ · · · + an) ≥ n2.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2= · · · = an.

Hệ quả 1.2 Với mọi số thực a, b, c, ta luôn có

1 a2+ b2+ c2≥ ab + bc + ca

2 a2+ b2+ c2≥ (a + b + c)

2

3

3 (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)

4 a2b2+ b2c2+ c2a2≥ abc(a + b + c)

5 (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Định lý 1.5 Nếu a1, a2, , an, b1, b2, , bn là các số thực tùy ý thì

(a 1 b 1 + a 2 b 2 + · · · + a n b n )2≤ a21+ a22+ · · · + a2n b21+ b22+ · · · + b2n (?)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1

b1 =

a2

b2 = · · · =

an

bn ( ở đây ta sử dụng quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)

Nhận xét 1.1 Theo bất đẳng thức (?), chọn ai = √xi

yi và bi = √

yi với xi, yi ∈

R, yi > 0 Ta thu được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ( hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel)

Hệ quả 1.3 Nếu x1, x2, , xn là các số thực và y1, y2, , yn là các số thực dương thì

x21

y1 +

x22

y2 + · · · +

x2n

yn ≥ (x1+ x2+ xn)

2

y1+ y2+ · · · + yn .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1

y1 =

x2

y2 = · · · =

xn

yn. 1.3.3 Bất đẳng thức Karamata

Định lý 1.6 Cho hai dãy số{xk, yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, , n}, thỏa mãn điều kiện

x1≥ x2 ≥ · · · ≥ xn, y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn

Trang 9

và











x1 ≥ y1

x1+ x2 ≥ y1+ y2

x1+ x2+ · · · + xn−1 ≥ y1+ y2+ · · · + yn−1

x1+ x2+ · · · + xn = y1+ y2+ · · · + yn

Khi đó, ứng với hàm số lồi f (x)(f00(x) ≥ 0) trên I(a, b), ta đều có

f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) ≥ f (y1) + f (y2) + · · · + f (yn).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xi= yi, i = 1, 2, n.

Ta cũng phát biểu tương tự đối với hàm số lõm bằng cách đổi chiều dấu bất đẳng thức

Bổ đề 1.1 Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trênI(a; b)

a Nếu f00(x) ≥ 0, ∀x ∈ I(a; b) thì f (x) ≥ f0(x0)(x − x0) + f (x0), ∀x0 ∈ I(a; b).

b Nếu f00(x) ≤ 0, ∀x ∈ I(a; b) thì f (x) ≤ f0(x0)(x − x0) + f (x0), ∀x0 ∈ I(a; b).

Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi x = x0

Trang 10

Chương 2

Bất đẳng thức với tổng không đổi

2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu

tỉ

2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Đối với bất đẳng thức P (x, y, z) ≥ 0 (≤ 0), Trong đó P (x, y, z) là đa thức hoặc phân thức hữu tỉ và có tổng x + y + z không đổi, thì khi đó sử dụng các kĩ thuật của bất đẳng thức AM − GM như dự đoán dấu bằng xảy ra, AM − GM ngược dấu, đặt ẩn phụ, tỏ ra rất hiệu quả

Bài toán 2.1 Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng

a2

b + 2+

b2

c + 2+

c2

a + 2 ≥ 1.

Chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

a2

b + 2 +

b + 2

9 ≥ 2a

3

b2

c + 2 +

c + 2

9 ≥ 2b

3

c2

a + 2+

a + 2

9 ≥ 2c

3 .

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được

a2

b + 2 +

b2

c + 2 +

c2

a + 2 ≥ 5

9(a + b + c) −

2

3 = 1.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Trang 11

Chương 4 Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh, Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức, NXBĐH Sư Phạm

[2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội

[3] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Bất đẳng thức, định lý và áp dụng, NXBGD [4] Nguyễn Văn Mậu, Các bài toán nội suy và áp dụng,NXB GD

[5] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB GD 2002 [6] N.V Mậu, T.N Dũng, N.Đ Phất, N.T Thanh, Số phức và áp dụng, NXB

GD 2009

[7] Trần Phương, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vẻ đẹp bất đẳng thức trong các kì thi Olympic toán học, NXBĐHQG Hà Nội

[8] Cao Minh Quang,Một số dạng toán về bất đẳng thức ba biến với tích các biến không đổi, Hội thảo khoa học Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi Đồng Tháp 2013

[9] Phạn Văn Thuận, Lê Vĩ, Bất đẳng thức suy luận và khám phá, NXBĐHQG

Hà Nội

Tiếng Anh

[10] D Djukic, V Jankovic, I Matic and N Petrovic, The IMO Compendium 1959-2004, Springer-Verlag 2004

[11] D, S Mitrinovic, J E Pecaric, ” Recent Advances in Geometric Inequal-ities”, Kluwer Academic Publishers, 1989

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	344,23 KB