Phép chiếu và áp dụng giải bài toán tìm nghiệm chung giữa ánh xạ không giãn và bài toán bất đẳng thức biến phân 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM——————————– TRẦN QUANG HUY PHÉP CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM NGHIỆM CHUNG GIỮA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG... Lý do chọn đề tài: Bài toán bất đẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TRẦN QUANG HUY

PHÉP CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM NGHIỆM CHUNG GIỮA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ĐỨC HIỀN

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc

sĩ khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm vào ngày 00/00/2021

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm thông tin - Học liệu, Trường Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán đóng vai trò quantrọng trong lĩnh vực Toán học ứng dụng nói chung, Toán tối ưu nói riêng;bài toán bất đẳng thức biến phân bao hàm được nhiều lớp bài toán quantrọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn: bài toán cân bằng, bàitoán tối ưu, điểm bất động Kakutani, mô hình cân bằng Nash, ; nó hợpnhất các bài toán này theo một phương pháp nghiên cứu chung rất tiệnlợi Nhiều nhà khoa học đã chỉ ra rằng: nhiều ứng dụng trong thực tiễn:nhiều bài toán thực tế trong tối ưu, kinh tế và kỹ thuật, có thể mô tảđược dưới dạng dưới dạng bài toán bất đẳng thức biến phân Chính điều

đó, bài toán cân bằng được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quantâm nghiên cứu Hiện nay, vấn đề nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và cáctính chất định tính của bài toán cân bằng, đã được nhiều tác giả nghiêncứu và đã đạt được nhiều kết quả khá sâu sắc và phong phú Phương phápchiếu là kỹ thuật cơ bản trong tối ưu hóa, bài toán bất đẳng thức biếnphân và bài toán cân bằng Sau đó, phương pháp này được mở rộng cholớp bài toán tìm nghiệm chung lớp bài toán cân bằng và tập nghiệm điểmbất động

Trong phương pháp chiếu ở mỗi bước lặp người ta phải xác định hướngtìm kiếm và độ dài bước Hướng tìm kiếm thường được dùng là đạo hàmhoặc dưới đạo hàm theo biến thứ hai của song hàm cân bằng Còn độdài bước thường hay sử dụng cho thuận tiện trong tính toán là kỹ thuậtArmijo Bằng cách này, người ta làm cho bước lặp sau gần nghiệm hơnbước lặp trước Việc sử dụng kỹ thuật chiếu và kết hợp với một số kỹ thuật

dưới vi phân với kỹ thuật chia tách song song để xây dựng thuật toán giảilớp bài toán tìm nghiệm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thứcbiến phân giả đơn điệu và tập các điểm bất động của họ hữu hạn các ánh

xạ không giãn trở nên cấp thiết Vì vậy, chúng tôi chọn thực hiện đề tài "Phép chiếu và áp dụng giải bài toán tìm nghiệm chung giữa ánh xạ khônggiãn và bài toán bất đẳng thức biến phân"

2 Mục đích nghiên cứu:

Trong đề tài, tổng quan một số kiến thức về giải tính lồi, trình bàymột số tính chất và bài toán liên quan đến bài toán bất đẳng thức biếnphân; đặc biệt sử dụng kỹ thuật chiếu và tính chất giả đơn điệu của ánh xạgiá F , tính chất không giãn đề xuất phương pháp chiếu mới giải bài toánbất đẳng thức biến phân giả đơn điệu không cần liên tục kiểu Lipschitzđối với hàm giá và tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ không giãn trongkhông gian Euclide

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Với các mục đích đặt ra như trên, trong đề tài này chúng tôi nghiêncứu các nội dung sau

Nội dung 1 Tổng quan về giải tính lồi, tính chất phép chiếu và địnhnghĩa dưới vi phân xấp xỉ

Nội dung 2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân

Nội dung 3 Tổng quan lại phương pháp một lần chiếu giải bài toántìm nghiệm chung giữa tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn

4 Phương pháp nghiên cứu:

Dựa vào một số tính chất của phép chiếu, tính chất giả đơn điệucủa ánh xạ giá F , để xây dựng phương pháp chiếu mới giải bài toán tìmnghiệm chung giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và họ hữu hạn cácánh xạ không gian trong không gian hữu hạn chiều Rs.

5 Kết quả của đề tài:

Đề tài đã trình bày công phu hệ thống kiến thức cơ sở về giải tíchlồi nhằm phục vụ cho công tác nghiên cứu, đề tài đã trình bày hệ thống

về bài toán bất đẳng thức biến phân và mối liên hệ giữa các bài toán khácnhư bài toán cân bằng, bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động; đề xuấtđược phương pháp chiếu một lần để tìm nghiệm gần đúng cho bài toáncân bằng Kết quả đã công bố vào năm 2019, và được báo cáo tại Hội thảo

" Tối ưu và Tính toán Khoa học" lần thức 17 (2019), Ba vì - Hà Nội

6 Cấu trúc luận văn:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, đề tàigồm 3 chương:

Chương 1 Tập lồi và hàm lồi trong trong không gian Hilbert

1.1 Không gian Hilbert

1.2 Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert

Chương 2 Phép chiếu trong không gian Hilbert

2.1 Định nghĩa và ví dụ

2.2 Một số tính chất của phép chiếu

2.3 Một số ví dụ về phép chiếu

2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân

2.5 Những trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân2.6 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Chương 3 Phương pháp một lần chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến

phân và ánh xạ không giãn

3.1 Tổng qua một số kết quả quan trọng3.2 Phát biểu bài toán

3.3 Một số giả thiết và kỹ thuật chuẩn bị3.4 Thuật toán và sự hội tụ của thuật toán3.5 Kết quả tính toán minh họa

3.6 Kết luận

Chương 1

TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN

HILBERT

1.1 Không gian Hilbert

1.1.1 Không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Cho H là không gian trên trường K Tích vô hướngxác định trên H là một ánh xạ xác định như sau:

h., i : H × H −→ K

(x, y) 7−→ hy, xi

a, hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H

b, hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H

c, hλx, yi = λ hx, yi với mọi x, y ∈ H; λ ∈ K

d, hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0

Định lý 1.1.1 Cho H là không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta luôn cóbất đẳng thức sau

| hx, yi |2 ≤ hx, xi hy, yi

Cho H là không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta luôn có bất đẳng thứcsau

| hx, yi |2 ≤ hx, xi hy, yi

Định lý 1.1.2 Cho H là không gian tiền Hilbert Khi đó kxk = hx, xi1/2, x ∈

H xác định một chuẩn trên H

1.1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.2 Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đốivới chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert.Cũng tương tự như trường hợp không gian tiền Hibert, với trường sốthực K thì ta có không gian Hilbert thực

số thực K trong đó đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈H:

kx + yk2+ kx − yk2 = 2(kxk2+ kyk2)

Khi đó, với trường số thực K ta đặt

hx, yi = p (x, y) = 1

4



kx + yk2− kx + yk2thì h., i là một tích vô hướng trên H và ta có

Định lý 1.1.8 Giả sử {xn}n∈M là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

H Khi đó với mọi x ∈ H chuỗi

∞

X

n=1

hx, eni en được gọi là chuỗi Fourier của x đối với hệ {xn}n∈M

và bất đẳng thức trên được gọi là bất đẳng thức Bessel

Định nghĩa 1.1.3 Hệ trực chuẩn {xn}n∈M trong không gian Hilbert Hđược gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu không gian con sinh bởi hệ này làtrù mật trong H

Định lý 1.1.9 (Định lí Riesz) Giả sử {xn}n∈M là một cơ sở trực chuẩntrong không gian Hilbert H Nếu dãy số (ξn) thỏa mãn điều kiện

Định nghĩa 1.1.4 Cho H là một không gian Hilbert Dãy {xn} trong Hđược gọi là hội tụ yếu đến phần tử x trong H nếu với mọi y ∈ H ta cólim

n→∞hxn, yi = hx, yi

Kí hiệu: xn → x

Định lý 1.1.10 Giả sử H là không gian Hilbert

i) Nếu dãy {xn} hội tụ yếu đến x ∈ H và dãy {yn} hội tụ mạnh đến y ∈ Hthì dãy số hxn, yni hội tụ đến hx, yi

ii) Nếu dãy {xn} hội tụ yếu đến x ∈ H và dãy kxnk hội tụ đến kxk thìdãy {xn} hội tụ mạnh đến x ∈ H

1.2 Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert

1.2.1 Tập lồi

Định nghĩa 1.2.1 Cho hai điểm a, b ∈ H

i) Một đường thẳng đi qua a, b là tập hợp có dạng:

{x ∈ H : x = αa + βb; α, β ∈ R; α + β = 1} ii) Đoạn thẳng nối hai điểm a, b trong H có dạng:

{x ∈ H : x = αa + βb; α ≥, β ≥ 0; α + β = 1} Định nghĩa 1.2.2 Một tập D được gọi là tập affine nếu Dchứa mọi đườngthẳng đi qua hai điểm bất kì x, y ∈ D, tức là

∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R ⇒ x + (1 − λ)y ∈ D

Định nghĩa 1.2.3 Siêu phẳng trong không gian H là một tập hợp cácđiểm có dạng

x ∈ H : aTx = α ,

Mệnh đề 1.2.2 Giao của một họ bất kì các tập lồi là một tập lồi.

Định nghĩa 1.2.6 Một tập C ⊂ H được gọi là nón nếu

∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi

Định nghĩa 1.2.7 Cho C ⊆ H, x0 ∈ C Nón pháp tuyến (ngoài) của tập

C tại x0 là tập hợp

NC(x0) := w : hw, x − x0i ≤ 0, ∀x ∈ C Định nghĩa 1.2.8 Cho D ⊆ H là một tập lồi và x0 ∈ D Tập

ND(x0) := w ∈ H : hw, x − x0i ≤ 0, ∀x ∈ D ,được gọi là nón pháp tuyến ngoài của D tại x0 và tập −ND(x0) được gọi

là nón pháp tuyến trong của D tại x0 Tập

NDε(x0) := nw ∈ H : 0 ≤ ε, ∀x ∈ Do,được gọi là nón pháp tuyến của ε của D tại x0.

Định nghĩa 1.2.9 Cho hai tập C và D, ta nói rằng siêu phẳng

H :=x : hv, xi = λ (i) Tách hai tập C và D nếu:

H sao cho C ∩ D = ∅ Khi đó có một siêu phẳng tách C và D

Định lý 1.2.4 (Định lí tách 2) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗngtrong H sao cho C ∩ D = ∅ Giả sử có ít nhất một tập compăc Khi đóhai tập C và D có thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng

Áp dụng Định lí tách cho H là Rn ta được hệ quả sau:

Hệ quả 1.2.5 (Bổ đề Farkas) Cho a ∈ Rn và A là ma trận thực cấp

m × n Khi đó ha, xi ≥ 0 với mọi x thỏa mãn Ax ≥ 0, khi và chỉ khi tồntại y ≥ 0, và Rm sao cho a = ATy

Ý nghĩa hình học của bổ đề Farkas: Siêu phẳng đi qua gốc tọa độ

ha, xi = 0 để nón Ax ≥ 0, về một phía của nó khi và chỉ khi vectơ pháptuyến a của siêu phẳng nằm trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A

1.2.2 Hàm lồi

Định nghĩa 1.2.10 Cho D là một tập lồi và f : D → R ∪ {+∞} Hàm

f được gọi là lồi trên D nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1;

lồi chặt nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1

Hàm f lõm (lõm chặt) nếu – f là lồi (lồi chặt)

Định lý 1.2.6 Cho f và g là hai hàm lồi trên tập lồi và D tương ứng Khi

đó các hàm số αf + βg, (∀α, β ≥ 0); max {f, g} cũng lồi trên C ∩ D.Định lý 1.2.7 Một hàm lồi f xác định trên tập lồi D thì f liên tục tại mọiđiểm trong của D

Tính chất sau đây đặc trưng cho một hàm lồi khả vi, và thuận lợi đểkiểm tra tính lồi của một hàm số Ta kí hiệu f0(a) hoặc 5f (a) là đạo hàmcủa f tại a

Định lý 1.2.8 Cho f : D → R là một hàm khả vi trên tập lồi mở D.Điều kiện cần và đủ để f lồi trên D là

f (x) +Nếu f khả vi hai lần thì điều kiện cần và đủ để f lồi trên D là với mọi

x ∈ D ma trận Hessian H(x) của f tại x xác định không âm, tức là

yTH(x)y ≥ 0, x ∈ D, y ∈ Rn

Định nghĩa 1.2.11 Cho hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục dướiđối với E tại một điểm x, nếu như với mọi dãy xk ⊂ E , xk → x ta có:lim inf f (xk) ≥ f (x) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên, đối với E tại xnếu – f nửa liên tục dưới, đối với E tại x Hay là mọi dãy xk ⊂ E , xk →

x, thì lim sup f (xk) ≤ f (x) Hàm f được gọi là liên tục đối với E, tại xnếu như nó vừa nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới, đối với E, tại x.Định nghĩa 1.2.12 Cho ε > 0 Một vectơ w ∈ H được gọi là một ε - dướigradient của f tại x0 ∈ H nếu:

0 ≤ f (x) − f (x0) + ε, ∀x ∈ H

Tập hợp tất cả các ε - dưới gradient gọi là ε - dưới vi phân của hàm f tại

x0 được kí hiệu là:

∂εf (x0) := nw ∈ H : 0 ≤ f (x) − f (x0) + ε, ∀x ∈ H.oĐịnh nghĩa 1.2.13 Vectơ w ∈ H được gọi là dưới gradient của f tại

x0 ∈ H nếu:

0 ≤ f (x) − f (x0), ∀x ∈ H

Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x0 nếu ∂f (x0) 6= 0

Định lý 1.2.9 Cho f là hàm lồi hữu hạn trên tập lồi D Lúc đó f có dưới

vi phân tại mọi điểm thuộc riD

Định nghĩa 1.2.14 Ta gọi đạo hàm theo hướng d của một hàm số f(không nhất thiết là lồi) tại điểm x là đại lượng

Định lý 1.2.10 Nếu f là một hàm lồi trên tập lồi D thì với mọi x ∈ D

và mọi d sao cho x + d ∈ D, đạo hàm theo hướng d của f tại x luôn tồntại và nghiệm đúng

x = y + z, trong đó y ∈ M, z ∈ M⊥.Xét toán tử

PH : H → H được định nghĩa bằng cách với mọi x ∈ H, y ∈ M , ta lấy

PHx = y, trong đó: x = y + z Như trên đã thấy PH là một toán tử tuyếntính Ta gọi PH là phép chiếu hay toán tử chiếu từ không gian H lên khônggian con đóng M

Ký hiệu I là toán tử đồng nhất trên H, ta có

z = x − y = x − PHx = (I − PH)x,nên I − PH là toán tử chiếu từ không gian H lên không gian con đóng M⊥.Mệnh đề 2.1.1 Toán tử chiếu PH từ không gian Hilbert H lên khônggian con đóng M là tự liên hợp và thỏa mãn đẳng thức PH2 = PH

Mệnh đề 2.1.2 Cho PH : H → H là một toán tử liên hợp trong khônggian Hilbert thỏa mãn điều kiện PH2 = PH Khi đó PH là một toán tử chiếu.Định lý 2.1.3 Giả sử M là một không gian con đóng của không gianHilbert H Khi đó mỗi phần tử x ∈ H được biểu diễn một cách duy nhất

dưới dạng x = y + z, trong đó y ∈ M và z ∈ M⊥ được gọi là hình chiếutrực giao của x lên M.

Định nghĩa 2.1.2 Cho C 6= ∅ là tập lồi đóng thuộc không gian Hilbertthực H và y ∈ H, đặt

dC(y) := inf

x∈Ckx − yk

Ta nói dC(y) là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại π sao cho dC(y) =

kx − yk, thì ta nói π là hình chiếu (khoảng cách) của y trên C

Ta kí hiệu π = PC(y), hoặc đơn giản là P (y) nếu không cần nhấn mạnhđến tập chiếu C Chú ý rằng nếu C 6= ∅, thì dC(y) hữu hạn, vì

Mệnh đề 2.2.3 Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng Khi đó nếu

i) kPC(x) − PC(y)k ≤kx − yk ∀x, y ∈ C, (tính không giãn)

ii) C(x) − PC(y), x − y ≥kPC(x) − PC(y)k2, (tính đồng bức)

2.3.2 Chiếu xuống hình cầu đóng

Khi C là hình cầu bán kính R tâm A = (a1, a2, , an)T ∈ Rn định nghĩabởi

Khi đó, hình chiếu y = PC(x) của x lên C được xác định như sau:

Nếu x ∈ C thì y ≡ x

Nếu x /∈ C thì hình chiếu của x lên C là giao điểm của đường thẳng nối x

và tâm a của C, kí hiệu là ∆ với mặt cầu

Ta có ∆ =z = (z1, z2, , zn) ∈ Rn|zi = ai+ t(xi − ai), i = 1, 2, , n; t ∈ R Thay zi = ai + t(xi − ai) ta được

2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C là tập con lồi, đóng khác rỗng trong Rs và F : C → Rs Khi đó,bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational inequality problem), viếttắt VIP(C, F ), được phát biểu dưới dạng:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

Như thường lệ, F được gọi là ánh xạ giá

Định nghĩa 2.4.1 Cho C là một tập con lồi khác rỗng trong Rs và mộtánh xạ F : C → Rs Ánh xạ F được gọi là:

1 Đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên C với hằng số β > 0, nếu

Tập nghiệm của bài toán VIP(C, F ), được ký hiệu là Sol(C, F ).

Sol(C, F ) = {x∗ ∈ C : hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C}

Định nghĩa 2.4.2 Cho họ hữu hạn ánh xạ Si(i ∈ I := {1, 2, , n}) đi từ

C vào C Với mỗi i ∈ I, Si được gọi là ánh xạ không giãn trên C, nếu

kSix − Siyk ≤ kx − yk ∀x, y ∈ C

Ký hiệu tập điểm bất động của Si là F ix(Si) := {x ∈ C : Six = x}

2.5 Những trường hợp đặc biệt của bài toán bất

đẳng thức biến phân

2.5.1 Bài toán tối ưu

Một trường hợp riêng điển hình của bài toán VIP(C, F ) là bài toán quyhoạch lồi khả vi

min

ở đây g : C → R là một hàm khả vi trên C Thật vậy, x∗ là nghiệm củabài toán (2.5.1) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán tối ưu không ràngbuộc

min

x∈R s{g(x) + δC(x)},trong đó δC là hàm chỉ trên C Áp dụng điều kiện tối ưu hóa cho bài toánlồi không ràng buộc và tính chất ∂δC(x) = NC(x), trong đó NC(x) là nónpháp tuyến ngoài của C tại x và được định nghĩa

NC(x) := {w ∈ Rs|hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}

Do đó, ta có

0 ∈ ∂(g + δC)(x∗) ⇔ 0 ∈ 5g(x∗) + NC(x∗)

Mệnh đề 2.5.1 Điểm x∗ là một nghiệm của bài toán bù CP (F, C) nếu

và chỉ nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F )

2.5.3 Bài toán cân bằng

Định nghĩa 2.5.1 Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng trong H và songhàm f : C × C → H sao cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C Bài toán cân bằng(equilibrium problem), viết tắt là EP(C, f ), được phát biểu như sau: