SKKNPhát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giải bài toán bất đẳng thức

PHẦN II: NỘI DUNG Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí .Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh người học toán những kĩ năngtính toán cần thiết mà còn

PHẦN I: LÍ LỊCH

Họ và tên: PHẠM XUÂN HÀ Chức vụ : Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác : Trường THCS Đình Cao

Tên sáng kiến kinh nghiệm :

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH

THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC

N¨m häc 2013-2014

PHẦN II: NỘI DUNG

Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh ( người học toán) những kĩ năngtính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khẳ năng tư duylôgic , một phương pháp luận khoa học

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học vàgiải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc , hệ thống bài tập , sửdụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duycủa học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng , rènluyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập toántrong đó có các bài tập về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toánhay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy , trí tuệ cho học sinh

Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến thứcrộng đặc biệt là với học sinh THCS Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thựctrạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là:

- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong , ít khaithác , phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bàitoán khác một chút là không giải được

- Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liềnmạch, phương pháp giải hạn chế , các bài toán bất đẳng thức thường khó ,phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng nên học

sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giảicác bài toán khó như : cực trị , hàm số

Vì vậy: phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết Trong những năm giảng dạy thực tế ,tôi đã tích

luỹ được một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin được trình bày dưới góc

độ nhỏ

2)Ý nghĩa, tác dụng của đề tài:

*Đối với giáo viên :

- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức

*Đối với học sinh:

- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập vềchứng minh bất đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh một số kiếnthức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bàimột cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập cóliên quan đến bất đẳng thức

- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sáchtham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập

- Giải đáp những thắc mắc , sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giảitoán bất đẳng thức trong quá trình dạy học

- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơbản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập

- Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõmục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đăng thức

3)Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài:

-Đối tượng nghiên cứu: Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông quagiải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9 THCS

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán Bất đẳng thức ở chương trình Toánlớp 8 và lớp 9 THCS

I) Phương pháp tiến hành

1) Cơ sở lý luận và thực tiễn:

Thế nào là tư duy?

“Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất,

những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan” ( Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy, Nguyễn

Quang Uẩn (1992), (trong Tâm lý học, Nxb Giáo dục, Hà Nội)

“Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ- quá

trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ

sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó”

(Sacđacov M N (1970), Tư duy của học sinh, Nxb Giáo dục, Hà Nội)

Năng lực tư duy là một khả năng, một phẩm chất tâm sinh lý của óc người, vừanhư là cái tự nhiên bẩm sinh, “sẵn có”, vừa như là sản phẩm của lịch sử, hơn nữa làsản phẩm của lịch sử phát triển xã hội Cái vốn có tự nhiên ấy thông qua rèn luyệntrong thực tiễn mới trở nên một sức mạnh thật sự có hiệu quả của con người và xã hội

Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt độngtoán học của học sinh, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách cóphương hướng thì không thể đạt dược hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh hệthống các kiến thức và kỹ năng toán học”

Vì vậy , Việc phát triển tư duy cho học sinh qua môn Toán nói chung và phần bất

đẳng thức nói riêng là hết sức cần thiết và có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau:

* Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic:

và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát,

* Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.

* Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến

hành chứng minh vá suy luận mở rộng

2) Các biện pháp tiến hành:

- Nghiên cứu đưa ra hệ thống lý thuyết dựa vào SGK , tài liệu tham khảo

- Đưa ra bài tập mẫu (tình huống có vấn đề) , các sai lầm thường gặp vàcách khắc phục

-Hệ thống bài tự giải (Hs tự luyện)

-Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, suy luậnlogic tìm hướng giải quyết

B – NỘI DUNG

I) Mục tiêu:.Phát triển tư duy học sinh thông qua:

-Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhậnthức của học sinh THCS

-Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức , ápdụng để làm bài tập

II) Nội dung:

II.1/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức(BĐT)

1) Định nghĩa : Các mệnh đề dạng "a < b", "a > b", "a ≤ b" và "a ≥ b" được gọi

là bất đẳng thức Trong đó các kí hiệu a và b có thể là các biểu thức của các

biến , a được gọi là là vế trái, b là vế phải của BĐT

2 Các tính chất của bất đẳng thức :

2.1 a>b ⇔ b<a

2.2.Tính chất bắc cầu: a>b, b>c ⇔ a>c

2.3.Tính chất đơn điệu của phép cộng : cộng cùng một số vào hai vế của bấtđẳng thức: a>b⇔ a+c>b+c

2.4.Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùngchiều với bất đẳng thức đã cho:

a>b, c > d⇔ a+c > b+d

2.5.Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mớicùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.

Nếu a > b , c < d thì a-c > b-d2.6 Tính chất đơn điệu của phép nhân :

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương

a > b , c>0⇔ a.c > b.c

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm

a >b , c<0⇔ a.c <b.c

2.7 Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

Nếu a>b ≥0 , c>d≥ 0 thì ac>bd2.8 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức

a>b>0 ⇔ an >bn.a>b⇔ an >bn với n= 2k ( k ∈ Z)2.9 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương

1

1 〈 hoặc

b a

1

1 〉

* Chú ý: Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “ >” ( hoặc dấu “<” )

có thể thay bởi dấu “≥” ( hoặc dấu “ ≤ “ )

3.Các bất đẳng thức cần nhớ

3.1 a2 ≥ 0; - a2≤ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.2 │a │ ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.3 - │a │ ≤ a ≤ │a │ Đẳng thức xảy ra khi a=0

3.4 │a+b │≤ │a │+│b │ Đẳng thức xảy ra khi ab≥ 0

3.5 │a-b │≥ │a │-│b │ Đẳng thức xảy ra khi a≥ b≥ 0 hoặc a≤ b≤ 0

*Chú ý : Một số bất đẳng thức chứng minh đơn giản hay được áp dụng :

(Bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm)

• a2 + b2 ≥ 2ab với mọi a,b Đẳng thức xảy ra khi a=b

• (a+b)2 ≥ 4ab hay ( )2

a b

ab 4

b a+ ≥ với ab>0 Đẳng thức xảy ra khi a=b

• (a x+by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) với mọi a,b ,x,y Đẳng thức xảy ra khi

x = y ( BĐT Bunhia cop-ki cho 2 bộ số (a,b) và (x,y))

II.2- Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức trong đại số

Chứng minh BĐT là một trong những dạng toán mà học sinh rất ‘ngại’ vìđây là dạng toán luôn ở mức độ tương đối khó,phải vận dụng cả khả năng vàkinh nghiệm của bản thân mới có thể làm được Chính vì vậy để giải tốt bàitoán BĐT , học sinh cần có kiến thức lý thuyết vững vàng, hệ thống tri thức vàphương pháp đầy đủ, tư duy đúng hướng (đặc biệt là những bài khó, áp dụngcác BĐT phụ…) Sau đây là một số phương pháp cơ bản và các ví dụ áp dụng

từ đơn giản đến phức tạp để học sinh có hướng rèn luyện phát triển tư duy:

1 Phương pháp dùng định nghĩa

1.1 Cơ sở toán học: A ≥B ⇔A-B ≥ 0 nên

Để chứng minh A ≥B ta chứng minh A-B ≥ 0

Tương tự để chứng minh A ≤ B ta chứng minh A-B ≤ 0

1.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Chứng minh: 2(x2 + y2) ≥( x+y)2 với mọi x,y

Giải: Xét hiệu 2(x2+y2) – (x+y)2

= 2x2+ 2y2-x2-y2-2xy = x2-2xy+y2

= (x-y)2 ≥ 0 ∀x, y.Dấu “=” xảy ra khi x=y

Vậy 2(x2+y2) ≥ (x+ y) 2 ∀x, y Dấu “=” xảy ra khi x=y

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a ≥b thì a3 ≥b3

Giải: Xét hiệu: a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)

Thừa số (a-b) ≥ 0 do giả thiết a≥b

Thừa số (a2+ab+b2) = a2+2a

4

3 4 2

2

2 b b

b+ + = (a+

2

b

)2+4

Ví dụ 3: Chứng minh 3x2+y2 + z2 +1 ≥ 2x(y +z+1)

Giải: Xét hiệu: 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1)= 3x2+y2 + z2 +1- 2xy - 2xz – 2x

= (x2 -2xy+ y2) + (x2 -2xz +z2) + ( x2 – 2x+1)

= (x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2 ≥ 0 ∀x, y,z

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1

*Nhận xét chung : Nếu bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn thuần với số

mũ của các biến tương đối nhỏ ta nên dùng phương pháp này với sự trợ giúpcủa các hằng đẳng thức đáng nhớ

1.3: Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1)

3 3

a

với a>0 ,b>0 2) x3 + 4x + 1 > 3 x2 với x ≥ 33) c2 + d2 +cd ≥ 3ab với a+b = c+d

2)Phương pháp biến đổi tương đương

2.1 : Cơ sở toán học: : Để chứng minh bất đẳng thức A ≥B ta biến đổi tươngđương( dựa vào các tính chất của bất đẳng thức ) :A ≥B ⇔…⇔ C ≥D

Cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên C ≥D

Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A≥ B

a c

c b

b a

⇔ a=b=c

Ví dụ 2: Chứng minh rằng a4+b4 ≥ a3b+ab3 ∀a, b

Giải: a4+b4 ≥ a3b+ab3 ⇔( a4 – a3b)+(b4-ab3) ≥0

⇔a3(a-b) – b3(a-b) ≥0⇔ (a-b)(a3-b3) ≥0

0Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó a4+b4 ≥ a3b+ab3 ∀a, b

Ví dụ 3: Chứng minh

3 3

với a>0 ,b>0

Giải:

3 3

4

b a b ab

3

0 3 6 3

2 4

4 4

2

2 2

2 2

2 2

2 2

≥

−

⇔

≥ +

−

⇔

≥ +

−

⇔

+ +

≥ +

−

⇔

b a

b ab a

b ab a

b ab a

b ab a

Bất đẳng thức cuối đúng suy ra

3 3

* Nhận xét chung :

a) Để dùng các phép biến đổi tương đương ta đều chú ý các bất đẳng thứcsau: (A±B)2 = A2 ±2AB+B2

(A+B+C)2 = A2 +B2 +C2+2AB+2AC+2BC b) Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên nếu thay các dấu “⇔”bằng cácdấu “⇒”.Thật vậy ,nếu từ BĐT(1) ⇒BĐT (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thìchưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) có đúng hay không!

c)Khi sử dụng phép biến đổi tương đương ,học sinh thường bỏ qua cácphép biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ Vì vậy cầnlưu ý các phép biến đổi tương đương có điều kiện ,chẳng hạn như ở ví dụ 3

2.3 Bài tập tự giải :Chứng minh rằng

1,a2 + b2+ c2+ d2 + e2 ≥a(b + c + d + e) với mọi a,b,c,d,e

Giải Ta có a+b>1>0 (1) Bình phương hai vế của (1) ta được :

bình phương hai vế của (4) ta được : a4+2a2b2+b4 >

4

1 (5)Mặt khác : (a2-b2)≥0 ⇔a4 – 2a2b2 +b4 ≥0 (6)

cộng từng vế của (5) và (6) ta được:2(a4 +b4) >

4

1 hay a4 +b4 >

8

1

*Nhận xét : Từ giả thiết ta có bậc của a,b là bậc nhất do vậy để làm xuất hiện

bậc 4 như điều cần chứng minh ta cần suy nghĩ đến việc nâng bậc đối với BĐTđiều kiện (giả thiết) và phương án lựa chọn ở đây nên chọn là bình phương 2 vế

Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:

a2b(a-b) +b2c(b-c) + c2a(c-a) ≥ 0

GiảiViết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng tương đương sau:

a3b + b3c + c3a ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 (1)do vai trò bìnhđẳng giữa a,b,c nên không giảm tính tổng quát có thể giả sử rằng a≥b≥c≥0

Xét hai dãy sau: bc, ac, ab và a2 + bc, b2 + ac, c2 + ab

Ta có 0< bc≤ac≤ab còn a2 + bc≥ b2 +ac ≥ c2 +ab >0

Vậy (1) đúng và đó là điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c ( tam giác đó cho là tam giác đều )

*Nhận xét :Có thể giải bài trên bằng phương pháp biến đổi tương đương

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 ≤ 2 thì a + b ≤ 2

Giải :Ta có : ( a – b )2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab (1)

Từ giả thiết a2 + b2 ≤ 2 Suy ra -a2 – b2 ≥ -2 (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:0 ≥ 2ab – 2 hay 2ab ≤ 2 (3)

Kết hợp (3) với giả thiết a2 + b2 ≤ 2 suy ra :(a + b)2 ≤ 4 hay │a + b│ ≤ 2

⇒ ad > bc

e) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế

có cùng dấu hay không : a > b ⇒

b a

1 1

b

a+

4 (a>0; b>0 ) 2/ a2 +b2 +c2 +d2 ≥ 4 abcd

1 1

3

1 2

1

2 2

2

+

<

+ + +

5)Với mọi số tự nhiên n≥2 thì :1 + + + + +

4

1 3

1 2

1

1 2

Nội dung của phương pháp này là tiên đề quy nạp toán học

Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n nếu :

Mệnh đề đúng với n=1

Từ giả thiết đúng với n=k (k∈N )

Suy ra được mệnh đề cũng đúng với n=k+1

Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương

Như vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyêndương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo 3 bước:

Bước 1 : chứng minh mệnh đề T (1) đúng ( kiểm tra mệnh đề đúng với n=1) Bước 2 : giả sử mệnh đề T (k) đúng Ta phải chứng minh mệnh đề T (k+1)

Thật vậy , theo giả thiết : 1+x >0 Ta có : ( 1+k)k (1+x) ≥ (1+kx) (1+x)

⇔ ( 1 +x)k+ 1 ≥ 1 + (k+ 1 )x+kx2 Mà kx2 ≥ 0 nên 1+(k+1)x+kx2 ≥ 1+ (k+1)x

Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x=0

Ví dụ 2: Cho a; b là những số không âm; n là số tự nhiên khác 0 Chứng minh

rằng:

2 2

n n n

b a b

b a b

(đúng với mọi a;b không âm)

*Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có:

2 2

k k k

b a b

1 1

2

1

b a b a b

(4)

Ta sẽ chứng minh rằng:

2 2

1 2

1 1

1 1

≥ +

+ + +

⇔

+

≤ + +

+ +

k k k

k

k k

k k

k k

k k k

k

b ab b

a a b a

b a b a

ab b a b a

b a b a b a

Do a ,b không âm nên bất đẳng thức cuối đúng , vậy (5) đúng Từ (4) và(5)theo tính chất bắc cầu của bất đẳng thức suy ra (3) đúng

Vậy (1) đúng vơi mọi n là số tự nhiên khác 0

• Nếu n=1 thì dấu đẳng thức có với mọi a, b không âm

• Nếu n > 1 thì dấu đẳng thức có khi a = b

*Nhận xét : Nếu cả hai vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc

vào đối số tự nhiên n thì có thể dựng phương pháp quy nạp toán học Khi sử

dụng phương pháp này phải hiểu kỹ các bước chứng minh , các phép biến đổitương đương , các tinh chất của bất đẳng thức

4.3.Bài tập tự giải: chứng minh rằng :

5.2 Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: chứng minh rằng với mọi số a, b, c thì : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

Giải : Ta bắt đầu biến đổi từ một bất đẳng thức đó biết :

( a – b)2 ≥ 0⇔a2 + b2 ≥ 2ab (1)

Tương tự : b2 + c2 ≥ 2bc (2) và c2 + a2 ≥ 2ac (3)

Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều (1) , (2), (3) ta có :

2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca

Chia hai vế của bất đẳng thức này cho 2 ta có : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

*Nhận xét : Ta có thể nhân cả 2 vế với 2 rồi chuyển về cùng vế và đưa về

a

a = 1; b = -1

*Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp này cần chú ý : sử dụng các bất đẳng

thức có sẵn phải chú ý điều kiện chặt chẽ của BĐT đó để có được bất đẳng thứccần áp dụng Nếu không sẽ dẫn đến sai lầm , thiếu sót.Sau đây là 1 VD:

b b

a a

b b

a

3

2

2 2

3 0

4

1 4

9 3

2

2 2

2 2

a a

b b

a a

b b

a a

b b

a

(2) luôn đúng với ∀a;b≠o

Vậy (1) luôn đúng với ∀a;b≠ 0 (đpcm)

Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức ≥ 2

a

b b

a a

2

+ 4 ≥ 0

0 3

3 4

2 2

3 3

2 2 4

4

≥

−

− +

+

⇔

b a

ab b a b a b

2 2

1 + + ≥

c b a

2/cho x ; y∈R,x;y≥ 0 và x2 + y2 =1 chứng minh rằng :

1 2

≤ +

≤x y

3/ cho a≥ 1 ;b≥ 1 chứng minh rằng :a b− 1 +b a− 1 ≤ab

6) Phương pháp phản chứng

6.1 Cơ sở toán học :

Gọi mệnh đề cần chứng minh là mệnh đề “A⇒B”

Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau :

1/Dùng mệnh đề phản đảo :B⇒ A

2/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết

3/ Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau

4/Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng

5/ Phủ định luận để rồi suy ra kết luận của A, B⇒B

sau là sai: 2a(1 – b) > 1; 3b(1 – c) >2; 8c(1 – d ) >1; 32d(1 – a) > 3

Giải Giả sử ngược lại cả 4 bất đẳng thức đều đúng Nhân từng vế ta có :

2.3.8.32.a(1 – b)b(1 – c)(1- d)c(1 – a)d >2.3

⇒ [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]

256

1 1

1 1

1 2

1 )

1 ( −a ≤ a+ −a = ⇒a −a ≤

a

CM Tương tự : b(1 – b)≤1; c(1-c) ≤ 1; d(1-d) ≤ 1