Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— NGÔ THỊ THO PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... ĐẠI H

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

—————————

NGÔ THỊ THO

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

—————————

NGÔ THỊ THO

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Hà Nội - 2015

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Lời mở đầu 3

Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 5

1.1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1.1 Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert 6

1.1.2 Toán tử chiếu 8

1.1.3 Tính liên tục của hàm lồi 14

1.1.4 Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi 16

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 18

1.2.1 Các khái niệm 18

1.2.2 Các ví dụ minh họa 20

1.2.3 Sự tồn tại nghiệm 26

Chương 2 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh 28

2.1 Phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường 29

2.2 Phương pháp chiếu cơ bản cải biên 36

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Lê Dũng Mưu Thầy là người

đã hướng dẫn khóa luận tốt nghiệp và nay là hướng dẫn luận văn thạc sĩ cho em Hai chặng đường đã qua, thầy luôn tận tình hướng dẫn và chỉ bảo nghiêm khắc, thầy cũng cung cấp nhiều tài liệu quan trọng cũng như giành nhiều thời gian giải đáp những thắc mắc trong suốt quá trình làm việc cùng thầy

Em xin gửi tới các thầy, cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã giảng dạy lớp Cao học Toán khóa 2013 - 2015, lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ của các thầy, các cô trong hai năm qua Đặc biệt, em muốn gửi lời cảm ơn tới các thầy dạy chuyên ngành nhóm Toán Ứng Dụng Mặc dù nhóm chỉ có tám thành viên nhưng các thầy luôn lên lớp với cả nhiệt huyết và những chuyên đề hay, sâu sắc

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn, các anh, các chị của lớp cao học Toán khóa 2013 - 2015 và giành riêng lời cảm ơn cho gia đình Toán Ứng Dụng Là em út của nhóm, nên luôn được mọi người quan tâm nhiều hơn Thời gian học cùng các anh chị đã cho em những kỷ niệm đẹp, được học những điều hay cũng như những kiến thức thú vị

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót

Em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 3 tháng 10 năm 2015

Học viên

Ngô Thị Tho

2

LỜI MỞ ĐẦU

Năm 1966, Hatman và Stampacchia đã công bố những nghiên cứu đầu tiên của mình về bài toán bất đẳng thức biên phân, liên quan tới việc giải các bài toán biến phân, bài toán điều kiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng Năm 1980, Kinderlehrer và Stampacchia cho xuất bản cuốn sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications", giới thiệu bài toán biến phân trong không gian vô hạn chiều và ứng dụng của nó Năm 1984, cuốn sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" của C Baiocci và A Capelo đã áp dụng bất đẳng thức biến phân và tựa biến phân để giải các bài toán không có biên

Hiện nay bài toán bất đẳng thức biến phân đã phát triển thành nhiều dạng khác nhau,như là: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bài toán này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học Vì mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnh vực trong toán học cũng như thực tế như tối ưu hóa, bài toán bù, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng mạng giao thông, cân bằng di trú

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải Dựa trên tính chất của kiểu đơn điệu G Cohen

đã nghiên cứu phương pháp nguyên lý bài toán phụ Ngoài ra còn có phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp chiếu, phương pháp điểm trong Những phương pháp này khá hiệu quả, dễ thực hiện trên máy tính nhưng sự hội tụ của chúng chỉ được đảm bảo trên cơ sở các giả thiết khác về tính chất đơn điệu

Có nhiều phương pháp chiếu khác nhau, như là: phương pháp chiếu cơ bản, phương pháp chiếu dưới đạo hàm, và phương pháp chiếu siêu phẳng Mỗi phương pháp giải quyết một lớp các bài toán bất đẳng thức biến phân nhất định Do đó sự hội

tụ của thuật toán được đảm bảo

Luận văn trình bày phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường và chiếu cơ bản cải biên để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Các phương pháp này tạo ra một dãy hội tụ của các điểm lặp dễ dàng tính được Chúng đều hội tụ

tới nghiệm duy nhất của bài toán.

Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân, được chia làm hai phần:

• Phần 1: Nhắc lại một số kiến thức trong Giải tích hàm và Giải tích lồi, như là: hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert, toán tử chiếu, tính liên tục của hàm lồi, đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi

• Phần 2: Phát biểu bài toán, trình bày một số khái niệm và mô hình minh họa cho bài toán Sau đó, chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán

Chương 2: Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh

Nội dung chính của chương là trình bày hai thuật toán chiếu dưới đạo hàm tăng cường

và thuật toán chiếu cơ bản cải biên để giải bài toán V I(K, F) Phát biểu và chứng minh các định lý về sự hội tụ của dãy lặp tạo bởi các thuật toán đó Đưa ra một số ví dụ chứng minh rằng các điều kiện của định lý tồn tại nghiệm là cần thiết Nếu bỏ đi một trong các điều kiện đó, dãy lặp sẽ không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán

4

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến

phân

Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả của Giải tích hàm có liên quan tới sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu của một dãy số Nhắc lại một số khái niệm và định lý cơ bản của Giải tích lồi, như là: định nghĩa và tính chất của toán tử chiếu, tính liên tục, đạo hàm và dưới vi phân của một hàm lồi, Định lý tách, Định lý Moreau-Rockafellar Phần sau ta sẽ giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và nhấn mạnh bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Chỉ ra các ví dụ về bài toán bất đẳng thức biến phân thường gặp trong thực tế cũng như trong các mô hình toán học Cuối chương phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán Nội dung chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3], [6], [10]

Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbert thực trang bị một tô pô yếu, với tích vô hướng

1.1 Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử H là không gian tuyến tính thực, với mọi x ∈ H xác định

một số gọi là chuẩn của x ( kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau:

1 Xác định dương: ∀x ∈ H ||x|| ≥ 0; ||x|| = 0 ⇔ x = 0

2 Thuần nhất dương: ∀x ∈ H; ∀λ ∈ R ||λ x|| = |λ | ||x||

3 Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ H ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử H là không gian tuyến tính thực, cặp (H,

(x, y) 7→

thỏa mãn các điều kiện:

1 Xác định dương:

2 Đối xứng:

3 Song tuyến tính: α x + β y, z

∀x, y, z ∈ H

được gọi là không gian tiền Hilbert.

Không gian tiền Hilbert, đầy đủ được gọi là không gian Hilbert, kí hiệu là H.

Ví dụ 1.1.1.

1 H = Rn; x = (x1, x2, · · · , xn); y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ H tích vô hướng và chuẩn trên Rn được xác định bởi

n

∑

i=1

xiyi,

||x|| =

s

n

∑

i=1

x2i

6

2 H = C[a,b] là không gian các hàm liên tục Khi đó với mọi x, y ∈ H tích vô hướng chuẩn được xác định bởi

Z b a

x(t)y(t)dt,

||x|| =

s

Z b a

|x(t)|2dt

Giả sử H là không gian Hilbert thực, H∗ là không gian đối ngẫu của H và f ∈ H∗

Kí hiệu ϕf : H → R là các phiếm hàm tuyến tính ϕf(x) = f (x) Khi f chạy khắp H∗

ta có một họ ánh xạ (ϕf)f∈H∗

Định nghĩa 1.1.3 Tô pô yếu trên H được định nghĩa bởi tô pô sinh bởi họ ánh xạ

(ϕf)f∈H∗ Kí hiệu σ (H, H∗).

Như vậy tô pô yếu σ (H, H∗) là tô pô yếu nhất trên H đảm bảo cho tất cả các phiếm hàm f ∈ H∗ đều liên tục

Định nghĩa 1.1.4 1) Ta nói dãy {xk} hội tụ mạnh đến x ( kí hiệu xk → x) nếu

lim

k→∞||xk− x|| = 0

2) Dãy {xk} hội tụ yếu đến x ( kí hiệu xk * x) nếu {xk} hội tụ về x theo tô pô yếu σ

tức là

∀ f ∈ H∗ f(xk) → f (x)

Mệnh đề 1.1.1 Giả sử {xk} ⊂ H và { fk} ⊂ H∗ Khi đó

a) xk * x ⇔ k, y

b) Nếu xk → x thì xk * x

c) Nếu xk * x thì {xk} bị chặn và ||x|| ≤ limk→∞||xk||

d) Nếu xk * x và lim

k→∞||xk|| ≤ ||x|| thì xk → x

e) Nếu xk * x và fk → f thì fk(xk) → f (x)

Khi H là không gian hữu hạn chiều thì tô pô yếu và tô pô thông thường trên H trùng nhau Đặc biệt, một dãy hội tụ mạnh khi và chỉ khi nó hội tụ yếu

1.1.2 Toán tử chiếu

Định nghĩa 1.1.5 Cho H là một không gian Hilbert thực, tập C ⊆ H được gọi là

• tập lồi nếu: ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ C,

• nón nếu: ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λ x ∈ C,

• nón lồi nếu nó vừa là một nón vừa là một tập lồi.

Hình 1.1: tập lồi, nón, nón lồi

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử A, B là các tập lồi trong không gian Hilbert thực H, thì các

tập sau là tập lồi:

A∩ B :={x | x ∈ A, x ∈ B},

α A + β B :={x | x = α a + β b, a ∈ A, b ∈ B, α , β ∈ R},

A× B :={x | x = (a, b), a ∈ A, b ∈ B}

Định nghĩa 1.1.6 Siêu phẳng trong không gian Hilbert thực H là một tập hợp các

điểm có dạng

{x ∈ H | a(x) = α},

trong đó a ∈ H∗ là một phiếm hàm tuyến tính và α ∈ R.

Một siêu phẳng sẽ chia không gian ra hai nửa không gian Nửa không gian được định nghĩa như sau:

8

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1 Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia

Hà Nội

2 Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giải tích lồi ứng

dụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

3 Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản

Đại học Quốc gia Hà Nội

Tiếng Anh

4 D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational

In-equalities and Their Applications, Academic Press, New York

5 Fan Ky (1972), A minimax inequalities and applications In: Shisha O (Ed):

In-equalities, Academic Press, New York

6 Igor Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities,

Springer

7 Pham Duy Khanh (2012), ”A new extragradient method for strongly

pseudomono-tone variational inequalities”, Submitted

8 Pham Duy Khanh, Phan Tu Vuong (2014), ”Modified projection method for strongly

pseudomonotone variational inequalities”, Journal of Global Optimization,58,

no 2, 341 - 350

9 Phung M Duc, Le D Muu, and Nguyen V Quy (2014), ”Solution - existence and

algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilib-rium problems”, Pracific Journal Mathematics, Pacific J Mathematics, To appear