Đề thi HSG toán 9 2006-2007 Cần thơ

Tam giác ABC có diện tích bằng S, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r.. Lấy một điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AB của đường tròn.. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kín

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2006-2007

Khóa ngày 05/4/2007

MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

- Học sinh làm bài trên giấy thi do giám thị phát (cả phần trắc nghiệm và tự luận).

- Hướng dẫn cách ghi phần trả lời câu hỏi trắc nghiệm khách quan:

Ví dụ : ở câu 1, nếu học sinh chọn ý a thì ghi : 1 + a ; nếu chọn ý b thì ghi : 1+b ;

Đề thi gồm có 2 trang

PHẦN I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : (4 điểm)

1 Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm A(3 ; 2) và B(2 ; 3) là :

2 Tam giác ABC có diện tích bằng S, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r Chu vi tam giác

ABC bằng :

a) S

2

S

r; c) 2S

2

S

r

3 Cho hai đường tròn (O ; 25 cm) và (O’ ; 17 cm) cắt nhau tại A, B với AB = 30 cm Đoạn nối tâm OO’ bằng :

a) 28 cm ; b) 12 cm ; c) 12 cm hoặc 28 cm ; d) 40 cm

4 Kết luận nào sau đây luôn đúng với mọi giá trị của a, b, c thỏa mãn b2 – 4ac > 0 ?

a) Phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt ;

b) Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm ;

c) Phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm ;

d) Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất.

5 Cho góc xOy có số đo 50 Một đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh của góc tại A và B Lấy một điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AB của đường tròn Số đo góc AMB bằng :

a) 130 ; b) 140 ; c) 230 ; d) 115

6 Cho hai điểm A, B cố định và phân biệt Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B

có bán kính không lớn hơn AB Quỹ tích các tiếp điểm là :

a) Đường tròn đường kính AB ;

b) Đường tròn đường kính AB loại trừ điểm A ;

c) Đường tròn đường kính AB loại trừ điểm B ;

d) Đường tròn đường kính AB loại trừ cả hai điểm A và B.ng tròn đ ng kính AB lo i tr c hai đi m A và B.ường tròn đường kính AB loại trừ cả hai điểm A và B ại trừ cả hai điểm A và B ừ cả hai điểm A và B ả hai điểm A và B ểm A và B

ĐỀ CHÍNH THỨC

8 Cho phương trình x2x 2 1 0  Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình và

A

x x

  Khi đó :

a) A = 4 ; b) A = 2 1 ; c) A = 2 1 ; d) A = 2

PHẦN II TỰ LUẬN : (16 điểm)

Bài 1 : (4 điểm)

Cho phương trình : x4 + x3 – 10x2 + 3x + 3 = 0 (1)

1 Tìm các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn :

x4 + x3 – 10x2 + 3x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) với mọi x  R.

2 Giải phương trình (1)

Bài 2 : (4 điểm)

Cho parabol (P) : y ( )ax 2 và đường thẳng (d) : y ax b  Xác định các giá trị a,

b biết rằng điểm A(–1 ; 4) là một giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Xác định tọa độ giao điểm còn lại của (d) và (P).

Bài 3 : (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 Lấy một điểm I trên cạnh AB và dựng đường tròn tâm I, bán kính IA Trên cạnh BC dựng điểm J sao cho đường tròn tâm J, bán

kính JC tiếp xúc với đường tròn (I) Đặt x = AI (0 < x < 1).

Xác định giá trị của x để tổng chu vi hai đường tròn trên là nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ

nhất đó

Bài 4 : (5 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có góc B nhọn và AB < BC Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt cạnh AD của hình bình hành tại P (khác A)

1 Chứng minh tam giác CDP cân

2 Vẽ đường kính BH của đường tròn (O) Chứng minh DH  AC

3 Gọi E là điểm đối xứng của A qua đường thẳng DH Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE và đường tròn (O) có cùng bán kính

-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2006-2007

Khóa ngày : 05/4/2007

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

MÔN : TOÁN PHẦN 1 TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : (4 điểm) 0,5đ  8

PHẦN 2 TỰ LUẬN :

Bài 1 : (4 điểm)

1

Biến đổi được hệ phương trình:

1

10 3 3

a c

ac b d

ad bc bd

 











+++

Lý luận được a = 3 ; b = -3 ; c = –2 ; d = –1 (hoặc c = 3 ; d = -3 ; a = –2 ; b = –1) +++ 2

(1)  (x2 + 3x –3)(x2 – 2x – 1) = 0

2

x x





 

  



++

Bài 2 : (4 điểm)

Với a = 2 :

Giao điểm thứ 2 : B(3/2 ; 9) ++

Với a = –2 :

Giao điểm thứ 2 : B(1/2 ; 1) ++

Bài 3 : (3 điểm)

Đặt CJ = y

(I) và (J) tiếp xúc ngoài  x + y = IJ +

 (x + y)2 = (1 – x)2 + (1 – y)2

 xy = 1 – x – y

1

x y

x





Tổng 2 chu vi của 2 đường tròn : 2(x + y)

Tổng 2 chu vi nhỏ nhất khi x + y nhỏ nhất +

x



x + y nhỏ nhất khi 1 2 2 1

1

x

Giá trị nhỏ nhất của tổng hai chu vi bằng 4 ( 2 1)  +

C D

I

H

Bài 4 : (5 điểm)

+

1

2

 H là trực tâm tam giác CDP +

 DH  AC

3

DH  AC  E  AC và tam giác HAE cân tại H

Mà HAE = HDC

 CHP =  CHD

 Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE và đường tròn (O) có cùng bán kính +

Ghi chú :

- Mỗi dấu + tương ứng với 0,5 điểm

- Mỗi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó

A

D

O

P

H

E