009 đề thi HSG toán 9 tỉnh phú thọ 2018 2019

Gọi S là tập nghiệm của phương trình, số nghiệm của phương trình 2 A.. Tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đều là: A.. Cho tam gi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA

LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019

Môn: Toán

Thời gian: 150 phút

A TRẮC NGHIỆM (8 điểm)

Câu 1 Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương n sao cho

2

1024 15

n



là số tự nhiên

A 1 B 4 C 3 D 5

Câu 2 Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy AB CD sao cho , AB4,CD9,

DABDBC Độ dài đường chéo BD bằng:

A 6 B 7 C 8 D 10

Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng di qua điểm M 2;5 và song song với đường thẳng y2xcó phương trình là:

A y2x1 B y2x1 C y  2x 9 D y  2x 1

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai điểm A 2;3 và B 6;1 Độ dài đường cao hạ

từ đỉnh O của tam giác OAB bằng:

A 5

5 2

2 2

Câu 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm , A  2;3 ;B 2; 2 ;  C  2; 2,D3;3

Diện tích tứ giác ABCD bằng:

A 15

15 2

2 C 15 D 30

Câu 7 Cho bốn điểm A B C D nằm trên đồ thị hàm số , , , y x2sao cho ABCD là một tứ giác

lồi nội tiếp đường tròn đường kính AC Gọi M x y 1; 1 ;N x y lần lượt là trung điểm của 2; 2

,

AC BD Giá trị y1y2 bằng:

A 0 B 2

2 C 1 D 2

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB3,AC 4và phân giác AD Giá trị

DCDBbằng:

A 1

3

7 C

4

7 D

5 7

Câu 9 Gọi S là tập nghiệm của phương trình, số nghiệm của phương trình

2

A 2 B 4 C 2019 D 2020

Câu 10 Biết x 3 2 3  3 2 3là một nghiệm của phương trình 3  

x  a x a

Giá trị  a a2 1bằng:

A 3 1

2



B 3 1 C 6 2

2



D 3 1

Câu 11 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH trung tuyến AM Biết ,

24

25

AH

AM  và cạnh huyền BC35.Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:

A 3,5 B 7 C 8,75 D 14

Câu 12 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 5, đường cao AH 2.Kẻ HK vuông góc AC K thuộc AC) Độ dài CK bằng: (

A 3 5

2 B

8 5

5 5

16 5 5

Câu 13 Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng-ten 100m Biết rằng học sinh đó nhìn

thấy đỉnh tháp ở góc 19 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 0 1,5 m Chiều cao của tháp (làm tròn đến đơn vị mét) bằng:

A 34 B 35 C 36 D 38

Câu 14 Tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của một

tam giác đều là:

A 1

1

3 C

1

2 D

2 3

Câu 15 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với

BC tại D Biết BD2DC10.Diện tích tam giác ABC bằng:

A 25 B 50 C 50 2 D 100

Câu 16 Có tất cả bao nhiêu cách xếp bạn An, Bình, Cường, Thắng , Việt ngồi thành một

hàng ngang sao cho hai bạn Thắng và Việt không ngồi cạnh nhau

A 48 B 72 C 96 D 118

B Tự luận (12 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương đôi một phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số

b) Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1;2;3;4…;2018 rồi viết ra 2018 số dư tương ứng sau đó bạn Việt chia số 2019 cho 1;2;3;4;….;2019 rồi viết ra 2019 số dư tương ứng Hỏi ai có tổng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:  

3 3

x y xy

   





    



b) Giải phương trình: 1 2   

10 11 1

x

     

 

 

Câu 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp  O D thuộc đoạn BC (D không trùng B, C) và ,  O tiếp ' xúc trong với O tại K, tiếp xúc với đoạn CD AD tại F, E Các đường thẳng , KF KE cắt (O) , tại M, N

a) Chứng minh rằng MN / /EF

b) Chứng minh rằng MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC

c) Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC

Câu 4 (1,0 điểm) Cho các số thực x x1, 2, ,x n 0;1

Chứng minh rằng:  2  2 2 2 2

1 x x  x x n 4 x x x  x n

ĐÁP ÁN Câu 1,

a) Áp dụng quy tắc chẵn – lẻ Xét các trường hợp sau:

Ta có a b c cùng chẵn nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của , , chúng là số chia hết cho 2

Ta có a b c củng lẻ nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của , , chúng là số chia hết cho 2

Ta có a b c có một cặp số lẻ nên hiệu và tổng của 2 số lẻ chiaa hết cho 2 , ,

, ,

a b c có một cặp là số chẵn nên hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2

Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài Hai trường hợp cuối có một cặp số thỏa mãn đầu bài Vậy có ít nhất 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 nên là hợp

số

Áp dụng quy tắc số dư Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0,1,2 ,3,4, Xét các trường hợp:

*Cả 4 số có số dư khác nhau 0,1,2,3 ; 0,2,3,4 ; 0,1,4,2 ; 0,4,2,3       1, 2,3, 4 bao giờ cũng 

có ít nhất 1 cặp số có số dư là 1 4 hoặc 2 3 nên tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5 Với nhóm số dư 1, 2,3, 4 nên suy ra 2 cặp có tổng chia hết cho 5 

*Cả 4 số có số dư trùng nhau nên 6 cặp từng đôi một có hiệu bằng 0 nên chia hết cho 5

*Cả 2 cặp số có số dư trùng nhau nên hiệu của 2 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5

*Cả 1 cặp có số dư trùng nhau nên hiệu của 1 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5

Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5 Hay trong 5

số nguyên dương đôi một phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số

b) Gọi T là tổng các số dư của Thắng, V là tổng các số dư của Việt Gọi t1; t2018là số

dư chia 2018cho 1,2, ,2018; gọi v1; v2019là số dư chia 2019 cho 1,2 2019.Ta thấy rằng: T   t1 t2 t2018;V    v1 v2 v2019 với i1,2,3, 2018 Nếu

1

2019 i v 0  t i i 1 Nếu v1 i 1  v1 t i 1

 1 1  2 1  2018 1 2019 2018 2019 

2019

S là tổng các ước không vượt quá 2018của 2019 Ta có 2019 1.3.773 Suy ra

2019 677

S  nên ta có V  T 2018 677  T 1341.Suy ra V T

Và V  T 1341

Câu 2

a) Ta có:  

x y xy

x y xy



x y s xy p s  p Khi đó hệ tương đương với :

3

s p

  





 Giải hệ trên ta có nghiệm

b) Điều kiện xác định: x0

  

2

2

2

1

1 17

6

1 17 1 13

;

x

x

x x

x x

x

S

             

 

 

 





    





Câu 3

a) Qua K kẻ tiếp tuyến chung  d với  O và  O Gọi H là giao của (d) và BC '

/ /

KEF FKH MNK MN EF

b) Ta có tam giác HKF cân tại H suy ra HKF HFK MBMC suy ra AM là phân

giác BAC Suy ra BCM MKC nên ta có MC là tiếp tuyến KFC 

I

H

M

N

O

A

O'

K

F E

c) Gọi AM cắt EF tại I Ta chứng minh I cố định Thật vậy, ta có AKN  AMN  AIE

nên tứ giác AEIK nội tiếp

Suy ra DEF EKF EAIEIAEKI IKEEIAIKFhay MIF IKF

Suy ra MIF MKI g g( )MI2 MK MF (1)

Ta có MC là tiếp tuyến KFC suy ra  MC2 MF MK (2)

Từ (1) và (2) suy ra MI MK.Lúc đó ta có:

MICMCI IACICAMCBBCI ICABCI

Nên CI là phân giác ABC,mà AM là phân giác BAC nên I cố định

Câu 4

Áp dụng BĐT  2

4

AB  AB với A1;B x1 x nta có:

1 x x  x x n 4 x x  x x n với x x1, 2, x n 0;1

x x   x    x x x Tương tự ta có:

2 2; ; n n 1 2 3 n 1 2 3 n

x x x x  x x  x x x x x  x

1 x x  x x n 4 x x  x x n 4 x x x  x n

Dấu " " xảy ra khi có 1 số bằng 1, các số còn lại bằng 0