Xác định các giá trị a, b biết rằng đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm, trong đó một điểm có hoành độ bằng −1 và điểm còn lại có tung độ bằng 9.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB,
Trang 1SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2005-2006
Khóa ngày 07/4/2006
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (3 điểm)
Cho parabol (P) : y x = 2 và đường thẳng d : y ax b = + Xác định các giá trị a, b biết rằng đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm, trong đó một điểm có hoành độ bằng −1
và điểm còn lại có tung độ bằng 9.
Bài 2 : (4 điểm)
Cho biểu thức
P
a Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P.
b Tìm giá trị của x để biểu thức 7 x
Q P
= nhận giá trị nguyên và Q > 1.
Bài 3 : (3 điểm)
Xác định giá trị m để phương trình x2 − 2 mx + ( m − 1)3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.
Bài 4 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B nhọn Chứng minh rằng nếu cos
2
BC B
AB
= thì tam giác ABC cân.
Bài 5 : (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a cố định và một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và
khác B) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, dựng các nửa đường tròn có đường kính AB,
AC, CB Xác định vị trí của điểm C để diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba nửa đường tròn trên đạt giá trị lớn nhất.
Bài 6 : (5 điểm)
Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B cố định nằm trên (O) (A, B không đối xứng qua O) Một điểm C di động trên cung lớn AB của (O) (C khác A và khác B) Kẻ các đường cao
AH, BK của tam giác ABC (H ∈ BC ; K ∈ AC) Chứng minh :
a Tứ giác AKHB nội tiếp được trong một đường tròn.
b Độ dài đoạn HK không đổi.
c HK vuông góc với OC.
-HẾT -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Bài 1 : (3 điểm)
Cho parabol (P) : y x= 2 và đường thẳng d : y ax b= + Xác định các giá trị a,
b biết rằng đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm, trong đó một điểm có hoành độ
bằng −1 và điểm còn lại có tung độ bằng 9
Toạ độ điểm thứ nhất : x = – 1 ⇒ y = 1 +
Toạ độ điểm thứ hai : y = 9 ⇒ x = ±3 +
Trường hợp 1 :
d đi qua (–1 ; 1) và (3 ; 9) ⇒ 1
a b
a b
− + =
+ =
3
a b
=
=
Trường hợp 2 :
d đi qua (–1 ; 1) và (–3 ; 9) ⇒ 1
a b
a b
− + =
− + =
⇒ a b = −34
= −
Bài 2 : (4 điểm)
Cho biểu thức
P
a Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P.
b Tìm giá trị của x để biểu thức 7 x
Q
P
= nhận giá trị nguyên và Q > 1.
a Điều kiện xác định của P :
Vì
2
⇒ Điều kiện : x > 0 và x ≠ 1 +
( 1) ( 2 1) (2 1)( 1)
P
( 1) (2 1) (2 1)
Trang 31
x Q
=
7 1 1
Q
x
x
=
Do x ≠ 1 nên 1
2
x
x
1
1 3
x
x
3
Q
⇒ <
Vì Q > 1 và Q nguyên nên Q = 2 +
Khi đó ta có phương trình :
7
1
x
4 2
1 1
4 2
x x
x x
=
=
+
Bài 3 : (3 điểm)
Xác định giá trị m để phương trình x2 −2mx+(m−1)3 =0 có hai nghiệm dương phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ =' m2 −(m−1)3 >0 +
Gọi 2 nghiệm là x0 và x02 Ta có :
2
0 0
0 0
(2)
+ =
Từ (2) ⇒ x0 = m – 1
Thay vào (1) ta được : m2 – 3m = 0 ⇔ 0
3
m m
=
=
Với m = 0 :
' 1
∆ = , phương trình trở thành x2 – 1 = 0 ⇔ x= ±1 (không thoả điều kiện) +
Với m = 3 :
' 1
∆ = , phương trình trở thành x2 – 6x + 8 = 0 ⇔ x x=24
=
(thoả điều kiện) +
Vậy m = 3
Trang 4Bài 4 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B nhọn Chứng minh rằng nếu cos
2
BC B
AB
= thì tam giác ABC cân
Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC)
Ta có : cosB BH
AB
Kết hợp với giả thiết ta được BC = 2BH +
Do góc B nhọn và BC = 2BH nên H là trung điểm của đoạn BC +
Vậy tam giác ABC cân tại A +
Bài 5 : (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a cố định và một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A
và khác B) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, dựng các nửa đường tròn có đường kính AB, AC, CB Xác định vị trí của điểm C để diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba nửa đường tròn trên đạt giá trị lớn nhất
Đặt AC = x (0 < x < a) ⇒ CB = a – x
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ba nửa đường tròn :
A
Trang 52 2 2
AB AC CB
S =π − −
4
S =π − +x ax +
4 2 16
a a
S = −π x− +π
2
16
a
S π
Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔
2
a
x= ⇔ C là trung điểm AB +
Bài 6 : (5 điểm)
Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B cố định nằm trên (O) (A, B không đối xứng qua O) Một điểm C di động trên cung lớn AB của (O) (C khác A và khác B)
Kẻ các đường cao AH, BK của tam giác ABC (H ∈ BC ; K ∈ AC) Chứng minh :
a Tứ giác AKHB nội tiếp được trong một đường tròn
b Độ dài đoạn HK không đổi
c HK vuông góc với OC
Gọi I là trung điểm AB
a Ta có : AKB = AHB = 90o ++
⇒ Tứ giác AKHB nội tiếp được trong đường tròn đường kính AB, tâm I +
b Do A, B cố định nên ACB = 1
2sđ AB không đổi +
⇒ CAH = KAH = 90o – ACB không đổi
⇒ KIH = 2KAH = 180o – 2ACB không đổi +
O
C
H K
I
x
Trang 6Đường tròn (I) có đường kính AB cố định và KIH không đổi nên độ dài HK
Trang 7c Kẻ tiếp tuyến Cx của đường tròn (O).
Ta có : tứ giác AKHB nội tiếp ⇒ ABC = CKH +
mà ABC = xCA nên xCA = CKH +
Ghi chú :
- Mỗi dấu + tương ứng với 0,5 điểm
- Mỗi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó
- Điểm toàn bài bằng tổng điểm các phần, không làm tròn số
O
C
H K
I
x
