Gọi S là tập nghiệm của phương trình, số nghiệm của phương trình 2 A.. Tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đều là: A.. Cho tam gi
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA
LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút
A TRẮC NGHIỆM (8 điểm)
Câu 1 Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương n sao cho
2
1024 15
n
là số tự nhiên
A 1 B 4 C 3 D 5
Câu 2 Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy AB CD sao cho , AB4,CD9,
DABDBC Độ dài đường chéo BD bằng:
A 6 B 7 C 8 D 10
Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng di qua điểm M 2;5 và song song với đường thẳng y2xcó phương trình là:
A y2x1 B y2x1 C y 2x 9 D y 2x 1
Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai điểm A 2;3 và B 6;1 Độ dài đường cao hạ
từ đỉnh O của tam giác OAB bằng:
A 5
5 2
2 2
Câu 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm , A 2;3 ;B 2; 2 ; C 2; 2,D3;3
Diện tích tứ giác ABCD bằng:
A 15
15 2
2 C 15 D 30
Câu 7 Cho bốn điểm A B C D nằm trên đồ thị hàm số , , , y x2sao cho ABCD là một tứ giác
lồi nội tiếp đường tròn đường kính AC Gọi M x y 1; 1 ;N x y lần lượt là trung điểm của 2; 2
,
AC BD Giá trị y1y2 bằng:
A 0 B 2
2 C 1 D 2
Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB3,AC 4và phân giác AD Giá trị
DCDBbằng:
A 1
3
7 C
4
7 D
5 7
Câu 9 Gọi S là tập nghiệm của phương trình, số nghiệm của phương trình
2
A 2 B 4 C 2019 D 2020
Câu 10 Biết x 3 2 3 3 2 3là một nghiệm của phương trình 3
x a x a
Giá trị a a2 1bằng:
A 3 1
2
B 3 1 C 6 2
2
D 3 1
Câu 11 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH trung tuyến AM Biết ,
24
25
AH
AM và cạnh huyền BC35.Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
Trang 2A 3,5 B 7 C 8,75 D 14
Câu 12 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 5, đường cao AH 2.Kẻ HK vuông góc AC K thuộc AC) Độ dài CK bằng: (
A 3 5
2 B
8 5
5 5
16 5 5
Câu 13 Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng-ten 100m Biết rằng học sinh đó nhìn
thấy đỉnh tháp ở góc 19 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 0 1,5 m Chiều cao của tháp (làm tròn đến đơn vị mét) bằng:
A 34 B 35 C 36 D 38
Câu 14 Tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của một
tam giác đều là:
A 1
1
3 C
1
2 D
2 3
Câu 15 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với
BC tại D Biết BD2DC10.Diện tích tam giác ABC bằng:
A 25 B 50 C 50 2 D 100
Câu 16 Có tất cả bao nhiêu cách xếp bạn An, Bình, Cường, Thắng , Việt ngồi thành một
hàng ngang sao cho hai bạn Thắng và Việt không ngồi cạnh nhau
A 48 B 72 C 96 D 118
B Tự luận (12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương đôi một phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số
b) Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1;2;3;4…;2018 rồi viết ra 2018 số dư tương ứng sau đó bạn Việt chia số 2019 cho 1;2;3;4;….;2019 rồi viết ra 2019 số dư tương ứng Hỏi ai có tổng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
3 3
x y xy
b) Giải phương trình: 1 2
10 11 1
x
Câu 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp O D thuộc đoạn BC (D không trùng B, C) và , O tiếp ' xúc trong với O tại K, tiếp xúc với đoạn CD AD tại F, E Các đường thẳng , KF KE cắt (O) , tại M, N
a) Chứng minh rằng MN / /EF
b) Chứng minh rằng MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC
c) Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC
Câu 4 (1,0 điểm) Cho các số thực x x1, 2, ,x n 0;1
Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2
1 x x x x n 4 x x x x n
Trang 3ĐÁP ÁN Câu 1,
a) Áp dụng quy tắc chẵn – lẻ Xét các trường hợp sau:
Ta có a b c cùng chẵn nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của , , chúng là số chia hết cho 2
Ta có a b c củng lẻ nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của , , chúng là số chia hết cho 2
Ta có a b c có một cặp số lẻ nên hiệu và tổng của 2 số lẻ chiaa hết cho 2 , ,
, ,
a b c có một cặp là số chẵn nên hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2
Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài Hai trường hợp cuối có một cặp số thỏa mãn đầu bài Vậy có ít nhất 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 nên là hợp
số
Áp dụng quy tắc số dư Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0,1,2 ,3,4, Xét các trường hợp:
*Cả 4 số có số dư khác nhau 0,1,2,3 ; 0,2,3,4 ; 0,1,4,2 ; 0,4,2,3 1, 2,3, 4 bao giờ cũng
có ít nhất 1 cặp số có số dư là 1 4 hoặc 2 3 nên tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5 Với nhóm số dư 1, 2,3, 4 nên suy ra 2 cặp có tổng chia hết cho 5
*Cả 4 số có số dư trùng nhau nên 6 cặp từng đôi một có hiệu bằng 0 nên chia hết cho 5
*Cả 2 cặp số có số dư trùng nhau nên hiệu của 2 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5
*Cả 1 cặp có số dư trùng nhau nên hiệu của 1 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5
Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5 Hay trong 5
số nguyên dương đôi một phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số
b) Gọi T là tổng các số dư của Thắng, V là tổng các số dư của Việt Gọi t1; t2018là số
dư chia 2018cho 1,2, ,2018; gọi v1; v2019là số dư chia 2019 cho 1,2 2019.Ta thấy rằng: T t1 t2 t2018;V v1 v2 v2019 với i1,2,3, 2018 Nếu
1
2019 i v 0 t i i 1 Nếu v1 i 1 v1 t i 1
1 1 2 1 2018 1 2019 2018 2019
2019
S là tổng các ước không vượt quá 2018của 2019 Ta có 2019 1.3.773 Suy ra
2019 677
S nên ta có V T 2018 677 T 1341.Suy ra V T
Và V T 1341
Câu 2
a) Ta có:
x y xy
x y xy
x y s xy p s p Khi đó hệ tương đương với :
3
s p
Giải hệ trên ta có nghiệm
Trang 4b) Điều kiện xác định: x0
2
2
2
1
1 17
6
1 17 1 13
;
x
x
x x
x x
x
S
Câu 3
a) Qua K kẻ tiếp tuyến chung d với O và O Gọi H là giao của (d) và BC '
/ /
KEF FKH MNK MN EF
b) Ta có tam giác HKF cân tại H suy ra HKF HFK MBMC suy ra AM là phân
giác BAC Suy ra BCM MKC nên ta có MC là tiếp tuyến KFC
I
H
M
N
O
A
O'
K
F E
Trang 5c) Gọi AM cắt EF tại I Ta chứng minh I cố định Thật vậy, ta có AKN AMN AIE
nên tứ giác AEIK nội tiếp
Suy ra DEF EKF EAIEIAEKI IKEEIAIKFhay MIF IKF
Suy ra MIF MKI g g( )MI2 MK MF (1)
Ta có MC là tiếp tuyến KFC suy ra MC2 MF MK (2)
Từ (1) và (2) suy ra MI MK.Lúc đó ta có:
MICMCI IACICAMCBBCI ICABCI
Nên CI là phân giác ABC,mà AM là phân giác BAC nên I cố định
Câu 4
Áp dụng BĐT 2
4
AB AB với A1;B x1 x nta có:
1 x x x x n 4 x x x x n với x x1, 2, x n 0;1
x x x x x x Tương tự ta có:
2 2; ; n n 1 2 3 n 1 2 3 n
x x x x x x x x x x x x
1 x x x x n 4 x x x x n 4 x x x x n
Dấu " " xảy ra khi có 1 số bằng 1, các số còn lại bằng 0