kf (x) dx = k
Z
f (x) dx với k là hằng số khác 0 4)
Cho y = f (u) và u = g(x) Nếu
a
f (x) dx +
bZ
c
f (x) dx với a < c < b.
k
bZ
a
f (x) dx =
bZ
a
f (x) dx +
bZ
ag(x) dx.
a
f (t) dt =
bZ
a
f (z)dz.
Trang 2f0(x) dx = f (x)
b
Phân tích hướng dẫn giải
bZ
a
f (x) dx 2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI
=
Z
dx + 2
Zd(x + 1)
3
x + 2√
x + 1 − 4 dx =
8Z
3(x−4) dx+2
8Z
å 8
3
=197
6 .
Trang 32
f (x) dx =
7Z
0
x · ex+1− ex+1+ 2x + 5 dx = xex+1− 2ex+1+ x2+ 5x
1
Trang 4ln2x
x dx =
eZ
1
ln2xd(ln x) = ln
3x3
e
x2
2 − 12x2 + 2 ln(−x) + C2 khi x < 0
x2
2 − 12x2 + 2 ln(−x) + 1 khi x < 0
Vậy f (−2) + f (2) = 3
4+ 4 ln 2.
Trang 5Zd(ln x − 1)
Câu 7 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f0(x) =
√xp
ã
dx = 32
1 + x√
xdx =
23
Z
d (1 + x√
x)p
1 + x√
x =
43
Trang 6f (x) dxbằng
√
x + 1 +
Zdx
Trang 70(x · ex− ex+ 3) dx =
2Z
0x·exdx+
2Z
0(−ex+ 3) dx = (x · ex− ex)
2
0+(−ex+ 3x)
2
√2
√2
√2
0
e2x+ 2ex√
ex+ 1 − 4ex dx =
Å1
ln 3
0
= 20 − 8
√2
Trang 8x x + 8√
x + 4 − 16 dx =
5Z
1
p
f (x)
x dxbằng
eZ
1
ln x + 1 + 1x
ã
dx =
eZ
1
√
ln x + 1 · d(lnx + 1) +
eZ
e
Trang 9sin x + 1 − 1 =
sin 2x
√sin x + 1 ·√sin x + 1 − 1
sin x + 1 + 1
= 2 cos x
√sin x + 1 + 1
√sin x + 1 = 2 cos x +
2 cos x
√sin x + 1.
2 + cos
x2
0
sin x + 2
2 + cos
x2
= 2− cos x + 4− cos x
2 + sin
x2
− 3x
π 2
0cos
x + π4
Zd(sin x + cos x)sin x + cos x = ln |sin x + cos x| + C.
f (x) dx =
π 4Z
0cos
x +π4
îln(sin x + cos x) − ln√
ln sin
x +π4
dx
x + π4
i
dv = cos
x + π4
dx
sin
x +π4
dx
v = sin
x + π4
Trang 10
·lnhsin
x +π4
π 4
0
−
π4Z
0cos
x +π4
dx =
√2
2 ln
√2−1+
√2
2x − 3 với x > 3
2, (a, b, c ∈Z) Tính7
⇔5x
2− 15x + 14
√2x − 3 =
5ax2− (6a − 3b)x − 3b + c
√2x − 3 với mọi x > 2
2
f (x) dx =
7 2Z
Trang 11ln 3
f (x) dx =√
2
ln 8Z
2
h
1 + 12
t − 1
t + 1
ã 3
Trang 12dx = x
7
1
f (x) dxbằng
x + 1 Khi đó
1
h
lnx + 12
+ 1
x + 1
i
dx =
2Z
1
lnx + 12
dx+
2Z
1
1
x + 1dx =
2Z
1
lnx + 12
dx+
ln 3 − ln 2.
2Z
1ln
x + 12
x + 12
2
1
−
2Z
1
dx = 3 ln3
2 − 1 Vậy
Trang 13x2+ 2x + 3dx Đặt t = √ 2x + 2
x2+ 2x + 3dx Suy ra
Z
1(x2+ 2x + 3)√
x2+ 2x + 3dx =
Z1
5Z
3
2 dx
= 12
5Z
Äp
x2+ 2x + 3ä
Trang 14
Vì y = f (x) là hàm bậc bốn nên f0(x) là hàm bậc ba Suy ra f0(x) = ax(x − 1)(x − 2) với a 6= 0 Theo đề bài ta có
limx→0
1Z
0
f (x) dx =
1Z
Trang 15−
1Z
0
exf0(x) dx +
1Z
⇔ ln f (x) = 2
3
√3x + 1 + C ⇔ f (x) = e23
√ 3x+1+C
0
f0(x)2 dx = 4
9và
0[f (x) − 1] dx bằng
4 .Suy ra
0
− 14
1Z
0
x4f0(x) dx = f (1)
4 − 14
1Z
1Z
0
x4f (x) dx ⇔
1Z
0
x4f (x) dx = −2
9.
Trang 16f0(x)2 dx + 2k
1Z
0
x4f0(x) dx + k2
1Z
1Z
Z
f0(x)
f2(x)dx =
Z(2x + 1) dx ⇔ − 1
f (x) = x
2+ x + C.
x + 1x
ã 2020
Trang 178 3
f (x)
√3x + 1dx.
Zd[f (x)]
f (x) =
Z
1
√3x + 1dx ⇔ ln f (x) =
23
√3x + 1 + C ⇔
3.
5Z
8 3
f (x)
√3x + 1dx =
5Z
8 3
e23
√ 3x+1−43
√3x + 1 dx.
4 3
2 3
Trang 18ex
ex+ 1dx =
4Z
0
f (x) dx = 4 TínhI =
4Z
0
xf0x2
dx
0
− 2
4Z
0
fx2
dx = 128 − 2I1 với I1=
4Z
0
fx2
0
fx2
dx = 2
2Z
0
f (u) du = 2
2Z
x − 2
Suy ra
2Z
1+
2Z
Trang 19h(x + 2)12 − (x + 1)12
idx
= 23
h(x + 2)32 − (x + 1)32
1
0
= 2√
3 −83
1Z
−1
f (x) dx +
1Z
Câu 35 Biết I =
π 4Z
Trang 20ex· sin x dx = (−ex· cos x)
π 4
0+
π 4Z
0
ex· cos x dx.
π 4Z
0
ex· cos x dx = (ex· sin x)
π 4
0
−
π 4Z
0
ex· sin x dx.
π 4Z
0
ex· sin x dx = (−ex· cos x)
π 4
0+ (ex· sin x)
π 4
0
−
π 4Z
0
ex· sin x dx = 1 − I ⇔ I = 1
2 Vậy a = 1; b = 2 nên a · b = 2.
Câu 36 Cho I =
eZ
1
ln xx(ln x + 2)2dx = a ln 3 + b ln 2 + c
1
ln xx(ln x + 2)2dx.
2
t − 2
t2 dt =
3Z
2
1
t dt − 2
3Z
2
1
t2 dt = ln t
3
2
+ 2t
3
0
dx3x + 5√
3x + 1 + 7 = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, với a, b, c là các số hữu tỉ Giá trị của a + b + c bằng
Lời giải.
1Z
0
dx3x + 5√
3x + 1 + 7.
Trang 211
t(t + 2)(t + 3)dt =
23
2Z
2
2t
t + 1dt =
3Z
0
1p
(x + 3)(x + 1)3dx =
1Z
√ 2Z
√ 3
1
t(−t) dt =
√ 3Z
√ 2
dt = t
√ 3
√ 2
=√
3 −√
2.
Trang 22
x + 1x
1
x ln x dx +
eZ
1
− 12
eZ
e
1
x ln x dx +
eZ
5
dxp
x(x − 1)(√
x +√
x − 1) =
6Z
5
Å1
Trang 233(4 − t) · f (t) dt =
3Z
1(4 − t) · f (t) dt =
3Z
1
4 · f (t) dt −
3Z
1
t · f (t) dt.
3Z
1
4 · f (t) dt − 5 ⇒ 4
3Z
1
f (t) dt = 10 ⇒
3Z
1
f (t) dt = 5
2 hay
3Z
Zd(1 + x ln x)
Trang 24x · f0(x) dx =
π 2Z
0xd[f (x)] = [xf (x)]
π 2
0
−
π 2Z
0
f (x) dx hay I = −
π 2Z
0f
2 − xdx nên I = −1
2
π 2Z
0sin x · cos x dx =
8cos 2x
π 2
0
= −1
4.
... bPhân tích hướng dẫn giải
bZ
a
f (x)
