Bai tap Tich phan co HD

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol Tháng 12 năm 2015.[r]

HƯỚNG DẪN TÍNH TÍCH PHÂN 2015

+ Công thức tính tích phân:

b

b a a



với: F x( )là một nguyên hàm của f x( )

+ Phương pháp đổi biến + Phương pháp tích phân từng phần

Bước 1: Đặt t làm biến mới t u x ( )

Bước 2: Vi phân hai vế (dt u dx ' )

Bước 3: Đổi cận theo biến t

Bước 1: Tính tích phân theo biến t

Ví dụ: Tính  

1

2 2

xdx I

x







Đặt:

2

Đổi cận:

5 5

2

dt

I



Công thức:

b a

(1)

+ Tính:

( ) ( )

b

a

P x Q x dx



Dạng 1: Nếu P x( ) là hàm đa thức theo biến x và

Q( )x là: sin ,cos , , , x x e a x x

Ta đặt:

dv Q x dx v



Dạng 2: Nếu P x( ) là hàm đa thức theo biến x và

Q( )x là: ln ,log , x a x

Ta đặt:

dv P x dx v



BÀI TẬP TÍCH PHÂN

Bài 1

1

2

dx I





Áp dụng:

ln

dx

x a C



x  x  x x

Tìm 2 số A và B sao cho:    

1

x x x x

Giải hệ:



4

I ln 3



Bài 2

2

2

0



Tách thành 2 tích phân: I I 1; 2

2 1 0

cos





( từng phần dạng 1)

2 2 2

0

sin cos





, đặt: tsinx

2

I  

Bài 3.

ln 5

ln 2

1

1

x

e









Đặt: t e x1t2 e x1

Chú ý : t2 e x1 e x  1 t2 2

26 3

I 

1

0

J  x e dx

Từng phần dạng 1

?

x

v

dv e dx





1

J e 

x

2

0

sin 2

4 cos

x

x









Đặt : t 4 cos2x

Chú ý: sin2x'sin 2x

; cos2 x' sin 2x

4 ln 3

K 

Bài 4

2

1

ln

e

x

x

2

2

1

2

1

x

x





3

1

2 ln

dv xdx v



9ln 3 4

Bài 5

1

0

I  e xdx Tách thành 2 tích phân:

1e x x xe x   x

1 1 0

I xdx

;

1 2 0

x

Đặt:

?

?

x

v

dv e dx





3 2

I 

1

4

1

1



3

15

J 

2

0



Từng phần dạng 1



3

K  

Bài 6

1

0

I  x dx Đặt :

2

9

I 

1

0

?

x

v

dv e dx





3

J e 

2

2

1

Bài 7.

0

1 cos



x  x  x x x

1 0





;

2 0

cos





Đặt:

?



2 2 2

I  

1

2 2

0

1

I x x dx

Khai triển đưa về dạng tổng

x x x x  x x  x x

1 30

I 

4 5ln

e

x

x



' 5

4 5ln x

x

15

I 

Bài 10

ln 2

2

0

1

I e  e dx Đặt : t e x 1 dt I 13

1; 2

I I

1; 2

I I

Bài 11

2

2

0

4

 

Bài 12

1

2

dx I

x





 Đặt: xtant với t   2 2; 





Bài 13

1

2 3

0

5

9

Bài 14.

2

4

0



5

I 

Bài 15

2

ln

e

e

dx I

x x

Bài 16

1

2 0

1

x dx I

x x





 

t x   x dt

Bài 17

3 3

2

x dx I

x





t x   t x   Chú ý: x dx x xdx3  2

4 3

I 

Bài 18

3 4

2 0

sin

cos

xdx I

x



sin xsin sinx x 1 cos x sinx

Đặt : tcosx dt

3 2 4 2

Bài 19

7 3

3 2

x dx I

x





t x   t x   Chú ý: x dx x xdx3  2

141 20

I 

Bài 20

2

0

sin 2

1 cos

xdx I

x







2sin cos

Bài 21

tan 2 4

2

0 cos

x

e

x







Đặt : ttanx 2 dt

Chú ý:

cos

x

x

3 2

I e  e

ln 3

x

e dx

e  e 

 Đặt : t e x1 t2 e x 1

Chú ý: t2 e x1 e x  1 t2 2

+

2

2 0

2 2

dt I

t







Đặt: t 2 tanu với

;

2 2

u   

2 4

I 

Bài 23

2

2

sin

4

sin 2

x





2

t x dt

Bài 24

1

x x

e dx I

e









x

t e dt

Chú ý: ex' ex

Bài 25

2

2

3

0

sin cos

sin x

sin xcos3 sin sin xsin cos 1 sin2

Đặt : tsin2x dt Chú ý: sin2x' 2sin cosx x

+

1

0

1 1 2

t

Đặt:

?

t

v

dv e dx







1 2

e

I  

Bài 26

1

sin ln

x

Bài 27

2

ln

e

e

x

x

2

t x t  x dt

2

2 2 1 3

Bài 28

1

1 3ln ln

e

x



2

135

I 

Bài 29

2

5 1

ln x

x

5

ln

?

?

du dx

v dv

x

















Rồi thay vào công thức (1)

ln 2 15

0



Tách thành 2 tích phân: I I 1; 2

2 sinx x e x 2 sinx x2 x e x

2 1 0

2 sin





Đặt:

2?

sin?

uxdu dvxdxv





2

2 2 x

I  x e dx Đặt : t x 2 dt 

2

4 1

I e



Bài 31

1

0

x

I e dx Đặt :

t x t  x

1

0

2 t

I te dt

Đặt:

?

t

v

dv e dt







2

I 

Bài 32

1

dx I



 

1

 

Tính:

1 1 0

1

và

1 2 0

2

2 2 2 3

0

1 tan

x



Đặt : ttanx dt

Chú ý:

2

1

cos

x

Bài 34

2

0

sin 2 sin

1 3cos

x











sin 2xsinx2sin cosx xsinx 2cosx1 sinx

Đặt : t 1 3cos x t2  1 3cosx

34 27

I 

Bài 35

2

0

sin 2 cos

1 cos

x x

x









Biến đổi: sin 2 cosx x2cos sin2x x

Bài 36

2

sin

0

x



Biến đổi: esinxcosxcosx e sinxcosxcos2x

2 sin 1 0

cos

x





Đặt: tsinx dt

2 2 2

0

cos





Dùng công thức hạ bậc…

1 4

I   e 

Bài 37

dx x

x

I 

7

0 3 1

2

10

I 

Bài 38

3

2

0

sin tan



sin tan

cos

x



 Đặt : tcosx dt

3

ln 2 8

Bài 39.

4

sin

0



Tách thành 2 tích phân: I I 1; 2

1

sin tan

cos

x

x

Đặt : tcosx dt

4 sin 2

0

cos

x





Đặt : tsinx dt 

1 2

1

2

Bài 40 

e

xdx x

I

1

2ln

Tich phân từng phần dạng 2

?

v

dv x dx







3

Bài 41

dx x

x

1

0

2

I x x  dxx x  xdx

Đặt : t x2 3 t2 x2 3

6 3 8 5





3

x x

x

Chú ý:

2

x  t ; x 3 t2 4

6ln 3 8

I  

Bài 43

dx x x

1

0

2

I x  x dxx  x xdx

Đặt : t 1 x2  t2  1 x2

8 105

I 

Bài 44 

2

0

3 sin5



xdx e

Tich phân từng phần 2 lần

Lần 1 Đặt:

? sin 5

u e

v









Lần 2 Đặt:

? cos5

u e

v









3 2

e I



Bài 45

3

0

1

I x x  dxx x  xdx

Đặt : t x2 1 t2 x2 1

848 105

I 

Bài 46  

4

0

2

2 sin 1

sin 2 1



dx x

x I

Biến đổi: 1 2sin 2xcos 2x

2



Đặt : t 1 sin 2x dt

1

ln 2 2

I 



0

1

2 2x 4 x

dx I

Biến đổi: x22x 4 x123

2 2

I

Đặt : x 1 3 tant dx

3 18

I 

Bài 48 

e

dx x

x I

1

2

ln

Tich phân từng phần dạng 2

ln

? 1

?

du v

x

















2 1

I e

 

Bài 49

dx x

x

I 

3

7

0 3 3 1

t x  t  x  t dt 

3

46 15

I 

2

0sin 1

3 cos



dx x

x

3

sin 3x3sinx 4sin x

cos 3x4 cos x 3cosx4cos 1 sinx  x  3cosx

1 4sin 2 xcosx

cos3

x



Đặt : tsinx 1 dt

2 3ln 2

I  

Bài 51 

e

xdx x

I

1

ln

Đặt:

?

dv xdx v



2 1 4

e

I  

Bài 52a.

2

0

sin

2

xdx I

x









Biến đổi:

2

x

1 cos

2

I





Đặt : t 1 cosx dt

ln 2

I 

Bài 52b.

2 3

2 0

sin sin 2 cos

I





2

tan

2 cos

xdx

x



2

I

3

I  

Đặt : tan cos2

dx

x

2 2

2 2

?

tan

x

x





Bài 53

dx x x

0

2







Lần 1 Đặt : t  x  t2  x 2tdt

Lần 2 Đặt :

2

? sin

du

u t

v

dv tdt









I  

Bài 54

dx x

x x

x

2

0

2

2

3

4

9 4 2

Chia tử cho mẫu, tách thành 2 tích phân

2

2 1 0

2

2

dx I

x







Đặt : x2 tant dx

6 8

Bài 55    

1

0

3 1 x

xdx

t x   x t 

1 8

I 

e

x x

dx I

1 1 ln2

Đặt : ln

dx

t x dt

x

1 2

e

I

Đặt : tsinu dt

6

I 

Bài 57.



2

0

2004 2004

2004

cos sin

sin



dx x x

x

2

x  t dxdt





4

I 

Bài 58 

2

0

3

cos 1

sin 4



dx x

x

2

4sin

x



Đặt : t 1 cosx dt

2

I 

Bài 59.

2

0

sin 2x

cos x 4sin x









cos x4sin x 1 sin x 4sin x 1 3sin x

Đặt : t 1 3sin2 x dt 3sin 2xdx

2 3

I 

Bài 60

6

2

dx I





Đặt : t 4x 1 t2 4x 1 2tdt

2

2

t

x     t 

5

2

tdt I

t





Tìm A và B :  12 1  12  12

t



I ln

2 12

Bài 61

1

2x 0

Ix 2 e dx

?

x

v

dv e dx







2

5 3

e

I  

Bài 62

2

0





4

Bài 63

2

1

Ix 2 ln x dx u dvlnx x 2dx v du??



5 2ln 2 4

I  

Bài 64

ln5

ln3

dx I





1

x

e

e e e e

Tìm A và B :    

1

t t t t

3

I ln 2



Bài 65

10

5

dx I

x 2 x 1



2

t x  t  x  tdt  

3

2 2

2 1

tdt I

t





2

1

t



2 ln 2 1

Bài 66

e

1

3 2ln x

x 1 2 ln x







1

2 0

Ix ln 1 x dx

Lần 1 Đặt : t x 2 1 dt

Lần 2 Đặt :

?

dv dt v



1

I ln 2

2

Bài 68.

2

2 1

ln 1 x

x





Đặt :

2

ln 1

?

?

du

dv x

















2 2

1 1

1

x





1

x x x x

3 3ln 2 ln 3

2

Bài 69

1

2 0

3

Bài 70

1

2 0

x

1 x





ln 2 2

I 

Bài 71

2

4

sin x cosx

1 sin2x













Đặt : tsinxcosx dt dx

1

ln 2 2

3

2 0

Ix ln x 5 dx

Lần 1 Đặt : t x 2 5 dt

Lần 2 Đặt :

?

dv dt v



14ln14 5ln 5 9

2

Bài 73

2

3 0

cos2x

sin x cosx 3





cos 2

x



Đặt : tsinx cosx 3 dt dx

1 32

I 

Bài 74

4

0





2 1 8

Bài 75

4

0

cos2x

1 2sin 2x







Bài 76

ln2 2x

x 0

e





 Đặt : t e x 2 t2 e x 2 2tdt e dx x 8

2 3 3

Bài 77.









3 2

0

4cos x

1 sin x

2

4cos

x



Đặt : t 1 sinx dt

2

I 

Bài 78

4

2 0

x

cos x





?

? cos

u x

du

dv

x

















tanxdx ln cosx C



1

ln 2

I  



  



3

1

x

2

t x  t   x tdt dx

2

x

  

12 ln 3 8

Bài 80.

9

3 1

7

I 

Bài 81

e 3

1

x 1

x



Lần 1 đặt :

ln 1

ln 3

dx du

x

x











Lần 2 đặt : tln x  dt

3

e

I  

Bài 82

1

0

Ix 2 x dx Đặt : t 2x3  t2  2 x3 2tdt3x dx2 6 3 4 2

9



Bài 83

 



2

0

2 cos 1 2



xdx x

2

x

Đặt :

sin 2



2 1

1

Bài 84

  



1

0

3

e x

1 2 1

0

x

Đặt : 2

?

?

x

v

dv e dx







1 3 2 0

1

Đặt : t3 x1 t3   x 1

4 14

e



Bài 85









1

2 0

x 1

x 1

1

xdx I

x







Đặt : t x 2  1 dt? 1

0

1 1

x







Đặt : x tan t t 2 2;

 

1

ln 2





Bài 86

1

2 0

t x   dt 

Lần 2 đặt :

?

dv dt v



1

ln 2 2



Bài 87

2

1

x x 1

x 5







10 ln 3

3 

Bài 88 

Ixcosxsinxdx

2 1 0

sin





Đặt :

sin?

uxdu dvxdxv





2 3 2

0

cos sin





Đặt : tcosx dt?

5 4

Bài 89a

2

0

cosx

5 2sin x







Bài 89b.

2

0

J2x 7 ln x 1 dx  Đặt :

?

v









24ln 3 14



4

8 0

     

1 tan x 1 tan x 1 tan x 1 tan x

Đặt : ttanx dttan2 x1dx

76 105

Bài 91

4

2 3

4x 3

x 3x 2







x





Tìm 2 số A và B sao cho:    



Giải hệ:



18ln 2 7 ln 3

Bài 92

3 6

0

sin3x sin 3x

1 cos3x















Đặt : t 1 cos3x dt3sin 3xdx

1 1

ln 2

6 3

Bài 93.

1

ln x 2 ln x

x



Đặt : t32 ln 2x  t3  2 ln2x 3t dt2  33 3 

0



  cos4x sin4xcos2 xsin2x cos2x sin2xcos 2x 12

Bài 95

4

0

cos2x

1 2sin2x







ln 3 4

Bài 96

2

0

I sin xsin 2xdx





2

sin sin 2x x2sin cosx x

3

1

2 0

x

x 3





ln

3 4

Bài 98.

2

2 1



sin cos

du xdx

u x







Lần 2 đặt :



2 2 4





e

2 1

dx I

x 1 ln x







Lần 1 đặt : ln

dx

t x dt

x

Lần 2 đặt : t tan u u 2 2;

 

4



Bài 100

2

4

sinx cosx

1 sin2x











2

1 sin 2 x sinxcosx sinxcosx

Đặt : tsinxcosx dtcosx sinx dx

1

ln 2 2

Bài 101







3

4

ln tan x

2

ln tan

dx dx

t x dt

ln 3 16

Bài 102.

2 0



2

4

Bài 103

e

1

ln x

x

Đặt :

ln

2

dx

du x dx

dv

x









4 2 e





0

2 1

1

Đặt : x 1 tan t t 2 2;

 

4



Bài 105.

7

3

3

0

x 2

3x 1







 Đặt : t33x 1 t33x 1 3t dt2  137

30

Bài 106







4

2 6

x

sin x

u x

du dx dx

dv

x

















3 2 3 1

ln 2







cotxdxln sinx C

Bài 107

2

1

I4x 1 lnx dx

ln

2

dx

x





6ln 2 2

Bài 108.

3

6

dx I

sin x.sin x

3







sin sin

3





dx

x

2

ln 2 3

Bài 109

e

1

2

3

?

v

dv x dx











?

v

dv x dx







4

32

e 

Bài 110 I =

4

0

2x 1 dx



Bài 111 I=

1

2 0

x x 1

dx







2

1

Tìm 2 số A và B sao cho:    

4



Giải hệ:



3

1 ln 2 ln 3

2

Bài 112

3 2

0

4cos

1 sin

x

x









2

4cos

x



Đặt : tsinx dt

2

Bài 113

7

3 0

3 1

x

x







5

Bài 114

2007 1

2 1

3

1



1

2008



Bài 115

1

.ln

e

I x x dx

xlnx2 x2ln2x

Lần 1 Đặt :

2

2

?

v

dv x dx











?

v

dv x dx







1

27 e 

Bài 116

4

2

0

.sin



Tính: I2

384 64 8

2

1

0

1

2



4

2

2

0

1

cos 2

2



Lần 1 Đặt :

? cos 2

du

u x

v









Lần 2 Đặt :

?



Bài 117

0

2 1



1

1 1;0

x



 





1

Bài upload.123doc.net.

3

2 2

dx

I

x x





 

2 2

1 cot

3 1



Bài 119 I =

3

3 2 1

x x  1dx

 Đặt : t3 x21 t3 x2 1 3t dt2  6

1





0 2 1

1

x

I xe dx



Đặt : 2

?

?

x

v

dv e dx





 0

2 1

1

I x x dx



Đặt : t x 1 t2   x 1 2tdt ?

2

4e  60

Bài 121 I = 

1

3x 0

xe dx

Đặt : 3

?

?

x

v

dv e dx





Bài 122 I =

4 6

0

tan

cos 2

x dx x





cos 2xcos x sin xcos x 1 tan x

; Đặt: ttanx dt ?

ln 2 3

Bài 123.

4

0

sin

4 sin 2 2 1 sin cos

I







Đặt: tsinxcosx

4

sin 2x2 1 sin xcosx  t 1

4 3 2 4



Bài 124 I =

2

3 1

ln x

dx x



Tích phân từng phần:

?

dx

v dv

x

















3 2 ln 2 16



0

cos x 1 cos xdx







cos3x1 cos 2 xcos5x cos2x

cos xcos cosx x 1 sin x cosx

2

8

15 4





3

2 1

3 ln 1

x dx x







3 ln

?

? 1

du dx

x

 

















3 ln



Bài 127 I =

3

1 x 1

dx

e 

ln e  e 1  2

Bài 128 I =

1

2

0

e x e dx



 e2x x e x ex xe x

2

e



Bài 129 I =

0

2

1 2

x

x e x e

dx e





2

2

1 2 2

x

ln

e





ln

2 ln

e

x dx



dx

x

ln

Bài 131 I = 1

3

e

x



 2x 3xlnx2 lnx x 3lnx x

2 1 2

e



Bài 132 I =

1

0

1

x dx x





x



 

Bài 133.

4

0











cos 1

x sin cos

 



2

Bài 134 I =

3

2 0

cos

dx x









x



2

3



Bài 135 I =

4

0

x dx x



 

2

1

1

x dx

x x





Bài 137 I =

3

2 1

1 ln x 1

dx x



ln 3 ln 2

Bài 138 I =

x dx

x  x 

2



Bài 139 I =

4

0

1 sin 2







2 1

32 4





Bài 140 I =

3

x dx

x 

Bài 141 I =

5

dx x

Bài 142 I =

1

2 0

1 1

x dx x





Bài 143 I =

1

2

0

2

x  x dx

Bài 144 I =

2

2 1

1 ln

dx x



Bài 145 I =

2

0

1 cos





Bài 146 I =

1

0

1xe dx x

Bài 147 I =

2

1

1

x dx x



Bài 148 I =

2 2

2 1

dx



Bài 149 I =

4

0

1 sin 2





Bài 150 I =

2 2

1

2ln

dx x



2

2

3

1

2x lnx dx

2 

Bài 152 I =

1

0

3 x

Bài 151 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y e 1 x, y    1 e x x

2

e



Bài 152 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x ln x ,  y 0, x e Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành

khi quay hình H quanh trục Ox KQ:

5 3 2

27

e

Bài 153 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

1

0 à

1





1

ln 2 1



1

2 3





Bài 155 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình y x 2  2; y x; x 1; x 0

KQ:

7 6

Bài 156 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y x cos x  2 , x 0 , x  KQ: 2



Bài 157 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P y: x24x

và đường thẳng d y x:  KQ:

9 2

Tháng 12 năm 2015