Đề tài Sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản42620

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học

SÁNG TẠO BÀI TOÁN TÍCH PHÂN MỚI TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN

TÍCH PHÂN CƠ BẢN A- MỞ ĐẦU:

1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình Toán phổ thông ,Tích phân là một trong những phần quan trọng của môn Giải tích lớp 12 Các bài toán tích phân rất đa dạng và phong phú, thường có mặt trong các kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng Đây là những bài tập gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng bộ môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác ; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập của học sinh”

Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng phát hiện

ra những bài toán mới từ những bài toán đã có; cần khơi dậy và phát triển tiềm năng sáng tạo còn tiềm ẩn trong mỗi học sinh

Bài viết này tôi xin đưa ra một biện pháp được áp dụng trong khi dạy chủ

đề tự chọn Nguyên hàm-Tích phân lớp 12 là “sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản”, nhằm giúp các em học sinh có kiến thức sâu , rộng về tích phân; có thêm nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng , và giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo

2 Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh lớp 12 trường THPT Quang Trung

- Kiến thức về Nguyên hàm và Tích phân; Kỹ năng tìm Nguyên hàm và tính Tích phân

-Giải pháp giúp học sinh lớp 12 học tốt Tích phân

3 Phạm vi của đề tài:

Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12A trường THPT Quang Trung,vào các tiết tự chọn thuộc chủ đề Nguyên hàm-Tích phân

4 Phương pháp nghiên cứu:

a) Nghiên cứu tài liệu:

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:

- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12

- Tài liệu tham khảo

b) Điều tra:

- Thực dạy và kết quả kiểm tra:

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực dạy các lớp 12: +Năm học 2008-2009: Lớp 12A: đối chứng

+Năm học 2011-2012: Lớp 12A: thực nghiệm

- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải toán tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp,

từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình

- Đàm thoại:

+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp với phân môn

+ Trao đổi với các em học sinh về các bài toán tích phân mới để biết được cách tìm ra hướng giải bài toán của các em, từ đó có cách dạy tốt hơn

c)Giả thuyết khoa học:

Nếu học sinh tìm ra được bài toán mới thì các em cảm thấy hăng say, tích cực , tự tin , và kết quả kiểm tra cho thấy các lớp thực nghiệm vẫn cao hơn

B-NỘI DUNG :

1.Cơ sở lí luận:

Có nhiều bài tập tích phân và ví dụ trong SGK khi giải xong học sinh vẫn chưa hiểu tại sao lại giải như vậy, và những bài toán như thế nào thì vận dụng phương pháp giải đó Và khi gặp bài toán có một số điểm tương tự với bài toán

đã giải là học sinh cứ mặc nhiên vận dụng mà không phát hiện ra sự nhầm lẫn của mình Nhiều giáo viên đã đưa ra được nhiều phương pháp giải quyết vấn đề

đó có hiệu quả như: Phân dạng bài tập theo phương pháp giải và giải nhiều bài tập cho học sinh ghi nhớ Theo phương pháp này đôi khi học sinh cảm thấy sợ

vì phải ghi nhớ quá nhiều; thậm chí có học sinh tưởng mình biết tất cả các phương pháp giải rồi dẫn đến không còn hứng thú trong giải các bài toán tích phân mới

2 Cơ sở thực tiễn:

a) Thực trạng việc dạy của giáo viên:

Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưng thường dừng lại ở mức độ nhỏ lẻ như khai thác những bài toán tương tự, tìm và giải bài toán tổng quát

Đa số học sinh chỉ biết giải các bài tập tích phân tương tự với những bài

mà mình đã giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán tích phân mới Nhiều học sinh không hề có chút suy nghỉ tìm lời giải khi gặp những bài toán tích phân mới

Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2008-2009:

Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu

c)Sự cần thiết của đề tài:

Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên, tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu những kinh nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả dạy tích phân cho học sinh lớp 12

3 Nội dung vấn đề:

a)Vấn đề được đặt ra:

Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực , chủ động

và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện Để phát huy điều đó, chúng

ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập, để đem lại kết quả trong học tập tốt hơn ,và hiệu quả giảng dạy cao hơn

b)Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch;Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài

c)Các bước sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích

Trước tiên ta bắt đầu từ bài toán tích phân của một hàm số thường gặp mà không có trong bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp của sách giáo khoa Giải tích 12 :

Bài toán 1: Tính tích phân : ln

e

Giải:

1 ln

x



1

e

1.1)Tìm một số tích phân dạng ln ( ) ( với là một trong các hàm số

b

a

u x dx

thường gặp), ví dụ:

a) ; ;

1

0

ln(3 1)

0 ln( 3 2)

b) ; ;

1

2

0

ln( 1)

0

2

4

1

ln( 1)

4

ln(sin ) cot





0 ln(cos ) tan



1

0

ln( 1)

1

x

x

x

e



ln

e

e

x



3

6

ln(tan ) tan

tan

x

x





0 ln(1 tan )



 

1

0

ln(1 )

0

5

2 2

1.2) Tìm một số tích phân dạng ( ).ln ( với là một trong các hàm số

b

a

thường gặp), ví dụ:

1

.ln ( 1)

e

I x  xdx   

1 (2 1).ln

e

1

(3 2 5).ln

e

b) ; ;

1

1

.ln

e

x



1

1 ( ).ln

e

x

 

2

1

1 (ln )

x

x

6

sin

x







2

3

cos

x





4

ln tan cos







2

2

4

ln cot

sin





6

ln(cos )

x







3

6

ln(sin )

x





1 ln

e

1.3)Tìm một số tích phân dạng u x'( ) ln ( )u x dx ( với u x( )là một trong các hàm số thường gặp), ví dụ:

a) ; b ) ; c)

1

2 0

ln( 1)

6

cos ln(sin )







; d) ; 3

0

sin ln(cos )



0 ln( 1)

e) ln(ln ) ; g) ;

e

e

x

x

6

ln(tan ) cos

x

x







h) ; i)

3

2

6

ln(cot )

sin

x

x





0

1.4)Tìm một số tích phân dạng b (ln ) ( với là một trong các hàm số

a

dx x

thường gặp), ví dụ:

e

e

x

x





b) 1 ; ( );

ln

e

e

e



 

1

2 ln 3

(ln 4)

e

x







1

1 (ln 4)

e







c) 1 3ln ;

1

1

e

x

x





d) 2 ; ;

1

1

(1 ln )

e





1

1 ln

e

x

x





2

1

1 ln

e





x





g) ; ;

1

ln(1 1 ln )

e

x

x

1

ln(ln 1 ln )

e

x



2

2

4

ln 1

(ln 1)

e

e

x









2

2 4

ln 1 (ln 1)

e

e

x









2

4

1 (ln 1)

e

e













 f x( ).loga xdx



 u x'( ) loga u x dx( )





(với , là một trong các hàm số thường gặp), ví dụ:

(loga )

dx

x



a) ; ;

2

2

1

log

0 log (3 1)

1

2 2

0

log ( 1)

2 0 log ( 3 2)

2

2 1

2 1

(3 2 5) log

1

2 2

0

log ( 1)

6

cos log (sin )







2

2 6

sin log (cos )





2 6

log (tan ) cos

x

x







3

2

2

6

log (cot )

sin

x

x





e

x

x

 

4

2

log (1 log 1)

x



4 log 1 (2 2 log 1)

x







2

2

log 8

( log 2 2)

x





 



Do học sinh không được làm quen với cách đặt xacost hoặc xasint

trong những bài toán giải phương trinh vô tỉ có chứa biểu thức ax, ax và

nên còn khó hiểu khi giải bài toán sau đây:

2 2

Bài toán 2.Tính các tích phân sau: (Bài tập SGK)

a) 1  ; b) ( với )

0

2

1 x dx

I

2

2 2 0

1

a





Giải:

a)Đặt x sint, với [0; ], ta có :

2

và với x 0 thì t 0, với x 1 thì Ta được:

2

t 

0

1 sin cos cos (1 cos 2 ) ( sin 2 )



b)Đặt xasint, với [0; ], ta có :

6

và với x 0 thì t 0, với thì Ta được:

2

a

x

6

t 

6 0 2

1

.cos

6

1 sin

t



Sau khi giảng giải cho học sinh hiểu một cách tường minh bài toán trên là tại sao lại chọn cách đặt đó mà không lựa chọn cách đặt khác Thì ta có thể bắt đầu với các bài toán mới như sau :

2.1)Qua bài toán trên ta thấy xuất hiện các biểu thức lượng giác sin t và cos t

thay thế vị trí của biến và x a2x2 ; và bài toán tích phân hàm số vô tỉ được chuyển thành bài toán tích phân hàm số lượng giác Chính vì thế mà ta nghĩ ngay đến việc thay thế các biểu thức sin t và cos t trong các bài toán tích phân hàm số lượng giác đơn giản bởi biến và x a2x2 để được các bài toán tích phân mới ,ví dụ :

1) a) 1   ; b) ;

0 1 1 2

1

dx x I

1

2 0

1

x





2) a) 1   ; b) ;

1

dx x x

I

1

2 0

1 4





2 2 0

1

a



2 2 0

1

a



1

2 0

2 1

x



x





2

2 2 0

a

x



1 4

2

0 4

x

x





2011 2 1

2012

0

1 1

x







c)Cho 2012 2 Lập hệ thức giữa và

2012

0 1

2 2012 2

2

0 1

x

x





1

3 0

1 3 4

0

1

0

Lưu ý: Nếu đặt xasint thay vào các bài toán tích phân có chứa biểu thức 2 2 thì ta có thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong

bảng

6



4



3



2



2

2

2

Theo cách trên ta đã đưa ra được một loạt các bài tập tương tự với bài toán

đã cho (bài toán 2) Ta tiếp tục với việc tìm kiếm bài toán ẩn chứa trong đó là bài toán 2) như sau:

2.2)Vì hàm số 2 2 là một hàm số chẵn nên ta nghĩ ngay đến bài toán

( )

(với và là hàm số chẵn trên đoạn [ ] )











) ( 1

)

(

dx x f dx

a

x

f

(Chứng minh xem bài toán 5), và chọn một số hàm số chẵn đơn giản có chứa

biểu thức 2 2 để tạo ra các tích phân mới :

2 2

1

a

x

a

a









2

4

2x 1

x











c) ; d) (với ) ; e)

2 2

1

e

e

e









a

a









; f)

2

1

2 4

1 2

x

x

x









e

e











2.3)Kết hợp với bài toán:    (với , là hàm







) ( )

1 ln(

) (x e dx xf x dx

số lẻ trên đoạn [ ; ])(Chứng minh xem bài toán 5.7), ta chọn một số hàm số lẻ

đơn giản có chứa biểu thức 2 2 , ta được các tích phân mới :

ln( 1)

a

x a



1 1

1 ln( x 1)



2

2 2

2

4 ln( x 1)



2

2 2 2

ln( 1)

a

x

a









2 1

ln( 1) 4

x

x











2

2 2 2

ln( 1)

e

x e

e











2.4)Nếu thay thế biểu thức 2 2 bởi cặp biểu thức và ta có các

tích phân mới , ví dụ :

a) ( với ); ;

2

0

a







1 2 1 0

1 1

x

x









1

2

0

2

2

x

x









b) ( với ); ;

2

0

a







1 2 1 0

1 1

x

x









1

2

0

2

2

x

x









0

1

a



0

1





2

2

0

1





2

1

a

a



1 2

1





2

2

1

1





2.5)Từ các bài toán tích phân 2.4) ta đưa ra các bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức ax , ax nhưng giải được theo phương pháp đặt

( hoặc ) , để ghép vào như :

2

0

a





1 2 1 0

1 1

x







1

2

0

2 2

x







2

0

a





1 2 1 0

1 1

x







2 ;

0

2 2

x







2

0

a

a x

  





1 1 2 1 0

1 1

x

x

  







2 2

2

0

2 2

x

x

  







1

0

2

x







2.6)Từ các bài toán tích phân trên ta thấy cặp biểu thức ax và ax quá quen thuộc nên ta tìm cách thay đổi cặp biểu thức đó , ví dụ thay t  a x

( với a 0) vào các tích phân trong bài 2.4) ta có các tích phân :

2

2

a

a

x





1 2 2

x

x





1 4

x

x







2

2

a

a

x



1 2

2 x

x



1

4 x

x





0

1 2

a



 

0

1 2



 

0

1 4



 



2

0

1 2

a



 

1 2 1 0

1 2



 

0

1 4



 



2.7) Từ các tích phân trong bài 2.4) và 2.6) ta đưa ra các tích phân mới có chứa cặp biểu thức ax và bx dạng I a x dx hoặc bằng cách























2

a b

sin

sin

thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong bảng

6



4



3



2



x

2

4

ví dụ :

5

2

1

2

1 3

x

x









5 2 1 2

3 1

x

x







1

3 5

x

x







1

5 3

x

x









5

2

1

2

1 3

x







5 2 1 2

3 1

x





1

3 5

x





1

5 3

x







3 3

1

5 3

x

x

  





1

3

x







3

4

1

b

b a





5 2

1



3

1





2

1

b

b a





2

1



1

1





2.8)Hoặc dạng (a x b)( x dx) , ví dụ :







a) 3  ; b) ;

2 1

2

2 2

1

2 4

1

2.9)Ta xét thêm tích phân :

2

b

hay , và ta có thể chọn một trong các sin

b

b



giá trị của cận tương ứng trong bảng

6



4



3



2



x

2

b

a

4

b a

4

b a

4

b a

 

2

b a

 

ví dụ :

a) ; b) ;

1

2 0

2

1

3 2



  

1

2 0

( 1) 3 2

0

1

3 2





1

2 1

1

3 2





1

2

1 3 2

x







2.10) Thay x lnt vào các tích phân trong bài 2.9) ta có các tích phân: a)

; b) ; 2

1

2 ln ln

e

x



1

3 2 ln ln

e

x



2 1

1

3 2 ln ln

e





a) 1 ; b)

1

2x 4x



0

3 x 6.3x 5

2.12)Từ việc quá quen thuộc với cách giải đối với bài toán tích phân có chứa biểu thức 2 2 ở trên nên ta đưa ra các bài toán tích phân mới có chứa biểu

thức 2 2 nhưng giải được theo phương pháp đổi biến khác (đặt )

để so sánh, ví dụ như:

a) ; b) ;

1

0

1

1 0

x

I xe  dx

1

2 0

ln(1 1 )

Ta đã khai thác các bài toán tích phân có chứa biểu thức 2 2 thì

nên tìm đến bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức 2 2 ,

để so sánh :

Bài toán 3: Tính các tích phân sau:

0

2

 x a dx a

I

2 2 2

, ( 0)

a

a

b) 1 , ( 0 ); ( )

0 2 2





a x

I

2 2 2

1

, ( 0)

a

a





3.1)Tính tích phân:

a) 1 , ( 0 ); b)

0 2 2





a x

I

2 2 2

1

, ( 0)

a

a





0

2

 x a dx a I

a

Cách 1: Đặt xatant với [0; ], ta có : , và với

4

2

1

(1 tan ) cos

t

thì t 0, với xa thì Ta được:

4

t 

2

cos

1 tan

t t



Cách 2:

a x x

a x

x a x dx a x

x dt

2 2

2 2 2

1 (















2 2

 với x   0 t a, với xat ( 1  2 )a

(1 2 )

(1 2 ) (ln ) ln(1 2)

a

a a a

dt

t





b)Tính

5

2 2 2

1

, ( 0)

a

a







x a  t a x 5a t (2  5)a

(2 5 )

(2 5 ) (1 2 ) (1 2 )

a

a a a

dt

t















3.2)Tính tích phân: :

0

, ( 0)

a

2

, ( 0)

a

a

Giải: a)Tính 2 2

0

, ( 0)

a

Cách 1: Đặt xatant với [0; ], ta có : , và với

4

2

1

(1 tan ) cos

t

thì t 0, với xa thì Ta được:

4

t 

2

a

Cách 2:

2 2

2 2

x

 

   





2

2 2

2 2 0

0

a





0 0

b)Tính

5

2 2 2

, ( 0)

a

a

2 2

2 2

x

 

   





5 2 5

2 2

2 2 2

2

a a a a

a





a

2 2

a a



3.3)Thay mỗi giá trị của vào bài toán 3.1) và 3.2) ta được một số tích phân a

mới ví dụ:

1

1

2

0

1

1

x





2 0

1 4

x





2 2

1 1

x







3

2

1

0

1

2 0

4

2

1

3

1

2 0

1 1



2 0

1 4



2 2

1 1





3.4)Từ các bài toán 3.1), 3.2) và 3.3) ta đưa ra những bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức 2 2 và nhưng được giải theo phương pháp

khác (đặt 2 2 hoặc ), ví dụ:

3

x

x





x

x





x

x







3

2 1

0

1

2 0

4

2

1

3

2 0

3.5)Kết hợp bài toán 3.3) và bài toán 3.4) ta có các tích phân mới:

3

0

1 1

x

x







x







2

1 1

x

x









5

1

2

1

1

x

x







1 2

e) 4   ; g)

0

2 9 )

1 2

dx x

x

x I

3.6)Từ công thức :   b , ta xem tích phân trong bài toán 3.1) và

a

b a b

a

vdu v

u

3.2) là biểu thức b để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức , ta có

a

a

udv

các tích phân sau:

0

a

1 0

Bài toán 4 : Tính các tích phân sau:

a) dx (ví dụ SGK ); b) ( Bài tập SGK )

x

I 1 

0

2

1

1

dx x

I  5 

3

5 3

2 25 9 1

Giải:

a)Đặt x tant,với [0; ], ta có : , và với thì

4

2

1

(1 tan ) cos

t

, với x 1 thì Ta được:

4

t

1

.(1 tan )

t



tan 5

6 4

2

3

3

t

5

x

thì , với thì Ta được:

6

5

x

4

t

2 2

6

(1 tan )

t







4.1)Đặt vào vị trí x tan t của các bài toán tích phân hàm số lượng giác đơn giản

ta có các tích phân sau:

a) dx ; b) ;

x

x

I 1 

0

2

1

1

dx x

x x

I 1 

0

2 2 1 2

c) ; d) ;

1 4

2

0 1

x

x





1

1 x

x



 

e) Cho (với ) Lập hệ thức giữa và

1

2

0 1

n n

x

x





4.2)Thay x lnt vào một trong các tích phân trên ta có:

a) 2 ; b)

1

1

(1 ln )

e





1

ln (1 ln )

e

x







4.3)Từ công thức :   b , ta xem tích phân trong bài toán 4) là biểu

a

b a b

a

vdu v

u

thức b để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức , ta có các tích

a

a

udv

phân :