Tính tích phaân baèng caùch söû duïng nguyeân haøm phuï Baøi 1... Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau:..[r]
Trang 1Chuyên đề:
TÍCH PHÂN BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
*dx x C
*
1
1
x
*
1dx ln x C
=> 1udu=ln|u|+C
*
e dx e C
=> e u du=e u+C
ln
x
a
*cosxdxsinx C =>
cos udu=sin u+C
*sinxdx cosx C
2 2
1
cos
os (ax+b)
x dx a c
sin x dx x C
*
1 (ax+b)
a
*
*cos(ax b dx ) 1sin(ax b C )
a
*
1 dx 1 ln ax b C
*sin(ax b dx ) 1cos(ax b C )
a
*
e ax b dx 1e ax b C
a
* tan xdx=− ln|cos x|+C
* cot xdx=ln|sin x|+C
x2− a2dx=
1
2 aln|x − a x +a|+C
Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
b
a
f x dx F b F a
Chú ý: -Nếu
( )
b
a
f x dx
= F x( ) b athì
b
b a a
f u du F u
với u = u(x)
-Nắm vững bảng các nguyên hàm;Nắm vững phép tính vi phân.chú ý: ,
( ) ( )
du x dx
u x
- Chú ý đến phép chia đa thức, phân tích.
(x a x b )( ) a b x a x b ,phép nhân liên hợp
1 Tích phân hàm số hữu tỷ
1.
1
3
0( 1)
x
dx
x
2)
1 2
0
2
dx x
2
3)
2
3
1
dx
x x
2
3
dx
x x
Trang 25) 2
1
1
( 1) dx
ln
1 2 0
1 4
x x x dx
3
1 ln 2 ln 3
2
3 2
3
2
1
1
4
8)
2 2 1
6
x dx
9)
1
2
0
x
1 x
4 2 3
4x 3
x 3x 2
3
2 2
1
dx
x x 1
12)
4
0
sin ( 1) cos sin cos
dx
2 Tính các tích phân vô tỷ:
1)
2
0
x 1 x dx.
2)
1 2 0
Ix x 1dx 2 2 13
3)
7
3
0
x 2 dx
x 1
4)
3
3 2 1
x x 1dx
5)
7
3
3
0
1
x
dx
x
46 15
6)
1
0
dx
x 3 x 1
3
7)
2
0
x dx
x x 1
15
8)
2
1
2
x x dx
3 Tính các tích phân lượng giác sau:
1)
4
0
cos2x
1 2sin2x
4
2)
3 2
0
4sin x dx
3)
3 6
0
sin3x sin 3x dx
1 cos3x
1 1 ln2
6 3
4
0
cos x sin x dx 12
5)
2
0
sin xsin 2xdx
2 3
2 0
sin 2x 1 sin x dx
15 4
7)
2
4
0
1 2sin
1 s 2 xdx
in x
1
ln 2
/2
/6
cos 2 (sinx x cos )x dx
32
9)
/2
0
(cos x sin )x dx
10)
/4
0
sin 4
x dx
11)
/4
4
0 cos
dx
x
4
/3 3
0
tan x dx
3
ln 2
2
13)
/4
4
0
tan x dx
2
14.
4
0
sin 2 cos
3 sin cos
1(ln4 )
2 4
Trang 32
3 0
5cos 4sin
( osx+sinx)
dx c
2 3 sinx-cosx
dx
4 3
17)
/4
6
0
dx
cos x
p
2
3 0
sin sin 3 cos
3 6
4 Tích phân hàm số mũ – logarits
1).
1 2 x 2 x
x 0
dx
1 2e
e
ln 2
2
0 ( 1)
x x
e dx
e
1 6
3)
e
1
1 ln x
dx
x
2 sin 0
cos cos
x
e x xdx e 1 4
0
)cos
x
9)
e
1
2 ln x
dx 2x
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Giả sử ta cần tính I=
( )
b
a
g x dx
.Nếu viết được g(x) dưới dạng: g x( )f u x u x ( ) '( ) thì đặt
t u x dt u x dx .Khi đĩI =
( ) ( )
( ) u b ( )
b
g x dx f u du
Một số dạng thường gặp:
*Nếu tích phân chứa n u x( )thì cĩ thể đặt t = n u x( )hoặc t = u(x)
*Nếu tích phân chứa mẫu số cĩ thể đặt t = mẫu số
* Dạng f(sinx).cosxdxcĩ thể đặt t = biểu thức chứa sinx
*Dạng f c( osx).sinxdx cĩ thể đặt t = biểu thức chứa cosx
* Dạng f(tanx). 2
1 cos x dx, cĩ thể đặt t = biểu thức chứa tanx
*Dạng f(sinx+cosx).(cosx-sinx)dx, đặt t = sinx+cosx
*Dạng
1 (ln )
x , đặt t = biểu thức chứa lnx
*Dạng f e e dx( ).x x , đặt t =biểu thức chứa e x
2.1 Tính các tích phân hữu tỷ:
1)
2 2
4
1
.dx
-+
17
2 2
+
1
(x 1)dx
x 5x 1 x 3x 1
-+ + - +
8 15
3)
3 2
4
1
.dx
+
+
x
=
-4)
1
x
= +
2.2 Tích các tích phân vơ tỷ:
1)
1
0
1
x x dx
2 ( 2 1)
2)
2 0
.dx
+ +
Trang 43
dx
x x
2 ln3
2−
1 3
4)
2
x dx x
11 4ln 2
3
5)
1
01
dx
x
2(1 – ln2)
6)
1
2
x√x −1
x −10 dx 62 30ln 2
3
7).
4
2
7
dx
x x 9
10
dx
I
1
1
x
dx
3
10)
4
0
4x 1
dx 2x 1 2
11)
2 3
2
dx
x x
1 3
2
2
dx x
8 2ln 3
3
13).
64
3
1
dx
x x
3
14)
ln 3 2
x
e dx
e e
15)
x
3
4 1
2011
3
21 7
128 +
14077
5 2
1
1
x
dx
17)
5
2
x
dx
ln 3 ln 2
18)
1
2
dx
2.3 Tích các tích phân lượng giác:
a)
b
a
hoặc b cos sin
a
1.
2
0
sin2 cos
1 cosx x dx
x 2ln2 1 2).
2 0
sin 2 sin
1 3cos
x
3).
/2
0
cos
13 10sin cos 2
x dx
/2
0
sin 2
3 4sin cos 2
x
dx
5).
4
0
dx
cosx
p
ò
ln(1 2)+
6)
/2
/3sin
dx x
1
ln 3 2
7)
/2
0
cos sin cos
2 sin
dx x
3
8)
2
0
3sin 4cos
dx
ln 3
2 3
9)
2
0
(cos x 1) cos xdx
8
15 −
π
4
10)
0
π
2
❑
√1− cos3x sin x cos5xdx
12 91
11)
/2
0
sin x.cos x.dx
ò
p
2
2
0
sin 2
x dx
Trang 53 2
2 0
sin cos
1 cos
14.
3 2 0
4cos
1 sin
b
1 cos
f tgx dx
x
hoặc
1 sin
f cotgx dx
x
1)
0
/ 4cos cos
4
2).
3
3 4
sin cos
dx
3).
3
6 sin sin
3
dx
/6 4
0
tan cos 2
x dx x
.
ln(2 3)
3
dx
3 1 ln 3
6)
2
01 s inx+cosx
dx
1/6
7)
3
4
4
sin cos
dx
8)
4 3 0
2
ç + ÷
ò
p
p
/4
2 0
dx sin x + 2cos x
ò
p
10
2 4
4
sin
xdx
11)
3
6
cotx
dx sinx.sin x
4
2
3
12)
4
2 6
tan
cos 1 cos
x
dx
4
2 0
tan x
dx
4 tan x cos x
3
c)
b
a
f sinx cosx
hoặc
b
a
f sinx cosx
1).
/2
3 0
cos 2
x
dx
4
0
sin
4 sin 2 2 1 sin cos
4 3 2 4
3
4
0
sin cos
3 sin 2
dx x
4)
3 sin 2 0
x x dx x
ln
5) 0
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3dx
6).
2
3 0
sin (sin cos )
xdx
7.
4
0
cos 2
1 sin 2 2 sin( )
4
x
dx
d) Các dạng khác.
Trang 6/ 4
0
cos x(1 x.tan x)
p
+ +
2)
/2
4 0
sin2x
.dx
1 sin x
p
+
p
/2
2 0
sin x x.cos x
.dx
1 x.sin x
p
+
+
.dx 2
0 x.cos x sin x
p
-ị
/2 s in2x 2x dx
/4 sin x(1 x.cot x)
p p
-ị
+
2.4 Tích phân mũ – logaris
1.
3
dx
e
2
2 ln(e e 1)
ln 3
3
x
x
e dx
3)
x
e dx
4)
1 0
2
x
5 ln 2 14
x x
dx
ln 5
ln 2 6.
ln 2 2
0 2
x x
e dx e
8
2 3 3
7.
x
1
3 2ln
1 2ln
dx
9.
3
2
2
1
log
1 3ln
dx
.
4
1
ln 1 ln
e
dx x
3
3 ( 16 1)
ln
(2 ln )
dx
ln sin(ln ) ln 1
e
dx x
12)
2
e
2 2
e
1 ln x
.dx
x ln x
+
13)
/4 2 0
log (1 tan x)dx
p
+
4
p
ç = - ÷
14
2
2
e
e
dx
15)
2 1
dx x
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
3.1.Dạng
( ) n
b
a
P x l xdx
1.
3
2
2
ln(x x dx)
1
2
ln x
3.
3 2
1
ln
e
32
e
2 1
ln 1
e
e
dx x
2
1 e
5
3
2
1
3 ln x
dx
(x 1)
3 (1 ln 3) ln 2
6
2
0
sinx.ln(1+cosx)dx
2ln2-1
7.
3
2
6
ln(sinx)dx
os
ln
1
2 0
ln 1
2
Trang 79) 1
3
e
x
2
e
10.
3
4
ln sin 2
tgx dx x
16
11
3
2 0
4
ln
4
x
x
5
ln
e x dx x
13.
3
ln dx
1 1 x 1 x
2
4
14.
2 1
ln
ln
1 ln
e
x
x dx
e
3.2 Dạng
( ).cos
b
a
,
( ).sin
b
a
1.
0
π
2
2
2 3
2.
/4 2
0
tan
2 1
ln 2
3.
2
0
sin
2−8
4.
2
2
0
cos x dx
– 2
5.
0
π
4
x sin x
4−
1
4
0 1 cos 2
x x dx 8 14ln 2
7.
3
2
0
cos
dx x
8
2
0
.sin cos
3.3 Dạng
( )
b
x a
P x e dx
1
1
2
0
(x 2 ).x e dx x
e
1 2
2
0 2
x
x e dx
3 3
e
1 2 2
2
0 1
x
x e
dx
x
1
2
2
xe x x x dx
3 3
e
5.
2
sin x
0
cos3x.e dx
2 3 0 sin 5
x
3 2
34
e
7).
/ 2
2
0
cos
e x xdx
2
1
2
0
1 sin
1 cos
x x
e dx x
2
e
Trang 8Dạng 4: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số lượng giác
Giả sử ta cần tính
( )
f x dx
.Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), =
x(b)thì
f x dx f x t x t dt g t dt
g t( )f x t x t( ) '( )
4.1 Dạng f(x) có chứa a2 x2 thì đặt x a sin ,t 2 t 2
1
2 /2 2
2
0 1
x
dx x
1
2
2 2
1
1
ln
4 ln
e
x dx
3
2
0 4
x
dx
x
đ
3
4
1
0
4 3
+ 12
9 3
5.
2 / 3
2
x x dx
6.
2 1/ 2 2 x x x dx
7 3 2
7
2
1
4 x
dx
x
3 3
8
2
0 3 2
x dx
x x
9 1 1 ln2
e
dx
10.1
ln 1 ln
1 ln
e
dx
4.2 Dạng f(x) có chứa a2x2 thì đặt x a tan ,t 2 t 2
1
1
2
0
1 x dx
2 1 ln( 2 1)
1
2
0 1
dx x
3
0
2
dx
3 18
4
1 4 6 0
1 1
x dx x
5
6 10
2
2
4
1
1
1
x
dx x
2 6
6
3
2 0
cos cos sin
1 cos
x
2
2 4
7
1 2
3
0
1
x
dx
x
3ln 2 9
8
1
dx
x x
3
9
2
2
0
sinx
1 cos x dx
e
ln(1+ln2x)
Các dạng khác
1.
2
0
( 2)
4
x
x
4
2.
2 /2
0
1 1
x dx x
2 1
Trang 91
0
1
3
x
x
3 2 3
1
0
1
2 ln 1 1
x
x
Dạng 5: Tích phân một số hàm đặc biệt
Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì
a
a
f x dx
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì 0
a
f x dx f x dx
Bước 1: Phân tích
0
0
0
0
a
Bước 2: Tính tích phân
0
( )
a
bằng phương pháp đổi biến Đặt t = – x.
Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
0
1
x
f x dx f x dx a
0
0
0
0
Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
Dạng 3 Nếu f(x) liên tục trên 0;2
thì
Đặt t2 x
Dạng 4 Nếu f(x) liên tục và f a b x( )f x( ) hoặc f a b x( ) f x( )thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b = thì đặt t = – x
Dạng 5 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Bài 1.Tính các tích phân sau (dạng 1):
a)
4
4 4
1 cos
x
b)
2
cos ln(x x 1 x dx)
c)
1 2 1 2
1 cos ln
1
x
x
d)
1
2 1
e)
1
x dx
f)
2 1
sin 1
x
Bài 2.Tính các tích phân sau (dạng 2):
a)
12x x dx1
b)
1
1
1 2x dx x
c)
1
2
dx
Trang 10d)
2
sin
3x 1xdx
− 3
3
x2+1
1
2
dx x
Bài 3.Tính các tích phân sau (dạng 3):
a)
2
0
cos
n
(n N * ) b)
7 2
0
sin
c)
2 0
sin
d)
2009 2
0
sin
e)
4 2
0
cos
f)
4 2
0
sin
Bài 4.Tính các tích phân sau (dạng 4):
.sin
4 cos
x
cos
4 sin
x
c)
2 0
1 sin ln
1 cosx dx
x
d)
4
0
ln(1 tan ) x dx
e)
2
3 0
.cos
f)
3 0
.sin
g) 01 sin
x
h) 0
sin
2 cos
x
sin
1 cos
x
k)
4
0
sin 4 ln(1 tan )x x dx
sin
9 4 cos
x
m)
4 0
sin cos
Bài 5.Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
2
0
sin
sin cos
b)
2 0
cos sin cos
c)
2 0
sin sin cos
d)
2
0
cos
sin cos
x dx
e)
4 2
0
sin
f)
4 2
0
cos
Dạng 6: Ứng dụng của tích phân
1 Diện tích hình phẳng
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
{Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b];Trục hoành;Hai đường thẳng x = a, x = b.}
là:
( )
b
a
Sf x dx
(1)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
{Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b];Hai đường thẳng x = a, x = b.}
là:
Trang 11( ) ( )
b
a
Sf x g x dx
(2)
Chú ý:
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
f x dx f x dx
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b] Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
f x dx f x dx f x dx f x dx
=
f x dx f x dx f x dx
* Trường hợp giới hạn bởi nhiều hơn hai đường đường cĩ thể vẽ đồ thị để thiết lập cơng thức tính`
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
( ) ( )
d
c
Sg y h y dy
2 Thể tích vật thể
Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox:
2( )
b
a
V f x dx
* Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) ;x = a, x = b quay quanh Ox thì
2( ) 2( )
V f x dx g x dx
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh
trục Oy:(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d là:
2( )
d
c
V g y dy
Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x 2 4x 6,y0,x2,x4 b) 2
ln( 2) 4
y
x
và trục hồnh c)
1 lnx , 0, 1,
x
2
x
x
e)
1
e
f) y x y 3, 0, x2, x1
Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
Trang 12a)
1
x
x
e) y2 ,x y x2 2 2x1, y2 f) ye1 ,x y 1 e x x A07
Bài 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y 4 x y x2, 2 2x b) y x 2 4x3 , y x 3
c) yx v y2 à 2 x2 d)
2 2
1 ,
2 1
x
x
e) y x y , 2 x2 f) y 1 2x x 2 và y = 1
Bài 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x x 2, y2 b) y2 x 5 0, x y 3 0
c) y2 2y x 0, x y 0 d) y2 2x1, y x 1
s inx.cos
x
và hai đt x 4,x 3
f)x y 3 1 0,x y 1 0
Bài 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
2
1
0 à
1
x
b)
2
x
, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2 c) ( ) :C y x 3 2x24x 3,y0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2
d) ( ) :C y x 3 3x2, x1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2
e) ( ) :C y x 2 2x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C)
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường quay quanh trục Ox:
a) y 1 2x x C y 2( ); 1( )D b)
1
x x
x e y
e , trục hồnh và đường thẳng x 1 c)
2
d) y x x, 4 e) y x 3 1, y0, x1, x1 f) y x y 2, x
g) /yx xln , y 0, y e h) yx24 ,x y x 2
i) ysin ,x ycos ,x x4, x2
k)
2 1
x y x
và hai trục tọa độ
l) y x 2 4x6,yx2 2x6 m) yln ,x y0,x2
Bài 2 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường quay quanh trục Oy:
a) x 2 , 1, 4y y
y
b) y x y 2, 4
Trang 13c) y e x x, 0,y e d) y x y 2, 1, y2
Bài 3 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh:
a) y(x 2) ,2 y4 b) y x .ln ,x y0,x1, x e
c) y x y 2, x d) y2x x y 2, 0