Bài giảng các kĩ thuật giải nhanh phương trình lượng giác

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Phương trình lượng giác và ứng dụng của nó là một phần rất quan trọng trong đề thi đại học và ứng dụng của nó trong đại số cũng

Trang 1

CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC

Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG

Email: Changngoc203@gmail.com Bỉm sơn: 10 – 02 – 2014

Trang 2

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com

Phương trình lượng giác và ứng dụng của nó là một phần rất quan trọng trong đề thi đại học và ứng dụng của nó trong đại số cũng như hình học Và đặc biệt là giải phương trình lượng giác là một câu không thể thiếu trong đề thi đại học các năm Vậy muốn làm tốt lượng giác trước tiên ta phải nắm được công thức lượng giác

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

I Các công thức lượng giác cần nhớ

4 Công thức biến đổi tổng thành tích

a Công thức sin và cos

cos cos 2 cos cos

sin 2 2 sin cos

(sin cos ) 1 1 (sin cos )

a



3 2

Trang 3

a

a a





2 2

2

cot

1 cos 2sin

a

a a

II Giá tri lượng giác của các góc liên quan đặc biệt

1 Bỏ chẵn lần pi thì không thay đổi

2sin

1

21

2tan

1

t a

t

t t

t a

Trang 4

cos xsin xcos 2 (sinx xcos xsin xcos x)

Trang 5

u u'

- 3 -1 - 3 /3

1

1 -1

-1 -/2



5/6 3/4 2/3

-/6 -/4 -/3

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt

Hoặc: Đường tròn lượng giác

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ Mcos ;sin  ứng với mỗi góc  ta sẽ được một điểm M cụ thể trên đường tròn

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Góc

Hslg

0 6

32

2

22

12

2

22

12

Trang 6

Để giải được phương trình lượng giác chúng ta nắm được các bước giải sau

Bước 1: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (nếu có) Điều kiện gồm, phương trình chứa mẫu, chứa cot hoặc tan, chứa căn bậc chẵn…

- Phương trình chứa cot x , điều kiện: sinx0 xk ,k 

- Phương trình chứa cả tan x và cot x , điều kiện: ,

2

x k  k

Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác Các phương pháp giải

phương trình nói chung, tìm ra nghiệm của phương trình

Bước 3: Đối chiếu với điều kiện ban đầu để tìm ra nghiệm thỏa mãn và kết luận (xem mục kĩ năng 5 loại nghiệm và kết hợp nghiệm)

Chú ý:

Đối với phương trình

2 2

ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm,

khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất Nghĩa là:

2

2 2 2

Trang 7

Đối với phương trình cosxcos 2x0 Chúng ta có thể chuyển về dạng cosxcos 2 x

nhưng đơn giản hơn là thay cos 2x2 cos2x1 để phương trình trở thành phương trình bậc hai với cosx Tương tự với phương trình sinxcos 2x 0

Khi đặt ẩn phụ tsin ,x tcosx thì điều kiện của t là t  Khi đặt ẩn phụ 1 tsin2 x t, cos2 x

thì điều kiện của t là 0  Khi đặt ẩn phụ t 1 tsinxcosx thì điều kiện của t là t  2

Một số phương trình lượng giác cơ bản cần nhớ

Trang 8

§ 1: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

1 Phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

a Định nghĩa: Phương trình sina xbcosx c (1) trong đó a, b, c  và a2 b2 0 được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

b Cách giải

Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Kiểm tra

- Nếu a2b2 c2 phương trình vô nghiệm

- Nếu a2b2 c2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2

Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho 2 2

a b , ta được

Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Với cos 0 2 ,

2

x

x  k  k

      thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?

Bước 2: Với cos 0 2 ,

Trang 9

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Cách 1:

Chia cả hai vế phương trình cho 2 2

10   10   Lúc đó phương trình viết được dưới dạng

cos sin 2 sin cos 2 sin sin(2 ) sin

Hay tanx3tan xk ,k 

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng

2

sin 2 3(1 cos 2 ) 2 sin cos 6 cos

(sin 3cos ) cos 0

Vậy phương trình vô nghiệm

Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

Thí dụ 3: Giải phương trình (1 3) sinx(1 3) cosx2

Trang 10

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Giải:

Biến đổi phương trình về dạng

26

k k

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn

Bài trên cũng có thể sử dụng cách đặt tan

Trang 11

Đối với phương trình dạng asin ( )P x bcos ( )Q x csin ( )Q x dcos ( ) (*)P x trong đó a, b, c, d  thoả mãn a2 b2 c2 d2 0 và P x Q x ,  không đồng thời là các hàm hằng số Bằng phép chia cho

a b ta có (*)sinP x( )sinQ x( ) hoặc

(*)cosP x( )cosQ x( ) trong đó  , là các góc phụ thích hợp Ta xét ví dụ sau:

Thí dụ 5: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x xsinx0

Vậy phương trình có hai nghiệm

Thí dụ 7: (ĐH – B 2012) Giải phương trình 2(cosx 3 sin ) cosx xcosx 3 sinx1

Giải:

Nhận xét 1: Sau khi nhân phá ra ta nhóm cụm 2 cos2x 1 cos 2x và 2 3 sin cosx x  3 sin 2x, không còn hệ số tự do và chuyển cung 2x sang một bên, cung 1x sang một bên thì bài toán trở thành bài toán cơ bản nhưng mở rộng của bài phương trình bậc nhất đổi với sin và cos nên ta có lời giải sau

Cách 1:

2 cosx 3 sinx cosxcosx 3 sinx 1 cos 2x 3 sin 2xcosx 3 sinx (*)

Chia hai vế cho 2 và biến đổi thành

223

- Ta có thể biến đổi về sin như sau

Trang 12

32

,2

2(cosx 3 sin ) cosx xcosx 3 sinx 1 2 cos xcosx 1 3 sinx 2 cosx1 0

2 cosx 1 cos x 1 3 sinx2 cosx 1 0 2 cosx 1  3 sinx cosx 1 0

221

Sử dụng đường tròn lượng giác tổng hợp nghiệm ta thấy

Với nghiệm xk2 tương ứng trên đường tròn là điểm

Nhận thấy 3 điểm nghiệm không trùng với hai điểm điều kiện mà

3 điểm nghiệm này cách đều nhau một góc 2

cos x), sin 2 ,sin , cosx x x và

hệ số tự do ta có bài toán tổng quát sau sin 2a xbcos 2xcsinxdcosxe0 ta biến đổi về một

Trang 13

2

Tương tự: Giải phương trình  6 6 

8 sin xcos x 3 3 sin 4x 3 3 cos 2x9 sin 2x11

Phương trình 8 1 3sin 22 6 3 sin 2 cos 2 3 3 cos 2 9sin 2 11 0

3 cos 2 2 sin 2 1 2 sin 2 3sin 2 1 0

3 cos 2 2 sin 2 1 sin 2 1 2 sin 2 1 0

2sin 2 1 3 cos 2 sin 2 1 0

1sin 2

Trang 14

26

Các nghiệm trên đều thỏa mãn (*).Vậy phương trình có 3 nghiệm trên

Thí dụ 10: Giải phương trình tanx3cotx4 sin x 3 cosx

Trang 15

Dạng 2: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

a Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x , cos x là phương trình

asin2xbsin cosx xccos2xd (1) trong đó a, b, c, d  

Bước 2: Với cosx 0 chia cả hai vế cho cos x2 lúc đó phương trình (1) trở thành

atan2 xbtanxcd(1 tan 2 x)(ad) tan2xbtanx c d0

Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải bằng cách đặt ttanx

cho về phương trình bsin 2x(ca) cos 2xd c a

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải (dạng 1)

Chú ý:

a xb x xc x gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2

- Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n  3) với dạng tổng quát

(sinn , cosn ,sink cosh ) 0

A x x x x  trong đó khn k h n; , ,  

Khi đó ta cũng làm theo 2 bước:

Bước 1: Kiểm tra xem cosx 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Nếu cosx  Chia cả hai vế của phương trình trên cho 0 cosn x ta sẽ được phương trình bậc n theo tan Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu

      vào phương trình ta được sin3x0sinx0 nênxk ,k 

không phải là nghiệm của phương trình

Khi cosx 0 chia cả hai vế của phương trình cho cos x3 ta được

Trang 16

sin cos 2 3 cos cos 2 0

cos 2 sin 3 cos 0

;sin 3 cos

Cách 1: Điều kiện: cosx 0 (*)

Phương trình 1 3sin 4 sin cos cos 3sin 4 sin cos2

Trang 17

2 sin cos

2 tancos

sin 2 2 sin cos

cos

x x

 từ đó ta đặt tan

1 2 sin cos sin sin 2 cos 2 2



      (Vì phương trình sin 2xcos 2x2 vô nghiệm)

Thí dụ 3: (ĐHQG HCM – 1998) Giải phương trình: sin3 2 sin

Trang 18

Vậy phương trình không nhận 2

2

x  k



  làm nghiệm Với cosx  Chia cả hai vế của phương trình (2) cho 0 cos x3 ta được:

(tanx1) 4(1tan x) tanx3 tan x3 tan xtanx 1 0

Đặt t tanx phương trình có được đưa về dạng:

(cos 2x 2)(cosx sin )x 0 cos 2x 2

Trang 19

cos sin sin cos 3sin cos sin cos

cos sin sin sin 3sin cos sin cos 0

sin sin 2 cos 2 3 0

Thí dụ 5: (Đại học Y Dược Thành phố Hồ Chí Minh 1997)

Giải phương trình: sin sin 2x xsin 3x6 cos3x

4 sin 3sin 0

x x

Chia 2 vế của (*) chocos3x 0 ta được phương trình tương đương:

 * tan3x2 tan2x3 tanx60tanx2 tan2x3 0

Trang 20

Vậy phương trình có các nghiệm là ; ,

Phương trình cos 2 sin sin sin 2 cos 2 0

sin cos cos

cos 2 cos sin cos 2

cos sin cos

cos 2 (sin sin cos cos ) 0

Dạng 3: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

a Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng

a(sinxcos )x bsin cosx xc0 trong đó a b c  , ,

2 1sin cos

2

t

x x  và phương trình được viết lại: bt2 2at(b2 )c 0

Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải

Trang 21

t t

(*)   t 1 sinxcosx  1

21

cos

32

24

3

22

Trang 22

Phương trình có tính chất đối xứng, điều đó gợi ý cho ta biến đối về phương trình đối xứng với sin và cos bằng cách đặt tsinxcosx

Phương trình cosxsin2xcosxsinxcos2xsinx(sinxcos )x 2

Phương trình sinxcosxsin cosx x 1 0

Đây là phương trình đối xứng với sin và cos ngoài cách giải trên ta có nhận xét do các hệ số đều là 1 hoặc – 1 nên ta có thể nhóm về phương trình tích như sau

sin cos sin cos 1 0 (sin 1) cos (1 sin ) 0

2sin 1

Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình sau về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên

Bài toán 1: Giải phương trình a2tanxb2cotxc a( sinxbcos ),x a b0

Trang 23

Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm

Bài toán 2: Giải phương trình:

Đến đây chúng ta đã biết cách giải

Tương tự cho phương trình a(tanx  sin )x b(cotx  cos )x ab0

Thí dụ 4: Giải phương trình tanx 3 cotxsinx 3 cosx 1 30

sin sin cos cos 0

TH2: sinxsin cosx xcosx 0

Đặt sin cos 2 cos

2

t

x x  Phương trình trở thành

Trang 24

Với t  1 2 ta có 2 cos 1 2 cos 1 2 cos

Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với sin x

và cos x với bậc lớn hơn 2

Thí dụ 5: Giải phương trình:cos4 sin4 sin 2

8 6 sin 2 4 sin 2 (8 6 sin 2 ) sin 2 4 2 sin 2

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2x 0

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

Chú ý một số dạng đối xứng bậc chẵn với sin và cos

Trang 25

1sin

2cos 2 , 1

1cos

2

t x

Trang 26

Khi t 2tanxcotx2 tan 1 2 tan2 2 tan 1 0 (tan 1)2 0

Khi t   4 tanxcotx  4 sin cos 2 2

4 sin cos 4 sin coscos sin

PT  2 sinx1 cos x22 cosx2 cosx 1 0

 1 cos x 2 sinxcosx2 sin cosx x10

2

t

x x Phương trình trở thành t24t 5 0 t 1 hoặc t   (loại) 5

Với t 1 sinxcosx1 2sin

Trang 27

Vậy phương trình có hai nghiệm trên

Dạng 4: Dùng các phép biến đổi, các công thức lượng giác đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác

Đặt tsinx, điều kiện t  1

Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x

Dạng 2: Phương trình bậc hai theo cosx: acos2 xbcosxc0 (a0; , ,a b c ) (2)

Đặt ttanx t   ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm được nghiệm 

x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không

Dạng 4: Phương trình bậc hai theo cotx: acot2xbcotxc0 (a 0; , ,a b c  (4) )

Cách giải:

Điều kiện sinx0xk ,k 

Đặt tcotx t(  ) Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t

Dạng 5: Phương trình dạng thuận ngịch

Loại 1:  

2 2

Trang 28

Chú ý: Có thể dùng công thức hạ bậc và đặt tcos 2x hoặc sử dụng BĐT cosi như sau

Ta nhận xét, nếu dùng BĐT Cauchy sẽ được

4 8

1cos

21

Trang 29

Thí dụ 3: (ĐH – B 2004) Giải phương trình: 5sinx– 23 1 sin  xtan2x

,5

26

x

x x

x



Giải:

Điều kiện: sin 2x 0 (*)

Phương trình đã cho tương đương với:

2

tan

k x

Chú ý: Cũng có thể quy đồng hai vế và giải

Thí dụ 5: Giải phương trình s in2 sin 1 1 2cot2

Điều kiện: sinx0, cosx0

Phương trình s in 22 xsin 2 sinx xcosx 1 2cos2x

2cos

32

Trang 30

Dạng 5: Tìm nghiệm phương trình thuộc miền nghiệm cho trước

Khi giải phương trình lượng giác mà giả thiết yêu cầu tìm nghiệm trên một miền cụ thể nào đó ta tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Giải phương trình lượng giác bình thương

Bước 2: Với nghiệm tìm được, ta giải bất phương trình tìm giá trị k nguyên

Bước 3: Khi tìm được k thay vào x ở bước 1 và kết luận

Ta có: cos 3xsin 3x4 cos3x3cosx3sinx4 sin3x

4(cosxsin )(1 sin cos )x  x x 3(cosxsin )x (cosxsin )(1 4sin cos )x  x x

và 1 2 sin 2 x 1 4 sin cosx x

Trang 31



 k

54

640

21

Trang 32

Để x  [1; 100] ta phải có: 1 

8

 + k

1

)12(8)21(

2533

Đặt phương trình cosx  sinx cos 2 1 sin 2x  x  (*) 0

Ta có: 1 sin2x = cos x sinx và cos 2xcosx  sinxcosx  sinx

(*)cosx  sinx1cosx  sinxcosxsinx0

+ Giải (2)  (1+sin2x ).(1 + sin2x) = 1  sin2x = 0 (vì sin2x > 0 không xảy ra )

Tóm lại : (*)  cos2x = 0 hoặc sin2x = 0  sin4x = 0  x = k ,

4 k



 

Với điều kiện: 2007 < x < 2008 , chọn các số nguyên k = 2556

Vậy nghiệm thỏa mãn là: x = 639 

Trang 33

Thí dụ 8: (Đại học Kinh tế Quốc Dân Hà Nội 1997) Tìm các nghiệm 2 ,6

k k x

Trang 34

26

k x

32

,7

26

Trang 35

§ 2: CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HỖN HỢP

KĨ NĂNG 1: DỰA VÀO MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC CUNG

Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào

Thí dụ 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 1 1 4.sin 7

Giải:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Ta có sin 3 sin cos3 cos sin3 cos

sinx cosx 2 2 sin cosx x sinx cosx

     sinxcosx 2 2 sin cosx x1 0

Trang 36

;3

 và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các

hạng tử bằng cách dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích

Phương trình 4 sin cosx 2x2 sin cosx x 1 2 cosx

2sin cos (1 2 cos )x x x 1 2 cosx

,4

Trang 37

Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức hạ bậc và

từ cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi

1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4

Điều kiện: sinx  0

Phương trình sin 5x5sinxsin 5x 5sinx

Nhận xét:

Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để đưa cung 5x về x… có hai hướng

Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai

sin 5 sin 4 sin 2 cos 3 sin 2 4 sin

4 cos 3 sin cos 4 sin cos 3 cos 1

Hướng 2: Phân tích cung 5x2x3x, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức nhân hai, nhân ba

Trang 38

sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos 3 5sin

3sin 4 sin cos sin 2 sin cos 4 cos 3 cos 5sin sin cos

Thí dụ 6: Giải phương trình 3sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 33 x

Nhìn vào bài này ta thấy hai cung không hề có một quan hệ gì, vậy chúng ta phải tìm một cung

“trung gian” nào đó giữa hai cung trên, ta thấy 5x x4xx2.2x và

sin 3x3sinx4 sin xsinx 34 sin x Từ đây ta tìm được cung trung gian là cung 1x

Vậy để đưa về cung 1x ta phải sử dụng công thức nhân ba của hàm sin và công thức sin của tổng

để xuất hiện sinx từ đó đưa về phương trình tích để giải

Phương trình 5sin 3x3sinx4x5sinx3 4 sin 2 x3 sin cos 4 x xcos sin 4x x

3

x k x

Nhận xét 2: Một trong những kĩ năng giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích là phải chú ý

đến các cặp nhân tử chung và các hệ số tương ứng tỉ lệ Với bài toán trên ta thấy xuất hiện hệ số 3; 5 = 3 + 2 và cung 3x; 5x = 3x + 2x Từ đó ta tách hệ số và nhóm lại, sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích xuất hiện nhân tử chung Bạn sẽ tìm được lời giải trên thông qua bài sau đây

Giải phương trình : 5 cos 3 3cos 5 0

Trang 39

Trang 40

8 cos cos 3 0 8 cos 4 cos 3cos 0 12 cos 3cos 0

3cos 4 cos 1 0 cos 2 cos 1 2 cos 1 0

3cos 0

x t

   Cung x k2 và 2k  đối đối xứng nhau qua gốc tọa độ nên tổng hợp lại ta được

xk Vậy nghiệm của phương trình là ; 2 ; ,

Bình luận: Qua bài trên ta thấy cứ gặp 2 2

cos x, sin x mà giải như trên thì vô hình chúng ta tạo thêm

nghiệm và sẽ không tổng hợp được nghiệm nếu không biết cách, để hạn chế việc tạo thêm nghiệm khi gặp cos2x, sin2 x chúng ta nên hạ bậc và giải bình thường như sau

3cost 4 cos t1 0cost 2 cost1 0

Tiêu đề	Các Kĩ Thuật Giải Phương Trình Lượng Giác
Tác giả	Nguyễn Thành Long
Người hướng dẫn	Giáo Viên: Nguyễn Thành Long
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Bài Giảng
Năm xuất bản	2014
Thành phố	Bỉm Sơn

Định dạng
Số trang	119
Dung lượng	1,77 MB