TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
2
8cos sin2 3 sin cos
2
(sin cos ) 4cos2 sin cos 4(sin cos
sin cos
x x C
x
cot tan 2tan 2
sin 4
2
cos
8 sin2 cos2 2
Ta có:
x
x
1 cos 2
2 2 1 sin 2
4
dx
cos 2
2 2 1 sin 2
dx
cos 2
4 2
Câu 4.
dx I
3
2 3 sin cos
dx I
x
3
1
2 1 cos
3
x
2 3
1
4 2sin
2 6
4 3.
x
6
0
1 2sin 3
1
Trang 2x x
x
cos
3
0
(sin cos )(sin cos )
Ta có: (sin4xcos )(sin4x 6xcos )6x 33 7 cos4x 3 cos8x
128
0
cos2 (sin cos )
cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0
0
(cos 1)cos
A = 2 5xdx 2 2x d2 x
8 15
B = 2 2x dx 2 x dx
1 cos (1 cos2 )
2
Vậy I = 8
15 – 4
0
I cos xcos 2xdx
cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 )
0
1( sin2 1sin 4 )
x
3 2 0
4sin
1 cos
Trang 3 x x x x x x x x
2
4sin 4sin (1 cos ) 4sin 4sin cos 4sin 2sin2
0 (4sin 2sin 2 ) 2
0
1 sin
0
2 sin
2 4
3
2 2
3 0
2
Câu 12. I dx
x
4
6
0 cos
0
28 (1 2tan tan ) (tan )
15
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
sin2
3 4sin cos2
2
2sin cos 2sin 4sin 2
x
1
ln sin 1
sin 1
3 5
sin cos
x x
dx x
x x
dx
cos 2 sin
8 cos
cos sin
2
t2
2 sin 2
1
.
x 3x
sin cos
sin cos cos sin2 cos
2
; sin 2
t
2 2
1 2
2 1
t
Trang 4Câu 16. I x x xdx
x
2011 2011 2009
5
sin
2
1 1
cot
2
2011 2011 2011 2011 2011
t (1 )
4024 8046
2011 2011
2011cot 2011cot
x
2
0
sin2 cos
1 cos
Ta có: I x x dx
x
2 2
0
sin cos 2
1 cos
Đặt t 1 cosx I t dt
t
2 2 1
( 1)
Câu 18. I 3 2x xdx
0
sin tan
2
2
sin (1 cos )sin sin
I u du
u
1
2 2
1
8
2
sin (2 1 cos2 )
Ta có: I 2xdx 2x xdx H K
2sin sin 1 cos2
2sin (1 cos2 )
2 2
sin 2cos 2 sin cos
2
2
2 sin (sin )
3
Trang 5Câu 20. I dx
3
2 4 4
sin cos
3
2 2 4
4
sin 2 cos
Đặt ttanx dt dx
x
2
cos
t
3
2
Câu 21.
2
2 0
sin 2
2 sin
x
x
sin2 2 sin cos (2 sin ) (2 sin )
3
2 3
x
6
0
sin cos2
2
Đặt tcosx dt sinxdx
Đổi cận: x 0 t 1; x t 3
t t
2
1
2
2 2 5 2 6
Câu 23. I 2esin2x x 3x dx
0
.sin cos
Đặt t sin2x I = 1e t t dt
0
1 (1 )
2 = e
1 1
2
Câu 24. I 2sinx sin2x 1dx
2 6
Đặt tcosx I 3 ( 2)
16
4
6 6 0
sin 4 sin cos
Trang 6 I x dx
x
4
2 0
sin 4 3
1 sin 2
4
ĐặtĐặt t 1 3sin 22 x
4
ĐặtI Đặt= Đặt dt
t
1 4 1
2 1 3
1 1 4
3 3.
Câu 26.
x
2
3 0
sin sin 3 cos
Ta có: sinx 3 cosx 2cos x
6
;
sin sin
= 3sin x 1cos x
I =
dx
sin
6
6
x
2 4
2 3
sin 1 cos cos
2
sin 1 cos sin sin
0 3
sin sin sin sin
0 2 4 2
0 3
12
6
0
1 sin 3 cos
6
0
1 sin 3 cos
x
6 0
2 sin
3
x
dx x
6
2 0
sin
2 1 cos
3
t
1 2 2 0
0
1 3 sin2 2cos
Trang 7 I 2 x x dx
0
sin 3 cos
0
3
sin 3 cos sin 3 cos
2
3 0
sin (sin cos )
Đặt x t dx dt
2
(sin cos ) (sin cos )
0
(sin cos ) sin ( )
4
2
2
3 0
7sin 5cos (sin cos )
Xét:
Đặt x t
2
Ta chứng minh được I 1 = I 2
Tính I 1 + I 2 =
1 tan( ) 2 1
4
I1 I2 1
2
I 7 –5I1 I2 1.
2
3 0
3sin 2cos (sin cos )
Đặt x t dx dt
2
3cos 2sin 3cos 2sin (cos sin ) (cos sin )
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
1 2
.
x
2 0
sin
1 cos
Trang 8t d t
2
2
4 2
3 3 0
cos sin cos sin
Đặt x t dx dt
2
0 2
sin cos sin cos
I 1
4
.
x
2
2 2
0
1 tan (cos ) cos (sin )
Đặt x t dx dt
2
t
2 0
1 tan (sin ) cos (cos )
x
2 0
1 tan (sin ) cos (cos )
0
cos (sin ) cos (cos )
0
2
I
2
.
x
4
0
cos sin
3 sin2
Đặt Đặt usinxcosx Đặt I du
u
2
2
1 4
ĐặtĐặt Đặtu2sint Đặt I tdt dt
t
2
2cos
12
4 4sin
3
2 0
sin cos 3 sin
Đặt t 3 sin 2x = 4 cos 2x Ta có: cos2x 4 t2và dt x x dx
x
2
sin cos
3 sin
3
2 0
cos 3 sin
3
0
sin cos cos 3 sin
t
15 2 2
3 4
15 2 3
Trang 9= t
t
15 2 3
1ln 2
= 1 ln 15 4 ln 3 2
= 1 ln 15 4 ln 3 2
2 3
3 2 3
( sin )sin sin sin
x x
2
3 sin 3 1 sin
x
2 3
3 sin
u x
du dx dx
x
sin
I1
3
+ Tính
I =
2
2
4 2 3
Vậy: I 4 2 3
3
0
sin2 cos 4sin
x
2 0
2sin cos
3sin 1
ĐặtĐặt Đặt u 3sin2x Đặt Đặt1
udu
du u
2
3
x
6
0
tan
4 cos2
2
2
4
x
2 2
1
cos
t t
2 0 0
( 1)
3
6
cot sin sin
4
3
2 6
cot 2
sin (1 cot )
x
2
1 sin
I t dt t t
t
3 1
3
Trang 10Câu 42. I dx
3
2 4 4
sin cos
Ta có: I dx
3
2 2 4
4
sin 2 cos
Đặt t tanx dx dt t2
1
t
3
4
2 0
sin 5sin cos 2cos
4
2 2 0
5tan 2(1 tan ) cos
2
x x x
4
sin cos (tan 2 tan 5)
t x dx
t2
tan
1
2
2
2 ln 3 3
Tính I dt
t t
1
t u I 0 du
1 4
Vậy I 2 ln2 3
3 8
x
2 2
6
sin sin3
2
Đặt tcosx dt sinxdx I dt dt
3
0 3
2
1
4
x
2 4
sin cos
1 sin 2
Trang 11 Ta có: 1 sin2 x sinxcosx sinxcosx (vì x ;
4 2
)
I x x dx
2
4
sin cos sin cos
Đặt tsinxcosx dt(cosx sin )x dx
t
2 2
1 1
1 ln 1ln 2
2
1
2 1 cos sin cos
5
2
2
cos sin
t t
1
6 6
0 0
12
4
2 0
tan cos 1 cos
Ta có: I xdx
4
2 2 0
tan cos tan 2
2
tan
cos
x
t
2
3 0
cos2 (cos sin 3)
Đặt t cosx sinx3 I t dt
t
4 3 2
32
4
2 4 0
sin 4 cos tan 1
4
4 4 0
sin 4 sin cos
Đặt t sin4xcos4x I dt
2 2 1
x
4
2 0
sin 4
1 cos
x
2 4
2 0
2sin2 (2cos 1)
1 cos
t
1 2 1
2(2 1) 2 6ln1
x
6
0
tan( )
4 cos2
Trang 12 Ta có: 6 2
2 0
tan 1 (tan 1)
x
ttanx
1 3
2 0
1 3
dt
I
0
tan cos 2
x
x
Đặt ttanx
3 3
ln
1 0
t
t
.
x
2
0
cos
7 cos2
x
2
2 2 0
3
4 3 5
4 sin cos
x
3 3
8 4
4 3
1 sin .cos cos
x x
3
2
4 3 4
1 . 1 cos tan
Đặt ttanx I t dt
3 3
8 4
1
4 3 1
Câu 56.
Đặt 3
2 0
cos cos sin
1 cos
x
2
cos (1 cos ) sin .cos sin
+ Tính J x x dx
0
.cos
dv cosxdx v sinx
+ Tính K x x dx
x
2 0
.sin
1 cos
Đặt x t dxdt
2
2
Trang 13Đặt tcosx K dt
t
1 2 1
2 1
, đặt ttanu dt (1 tan )2u du
u du
u
4 2
4
Vậy I 2 2
4
Câu 57.
2
2 6
cos I
sin 3 cos
x x x dx
Ta có:
2
6
sin cos sin 3 cos
x x Đặt t 3 cos 2x
t
15
2
2 3
1 ln( 15 4) ln( 3 2) 2
4
Dạng 3: Đổi biến số dạng 2
Câu 58. I 2sinx sin2x 1.dx
2 6
Đặt cosx 3sin , 0t t
I = 4 2tdt
0
3 cos 2
2 4 2
Câu 59. 2
0
3sin 4cos 3sin 4cos
x x dx x x dx
+ Tính 2
0
3sin
3 cos
x Đặt tcosx dt sinxdx
1
0
3 3
dt
I
t
Đặt t 3 tanu dt 3(1 tan ) 2u du 6 2
0
3 3(1 tan ) 3 3(1 tan ) 6
I
u
2 4cos
Trang 14Vậy: 3 ln 3
6
I
4
2 6
tan cos 1 cos
x
x
2 2 2
2
cos
x
2
1 tan
cos
u
u
1 2 1 3
2
u
2
2
2
2
I 3dt t 3
7
7 3
3
Câu 61.
x
2
4
sin
4 2sin cos 3
Ta có:
2
2 4
t
1 2 0
u
1 arctan
2 2
2 0
1 2(1 tan ) 1arctan 1
2
Trang 15Dạng 4: Tích phân từng phần
Câu 62. I x x dx
x
3
2 3
sin cos
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:
3
x
3
3
cos
Để tính J ta đặt tsin x Khi đó J dx dt t
Vậy I 4 ln2 3.
x
2
0
1 sin .
1 cos
Ta có:
1 2sin cos
x
x
x
2
tan 2 2cos
2
Câu 64.
x
4
2 0
cos2
1 sin2
Đặt
x
x
x 2
1 sin2 (1 sin 2 )
2
2 1 sin2 0 2 1 sin2 16 2 2 cos
4
x
4