CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó... Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đ

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó

Người ta chứng minh được rằng hàm số ysinx tuần hoàn với chu kì T 2 ; hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì T 2 ; hàm số ytanx tuần hoàn với chu kì T  ; hàm số  ycotx tuần hoàn với chu kì T  

Trang 2

* Hàm số y  f x1  tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số y f x2 tuần hoàn với chu kì T2thì hàm số

   

y f x  f x tuần hoàn với chu kì T0là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

3) Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

* Các hàm số chẵn thường gặp: cos ; cos ; sinx kx 2x; sin2 kx ; cos2 kx

* Các hàm số lẻ thường gặp: sin ; tan ; cot ; sin ; tan x x x 3x 3x

* Tập giá trị T   1; 1, có nghĩa là 1 sin  x 1

* Là hàm số tuần hoàn chu kì 2 , có nghĩa x k 2sinx với k

* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

Trang 3

b) Hàm số y = cosx

* Tập xác định: D R

* Tập giá trị T   1; 1, có nghĩa 1 sin  x 1

* Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cosx k 2cosx với k

* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k  và nghịch biến trên mỗi khoảng

* Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tanx k tanx với k

* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; ,

Trang 4

d) Hàm số y = cotx

* Tập xác định D\k, k

* Tập giá trị T 

* Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tanx k tanx với k

* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k, k

* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

- Dạng 1: Tập xác định và Tập giá trị của hàm số lượng giác

a) ĐK xác định: 1 cos 2 x (luôn đúng) 0  TXĐ: 

Lại có: 0 cos 2x   1 0 1 cos2x    1 0 y 1  Tập giá trị là T  0, 1

Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Ví dụ 1 Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau

Trang 8

Lời giải:

a) f  x sin 2 x sin 2x f x Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ  

b) Ta có f   x 2sin    x 3 2sinx  3 2sinx   3 9 f x 9

Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ)

Ví dụ 2 Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau

a) y sinxcos b) y tanxcotx

Lời giải:

a) f  x sin  x cos   x sinxcosx sinxcosx2cosx f x 2cosx

Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ)

b)   tan  cot  sin    cos    sin cos

a) Ta có   sin    tan    sin tan sin tan  

Ví dụ 4 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn

a) y sinx b) ycosxsinx

c) y cosxsin2x d) y cos sinx x

Lời giải:

Tất cả các hàm số đề có TXĐ: D Do đó     x D x D

Bây giờ ta kiểm tra f  x f x hoặc   f    x f x  

* Với y f x  sinx Ta có f    x sin  x sinx   sinx

 f   x f x Suy ra hàm số y sinx là hàm số lẻ

* Với y f x cosxsinx Ta có:

      , 

 f   x f x f x Suy ra hàm số f x cosxsinx không chẵn không lẻ

* Với y f x cosxsin2x Ta có f   x cos  x sin2 x

 f  x f x Suy ra hàm số ycosxsin2x là hàm chẵn Chọn C

* Với y f x cos sinx x Ta có f   x cos x sin   x cos sinx x

 f   x f x Suy ra hàm số ycos sinx x là hàm số lẻ

Ví dụ 5 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Ta có   tan    tan tan    

Trang 10

a) y cosxsin2x b) y sinxcosx

c) y  cosx d) y sin cos 3x x

Trang 11

Dạng 3: Chu kì của hàm số lượng giác

Ví dụ 1 Mệnh đề nào sau đây là sai?

a) Hàm số ysinx tuần hoàn với chu kì 2

b) Hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì 2

c) Hàm số ytanx tuần hoàn với chu kì 2

d) Hàm số ycotx tuần hoàn với chu kì 

Lời giải:

Vì hàm số ytanx tuần hoàn với chu kì  Chọn C

Ví dụ 2 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?

sin 2

y

x Lời giải:

* Hàm số y cosx tuần hoàn với chu kì T 2

* Hàm số ycos 2x tuần hoàn với chu kì T 

* Hàm số 1

sin 2



y

x tuần hoàn với chu kì T 

* Hàm số y x2cosx không phải là hàm tuần hoàn Chọn C

Ví dụ 3 Tìm chu kì T của hàm số sin 5

Lời giải:

y tuần hoàn với chu kì T 4 Chọn A

Ví dụ 5 Tìm chu kì T của hàm số cos 2 sin

Hàm số y cos 2x tuần hoàn với chu kì 1 2

y x tuần hoàn với chu kì T 4 Chọn A

Nhận xét T là bội chung nhỏ nhất của T và 1 T 2

Ví dụ 6 Tìm chu kì T của hàm số ycos 3xcos 5x

Ví dụ 7 Tìm chu kì T của hàm số sin 2 2 cos 3

Hàm số ycotax b  tuần hoàn với chu kì T 

Suy ra hàm số ytan 3xcotx tuần hoàn với chu kì T  Chọn B

Nhận xét T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

Ví dụ 9 Tìm chu kì T của hàm số cot sin 2

Hàm số cot

3

y tuần hoàn với chu kì T1 3

Hàm số ysin 2x tuần hoàn với chu kì T2 

Suy ra hàm số cot sin 2

3

y x tuần hoàn với chu kì T 3 Chọn C

Ví dụ 10 Tìm chu kì T của hàm số y2sin2x3cos 32 x

Ta có 2.1 cos 2 3.1 cos 6 13cos 6 2 cos 2 5

Hàm số y  2 cos 2x tuần hoàn với chu kì T2 

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T  Chọn A

Ví dụ 11 Tìm chu kì T của hàm số ytan 3xcos 22 x

Ví dụ 12 Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2 ?

Trang 15

Hàm số y tan 2x và ycot 2x có cùng chu kì là

2

 Chọn B

Dạng 4: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

* Miền giá trị: 1 sin  kx 1; 1 cos  kx 1; 0 sin 2 kx 1; 0 cos 2 kx 1

* Với hàm số ya.sinx b cosx  a2b2  y a2 b 2

* Với hàm số .sin .cos

m x n x p nhân chéo và đưa về trường hợp trên để tìm miền giá trị

Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y4sin24sinx3 b) ycos2 x2sinx2

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) ysin4x2 cos2x 1 b) y  3 sin 2xcos 2x

Ta có y  5 4sin 2 cos 2x x 5 2sin 4x

Mà 1 sin 4  x   1 2 2sin 4x   2 3 5 2sin 4x7

Ta có y sin4xcos4xsin2xcos2xsin2xcos2x cos 2x

Ví dụ 9 Tìm tập giá trị T của hàm số ysin6xcos6x

Ta có y 8sin2x3cos 2x8sin2 x3 1 2sin  2x2sin2x3

Mà  1 sin 1  0 sin2x  1 3 2sin2 x 3 5

Trang 19

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1 Tìm tập xác định D của hàm số 1 sin

cos 1

xy





Câu 22 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y sinx B y cosx C ytanx D ycotx

Câu 23 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Câu 25 Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A y cosxsin2x B y sinxcosx C y  cosx D y sin cos 3x x Câu 27 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

x

sin

xy

x

Câu 28 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A y  1 sin2x B y  cot sinx 2x

C y x2tan 2xcotx D y  1 cotxtanx

Câu 29 Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

Câu 30 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Đồ thị hàm số y  sinx đối xứng qua gốc tọa độ O

B Đồ thị hàm số y cosx đối xứng qua trục Oy

C Đồ thị hàm số y  tanx đối xứng qua truc Oy

D Đồ thị hàm số y tanx đối xứng qua gốc tọa độ O

Câu 31 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

C y 2015 cos xsin2018x D y tan2017xsin2018x

Câu 32 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hàm số ysinx tuần hoàn với chu kì 2

B Hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì 2

Trang 23

C Hàm số ytanx tuần hoàn với chu kì 2

D Hàm số ycotx tuần hoàn với chu kì 

Câu 33 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A ysinx B y x sinx C y xcosx D y sin x

  , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Cả hai hàm số y  sin 2x và y   1 cos 2x đều nghịch biến

B Cả hai hàm số y  sin 2x và y   1 cos 2x đều đồng biến

C Hàm số y sin 2x nghịch biến, hàm số y  1 cos 2x đồng biến

D Hàm số y sin 2x đồng biến, hàm số y   1 cos 2x nghịch biến

Câu 41 Hàm số y sin 2x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Trang 24

Câu 43 Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 3sinx 2

A M 1; m  5 B M 3;m 1 C M 2;m  2 D M 0;m  2Câu 44 Tìm tập giá trị T của hàm số y 3cos 2x 5

Câu 62 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sin 2 cos 3

Câu 78 Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A ysinx B y sinx C ysin x D y sinx

Câu 79 Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Trang 28

A y cosx B y  cosx C y cos x D y  cosx

Câu 80 Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Câu 81 Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A y 1 sin x B y sinx C y 1 cosx D y 1 sinx

Câu 82 Cho hàm số y  f x  xác định trên \ ,

  và có đồ thị như hình vẽ bên Hỏi hàm

số y f x  là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A ytanx B y cosx C y sinx D ycotx

C ytan ,x ysinx D ycos ,x ytanx

Câu 84 Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số cos

31-B 32-C 33-A 34-A 35-A 36-A 37-A 38-C 39-C 40-A

41-A 42-C 43-A 44-C 45-C 46-C 47-A 48-B 49-C 50-B

51-A 52-B 53-C 54-C 55-D 56-C 57-D 58-B 59-A 60-D

61-D 62-A 63-A 64-D 65-C 66-A 67-D 68-D 69-A 70-B

71-B 72-B 73-D 74-D 75-A 76-A 77-D 78-D 79-B 80-A

81-D 82-A 83-C 84-C 85-B

Câu 1: Hàm số xác định khi cosx  1 x k2 Vậy D\k2 , k Chọn D 

Câu 2: Hàm số xác định khi sin 0

Câu 6: Ta có 1 sin 1    1 sinx 2 3, x 

Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của sinx với mọi x 2 

Vậy tập xác định D Chọn A

Câu 7: Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 sin x 0 sinx 1 (*)

Mà 1 sin  x nên 1  * sin 1 2 ,

2

Câu 10: Hàm số xác định khi cosx  1 x k2 , k Chọn D

Câu 11: Hàm số xác định khi sinx  0 x k,k Chọn C

Câu 12: Ta có 1 cos3  x   1 2 2 cos 3x     Vậy 2 1 y 3 T   1; 3 Chọn C

Câu 13: Hàm số xác định khi cos 1 2 ,

Câu 16: Hàm số xác định khi sinx (luôn đúng) Vậy D 2  Chọn B

Câu 17: Ta có sin 2x  1; 1 1 sin 2x0; x  nên y  1 sin 2 x có D Chọn A

 

 mà sin 2x  1; 1sin 2x 2  1; 3

Do đó 1 cos x 0 cosx 1 cosx (vì cos1 x ) 1  x k2 Chọn B

Câu 22: Nhắc lại kiến thức cơ bản:

Câu 23: Kiểm tra f  x f x  hoặc f   x f x 

* Với y f x  sinx Ta có f    x sin  x sinx   sinx

    Suy ra hàm số ycosxsinx không chẵn không lẻ

* Với y f x cosxsin2x Ta có f   x cos  x sin2  x

   Suy ra hàm số ycosxsin2x là hàm số chẵn Chọn C

* Với y f x cos sinx x Ta có f   x cos x sin   x cos sinx x

Ta có   tan    tan tan    

Hàm số ycosxsin2x y  x cos  x sin x  cos  x sin2x y x 

Hàm số ysinxcosxy  x sin  x cos   x sinxcosx

Hàm số y cosxy   x cos   x cosx

Hàm số y sin cos 3x x y  x sin x cos 3 x sin cos 3x x y x 

Do đó hàm số ysin cos 3x x là hàm số lẻ Chọn D

Hàm số tan   tan    tan tan

Hàm số cot   cot    cot  

Suy ra f    x f x  nên hàm số f x  x2tan 2xcotx là hàm số lẻ Chọn C

Câu 29: Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

Câu 32: Hàm số ysinx và ycosx tuần hoàn với chu kì 2

Hàm số ytanx và ycotx tuần hoàn với chu kì 

T    

Chọn A

T  Bội số chung nhỏ nhất của T và 1 T là 22   Chu kì tuần hoàn của hàm số đã cho là T 2 Chọn A Câu 37: Hàm số sin

2

x

y tuần hoàn với chu kì 1 2 4

12

Do đó hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì 2

T   

Hàm số y tan  tuần hoàn với chu kì 2x 1

2

T 

Hàm số cos sin 1sin 2

Câu 43: Do sinx  1; 1 nên 3 1   2 3sinx       2 3 2 5 y 1

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là M 1,m  Chọn A 5

Câu 44: Do 1 cos 2  x suy ra 3 5 3cos 21    x      5 3 5 2 y 8

Vậy tập giá trị của hàm số là T  2; 8 Chọn C

Câu 45: Do sinx  1; 1 nên 5 3.1 5 3sin   x     5 3 1  2 y 8

Vậy tập giá trị của hàm số là T  2; 8 Chọn C

y    x  x mà cos 2x  1; 1

Trang 36

Suy ra 3 4 cos 2  x 5 M 5;m nên 3 2M m2 2.5 3 2  Chọn A 1

Câu 52: Ta có 2.1 cos 2 3 sin 2 3 sin 2 cos 2 1

4 f t

   nên có tất cả 3 giá trị nguyên: f t   0; 1; 2 Chọn C

Câu 57: Ta có ysin4 x2 1 sin  2 x 1 sin4x2sin2 x 1

8

f x   Chọn A

Trang 37

Câu 60: Ta có y cos x2 3 sinx 3 sinx y cosx2y

Phương trình có nghiệm khi  2    2 2  

2

3  y  2y  y    1 y 1; 1 Chọn D

Câu 61: Ta có y sin xcosx2sinxcosx  1 1 ysinx 1 ycosx2y 1

Câu 64: Ta có sinxcosx 2 0 x 

Câu 68: Ta có y cos x2 1 m.sinxm.sinx y cosx 1 2y

Phương trình có nghiệm khi: 2 2  2 2 2

Câu 70: Hàm số đã cho xác định khi: 5msinxm1 cos x0;  x 

Để tmin 12k 2 0 và 12k2min nên k   1 t 10 h Chọn D

Câu 74: Dựa vào đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ ta thấy:

 0 0

f  nên ta loại đáp án B và C

Mặt khác dựa vào đồ thị suy ra f   nên loại đáp án A Chọn D 0

Câu 75: Dựa vào đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ ta thấy: f 0  nên ta loại các đáp án B và D 0Mặt khác hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì 3 , trong 2 hàm số ở ý A và C thì hàm số cos2

3

x

y  thỏa mãn điều kiện trên Chọn A

Câu 76: Dựa vào đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ ta thấy:

Lại có: f 0  nên ta loại đáp án D và 0 f   nên ta loại đáp án C Chọn A 0

Câu 81: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số y f x  trong hình vẽ có tập giá trị là T  0; 2 ta loại đáp án A và B

  hàm số ysinx đồng biến và nhận giá trị âm Chọn C

Câu 84: Gọi  ; cos  2 ; cos 2

; sin

2sin