tai lieu chu de ham so lien tuc

 Các hàm ysinx, ycosx, ytanx, y cotx liên tục trên tập xác định của chúng.. 3 Tính chất của hàm số liên tục  Định lí: Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục Giả sử hàm s

Trang 1

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Hàm số liên tục tại một điểm

 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a b và ; x0 a b; Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu:    

2) Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

 Hàm số f x xác định trên khoảng    a b được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại ;mọi điểm của khoảng đó

 Hàm số f x  xác định trên đoạn  a b; được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên khoảng  a b; và lim    

 Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng

 Các hàm ysinx, ycosx, ytanx, y cotx liên tục trên tập xác định của chúng 3) Tính chất của hàm số liên tục

 Định lí: (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a b Nếu ; f a  f b  thì với mỗi số thực M nằm giữa f a  

và f b , tồn tại ít nhất một điểm   c a b; sao cho f c M

 Hệ quả 1: Nếu hàm f liên tục trên  a b và ; f a f b     thì tồn tại ít nhất một điểm 0

 ;

c a b sao cho f c  0

 Hệ quả 2: Nếu hàm f liên tục trên  a b và ; f x  vô nghiệm trên 0  a b thì hàm số f có dấu ;không đổi trên  a b;

Trang 2

II PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Để xét sự liên tục của hàm số y f x  tại điểm tại x0 ta thực hiện các bước :

Chú ý : hàm số không liên tục tại x thì được gọi là gián đoạn tại 0 x 0

Ví dụ 1 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra :

1 4

x

khi xx

Vậy hàm số liên tục tại x 1

Ví dụ 2 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

 nên không tồn tại giới hạn hàm số tại x 0

Vậy hàm số không liên tục tại x 0

    nên hàm số liên tục tại x 1

Ví dụ 4 Tìm ,m n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

 Dạng 2 Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn

 Để chứng minh hàm số y f x  liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm

số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận

 Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó

 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào

Do đó, hàm số đã cho liên tục khi x 2

Ví dụ 2 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

 Dạng 3 Ứng dụng tính liên tục trong giải phương trình

 Biến đổi phương trình về dạng: f x  0

 Tìm hai số a, b sao cho f a f b    0 (Dùng chức nắng TABLE của máy tính (Mode 7) tìm cho nhanh)

 Chứng minh f x  liên tục trên  a b; từ đó suy ra f x 0 có nghiệm

Chú ý :

- Nếu f a f b     thì phương trình có nghiệm thuộc 0  a b ;

tồn tại 3 số t t và 1, 2 t lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao 3

nhau là  2; 1 , 0;1   và  1; 2 sao cho f t 1  f t 2  f t 3  và do đây là phương trình bậc 3 nên 0

  0

f t  có đúng 3 nghiệm phân biệt

Ứng với mỗi giá trị t t1, 2và t3 ta tìm được duy nhất một giá trị x thỏa mãn x  và hiển nhiên 3 giá 1 t3

trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Ví dụ 4 Chứng minh rằng phương trình ax2bx c  luôn có nghiệm 0 0;1

Trang 9



 Nếu c thì 0 f x  có 2 nghiệm là 0

013

xx

Ví dụ 5 Cho các phương trình sau x4x3  , 3 0 x516x320 0 , x7x4  Số phương trình có 4 0nghiệm là ?

Lời giải:

Hàm số f x x4x3 liên tục trên 3  nên liên tục trên  0; 2

Mà f    0 f 2  0 f x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  0; 2

Hàm số g x x516x320 liên tục trên  nên liên tục trên  3;5

Mà f    3 f 5  0 f x  có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 0  3;5

Hàm số h x x7x4 liên tục trên 4  nên liên tục trên  0; 2

Mà f    0 f 2  0 f x  có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 0  0; 2

Như vậy cả ba phương trình đã cho đều có nghiệm Chọn D

Ví dụ 6 Phương trình x55x34x  có số nghiệm là ? 1 0

Lời giải:

Hàm số f x x55x34x liên tục trên 1 

Mà f x  là phương trình bậc 5 nên nó có tối đa 5 nghiệm 0

Do đó số nghiệm của phương trình là 5 Chọn B

Câu 9 Biết rằng hàm số   3 1 2 3

3

xkhi x

liên tục tại x3,m là tham số

Khẳng định nào sau đây đúng?

  Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số   sin 1 1

1

xkhi x

Câu 13 Biết rằnglimsin 1

x

xx

  Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số    2

1 cos

xkhi xx



Trang 12

Câu 14 Hàm số   42

3 14

1 0

khi xx

A Mọi điểm x0,x 1 B Mọi điểm x

C Mọi điểm trừ x  1 D Mọi điểm trừ x 0

Câu 15 Số điểm gián đoạn của hàm số   2 

0,5 11

liên tục trên đoạn

Khẳng định nào dưới dây đúng?

A f x không liên tục trên    B f x không liên tục trên    0; 2

C f x gián đoạn tại   x 1 D f x không liên tục trên   

1 khi 2 4

x

xx

 Khẳng định nào sau đây đúng ?

A f x liên tục tại   x 0 B f x liên tục trên    ;1

C f x  không liên tục trên  D f x  gián đoạn tại x 1

Câu 24 Tìm các khoảng liên tục của hàm số   cos 2 khi 1

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hàm số liên lục tại x  1 B Hàm số liên tục trên các khoảng ;1 ; 1;  

C Hàm số liên tục tại x 1 D Hàm số liên tục trên khoảng 1;1

Câu 25 Cho hàm số  

2

khi 1, 0

0 khi 0 khi 1

A Mọi điểm x B Mọi điểm trừ x 0

C Mọi điểm trừ x 1 D Mọi điểm trừ x và 0 x 1

Câu 26 Cho hàm số  

2 1 khi 3, 11

A Mọi điểm x B Mọi điểm trừ x 1

C Mọi điểm trừ x 3 D Mọi điểm trừ x và 1 x 3

Câu 27 Số điểm gián đoạn của hàm số   2

2 khi 0+1 khi 0 2

A Mọi điểm x B Mọi điểm trừ x 0

C Mọi điểm trừ x 1 D Mọi điểm trừ x và 0 x 1

khi 0 1

xx

, m là tham số Có bao nhiêu giá trị của m để

hàm số đã cho liên tục tại x ? 2

Câu 33 Tìm tất cả các giá trị của tham sốm để hàm số  

2 2 khi 22

A y liên tục phải tại x 1 B y liên tục tại x 1

C y liên tục trái tại x 1 D y liên tục trên 

Câu 38 Tìm giá trị của tham số a để hàm số  

khi 33

Câu 40 Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số  

3 2 2 2 khi 11

2 khi 0 4

x

xx

Trang 16

Câu 42 Tìm a để hàm số  

2 1 khi 11

1 khi 1 4

x

xx

xyx

 (m là tham số) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm

số đã cho liên tục tại x0 2

2 khi 04

x

xx



Câu 52 Giá trị của tham số a sao cho hàm số  

1 khi 11

1 khi 12

 II f x gián đoạn tại   x 3

 III f x liên tục trên   

C Cả I, II, III đều đúng D Chỉ II và III

Trang 18

Câu 56 Cho hàm số  

2 3 2 khi 22

Câu 59 Cho , a b là hai số thực sao cho hàm số  

2

, 1 1

Trang 19

Câu 63 Cho hàm số  

3 8 khi 22



Câu 64 Cho hàm số  

2 khi 1

3 2 khi 11

xx

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?

A f x có đạo hàm tại   x 0 B f x liên tục tại   x 0

C f 2  0 D f x gián đoạn tại   x 0

B Hàm số liên tục trên các khoảng   và ; 1   1; 

C Hàm số liên tục trên các khoảng  và ;1 1; 

D Hàm số gián đoạn tại x  1

Câu 69 Hàm số  

2 16 khi 42

1 khi 22

xx

 2 Nếu hàm số y f x  liên tục trên  a b; và f a f b    0 thì phương trình f x 0 có nghiệm

 3 Nếu hàm số y f x  liên tục, đơn điệu trên  a b; và f a f b    0 thì phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất trên  a b;

Trong ba mệnh đề trên

A Có đúng hai mệnh đề sai B Cả ba mệnh đề đều đúng

C Cả ba mệnh đề đều sai D Có đúng một mệnh đề sai

Câu 74 Cho hàm số f x  4x34x Mệnh đề nào sau đây sai? 1

A Hàm số đã cho liên tục trên 

B Phương trình f x  không có nghiệm trên khoảng 0  ;1

C Phương trình f x  có nghiệm trên khoảng 0 2;0

D Phương trình f x 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 3;1

2

 

Trang 21

Câu 75 Cho phương trình 2x45x2   Mệnh đề nào sau đây đúng? x 1 0

A Phương trình không có nghiệm trong khoảng 1;1

B Phương trình không có nghiệm trong khoảng 2;0

C Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng 2;1

D Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng  0; 2

Câu 76 Cho hàm số f x x33x Số nghiệm của phương trình 1 f x  trên 0  là

Câu 77 Cho hàm số f x liên tục trên đoạn   1; 4 sao cho f   , 1 2 f 4  Có thể nói gì về số 7nghiệm của phương trình f x  trên đoạn 5 1; 4:

C Có đúng một nghiệm D Có đúng hai nghiệm

Câu 78 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 10;10 để phương trình

11-A 12-A 13-C 14-B 15-B 16-A 17-A 18-C 19-A 20-D

21-A 22-C 23-C 24-A 25-A 26-D 27-A 28-B 29-C 30-B

31-B 32-A 33-A 34-A 35-A 36-B 37-A 38-B 39-A 40-A

41-D 42-C 43-B 44-A 45-B 46-C 47-A 48-A 49-B 50-D

 Hàm số liên tục trái tại x Vậy hàm số liên tục trên 3 4;3 Chọn C

Câu 2: Vì 2sinx  với mọi x3 0   D nên hàm số liên tục trên  Chọn D

Câu 5: Vì f x  liên tục trên  4;  nên suy ra

 0 lim0   lim0 lim0 4 2 4

Câu 6: Tập xác định D , chứa x Theo giả thiết thì ta phải có 2

 2 lim2   lim2 2 2 lim2 1 3

Câu 12: Tập xác định D Điều kiện bài toán tương đương với

 1 lim1   lim1sin

Trang 23

Đặt tx thì 1 t khi 0 x Do đó 1  * trở thành : lim0 .sin

t

tm

1lim sin 1.1 1.

tm

Trang 24

Câu 16: TXĐ: D Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ; 2 , 2;   

Khi đó f x liên tục trên    f x  liên tục tại x 2

Câu 18: Hàm số f x  liên tục trên ;1 và 1,

Khi đó hàm số đã cho liên tục trên  khi nó liên tục tại x , tức là ta cần có 1

Trang 25

Câu 19: Hàm số xác định và liên tục trên  0;1

Khi đó f x liên tục trên    0;1 khi và chỉ khi    

Vậy hàm số f x liên tục trên    Chọn D

Câu 21: Điều kiện bài toán trở thành:      

gián đoạn tại x Chọn C 0

Câu 24: Ta có f x liên tục trên    ; 1 , 1;1   và 1; 

Câu 28: Hàm số xác định với mọi x

Điều kiện bài toán trở thành      

Trang 29

Để hàm số liên tục tại điểm x0 1 thì 0 2 2

2

aa

   nên hàm số liên tục phải tại điểm x Chọn A 1

Câu 38: Ta có  3 3,lim3   lim3 2 5 6 lim3 2 3 lim3 2 1

Câu 39: Hàm số đã cho liên tục với mọi x 1

Ta có:  1 1,lim1   lim123 1 lim123 2 1

Câu 45: Hàm số

2 21

xyx

m là giá trị để hàm số liên tục trên  Chọn D

Câu 54: Ta có lim1   lim1 2 1 lim1 1 2; 1 

Để hàm số đã cho liên tục trên  thì hàm số liên tục tại điểm x 1

Khi đó lim1   lim1 2 2 1 * 

2 2

Để hàm số liên tục tại điểm x thì 2 m Chọn A 3

Câu 73: Nếu hàm số y f x  liên tục trên  a b và ; f a f b     thì tồn tại 0 x0 a b; sao cho

Suy ra phương trình f x  có nghiệm trên mỗi khoảng 0 2;1,  1;0 ,  0; 2

Mà phương trình f x  có tối đa 3 nghiệm nên nó có 3 nghiệm Chọn D 0