tai lieu chu de phuong trinh luong giac thuong gap

Trang 1 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I.. c  Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a2b2 , ta được Đây là phương trình sơ cấp đã biết cách giải.. Đây là phương trình bậc h

Trang 1

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Loại 1: Phương trình thuần nhất với sin x k và cos kx  

 Dạng phương trình: a sin x k b cos kx  c

 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a2b2 , ta được

Đây là phương trình sơ cấp đã biết cách giải

 Điều kiện có nghiệm: 2 2 2

2) Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai với sin x và cos x

 Dạng phương trình: a.sin x b.sin x cos x c.cos x 02   2 

 Cách giải: Thực hiện 2 bước sau

- Bước 1: Kiểm tra cos x 0 có là nghiệm của phương trình hay không

- Bước 2: Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos x ta thu được phương trình 2

2

a tan x b tan x c 0  

Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết cách giải

 Chú ý:

- Với phương trình dạng a.sin x b.sin x cos x c.cos x d2   2  ta làm như sau:

Phương trình a sin x bsin x cos x c cos x d.12   2 

3) Loại 3: Phương trình đẳng cấp bậc ba với sin x và cos x

 Dạng phương trình: a.sin x b.sin x.cos x c.sin x.cos x d.cos x 03  2  2  3 

 Cách giải: Thực hiện 2 bước sau

Trang 2

- Bước 1: Kiểm tra cos x 0 có là nghiệm của phương trình hay không

- Bước 2: Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos x ta thu được phương trình 3

cos x cos x cos x cos x

4) Loại 4: Phương trình có chứa sin x cos x

 Dạng phương trình: a sin x cos x  b.sin x.cos x c 0 

 Cách giải: Đặt t sin x cos x 2 sin x 2 t 2

5) Loại 5: Phương trình có chứa tan x cot x

 Dạng phương trình: a tan x cot x 2  2 b tanx cotx    c 0

sin x cos x sin x.cos x sin 2x

t tanx cotx

cos x sin x sin x cos x cos 2x

sin x.cos x sin 2x



Lại có t2tan x cot x 22  2  tan x cot x t2  2  2 2

Thay vào phương trình ẩn t, tìm được t rồi suy ra x

6) Loại 6: Một số các phương trình đối xứng tương tự

 Dạng phương trình: a sin x cos x 4  4 bsin 2x c 0 

 Dạng phương trình: a sin x cos x 4  4 b cos 2x c 0 

 Dạng phương trình: a sin x cos x 6  6 bsin 2x c 0 

 Dạng phương trình: a sin x cos x 6  6 b cos 2x c 0 

 Dạng phương trình: a sin x b cos x c.cos 2x d 04  4   

II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1: Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x

Trang 3

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

a) cos x 3 sin x 2 b) sin x cos x 6

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau

a) 3 cos3x sin 3x  2 b) sin x cos x  2 sin 5x

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau

a)  3 1 sin x   3 1 cos x   3 1 0  b) 3 sin 2x sin 2x 1

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau

a) cos 7x sin 5x  3 cos 5x sin 7x   b) tan x 3cot x 4 sin x    3 cos x

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau

a) 2sin15x 3 cos 5x sin 5x 0  b) sin x 3 cos x 6 4

PT cos x sin 2x  3 cos 2x sin x  cos x 3 sin x sin 2x  3 cos 2x

Ví dụ 11 Giải các phương trình sau

a) sin 8x cos 6x  3 sin 6x cos8x   b) 2sin x2  3 sin 2x 3

Ví dụ 13 Giải các phương trình sau

a) 3 sin 2x sin x  cos 2x cos x 2  b) 8sin 2x.cos 2x2  3 sin 2x cos 2x

Trang 10

 Dạng 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

a) 2sin x sin x.cos x 3cos x 02   2  b) 2sin x 3sin x.cos x cos x 02   2 

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau

a) sin x 10sin x.cos x 21cos x 02   2  b) 2sin x 5sin x.cos x 3cos x 02   2 

k Z2sin x 7 cos x tan x 7 x arctan 7 k

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau

a) sin x2  1 3 sinx.cos x  3 cos x 02  b) 3sin x 4sin 2x 4cos x 02   2 

Lời giải:

a) PT sin x sin x.cos x2   3 sin x.cos x 3 cos x2  0

(Do cos x 0 không là nghiệm)

b) Phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau

a) 3sin x 8sin x.cos x2  8 3 9 cos x 0  2  b) 3sin x 4sin x.cos x 5cos x 22   2 

b) PT 3sin x 4sin x.cos x 5cos x 2 sin x cos x2   2   2  2 sin x 4sin x.cos x 3cos x 02   2 

sin x sin x.cos x2  3sin x.cos x 3cos x2  0

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau

a) 4sin x 3 3 sin x.cos x 2cos x 42   2  b) cos x2  3 sin 2x 1 sin x  2

Lời giải:

a) PT 4sin x 3 3 sin x.cos x 2cos x 4 sin x cos x2   2   2  2  3 sin x.cos x 2cos x 0 2 

3 sin x 2cos x x arctan k

b) PT 4sin x 4sin x 22  2   cos xcos xsin x cos x2  2 7sin x cos x 0 VN2  2   

Ví dụ 7 Giải các phương trình sau

a) sin x 4sin x cos x 0 3   b) 2sin x cos x3 

Lời giải:

a) Phương trình đã cho tương đương với

sinx cosx sin x cos x   2  2 4sin x 03   3sin x cos x sin x.cos x sin x.cos x 03  3  2  2 

sin x cos x 3sin x 2sin x.cos x cos x  2 2  0

b) PT 2sin x cos x sin x cos x3   2  2 2sin x sin x.cos x cos x 03  2  3 

sin x cos x sin x sin x.cos x cos x  2 2  0 sin x cos x 0 x k k Z

4



(Do sin x sin x.cos x cos x 02   2  )

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau

Ví dụ 9 Giải các phương trình sau

a) sin x.sin 2x sin 3x 6cos x  3 b) cos x sin x cos x sin x3  3  

cos x sin x 1 sin x.cos x  cos x sin x sin x.cos x sin x 1 sin x.cos x2   sin x

Trang 14

sin x 2 sin x.cos x cos x 0 sin x 2sin x sin x.cos x cos x 0 sin x 0 x k k Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x k k Z   

Ví dụ 10 Giải các phương trình sau

a) 6sinx 2cos x 5sin 2x.cos x 3  b) cos x sin x 3sin x.cos x 03   2 

Ví dụ 11 Giải các phương trình sau

a) cos x 4sin x 3cos x.sin x sin x 03  3  2   b) 4sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 03  3   2 

4sin x 1 cos x 3cos x 1 sin x 3sin x sin x.cos x 0

Ví dụ 12 Giải các phương trình sau

a) tan x.sin x 2sin x 3 cos 2x sin x cos x2  2     b) 2sin x 2 3 cos x 3 1

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

a) 2 sin x cos x  sin 2x 1 0  b) sin x.cos x 6 sin x cos x 1    

Lời giải:

a) 2 sin x cos x  sin 2x 1 0  2 sin x cos x  2sin x.cos x sin x cos x 0 2  2 

sin x cos x sin x cos x 2  0 2 cos x sin x cos x 2  0

sin x cos x 1 do sin x 1, cos x 1sin x cos x 2

Ta có: tan x 2 2 sin x 1 sin x 2 2 sin x 1 sin x 2 2 sin x.cos x cos x 0



   , k Z b) ĐK: sin x, cos x 0

sin x cos x sin x cos x sin x.cos x sin x cos x

tan x cot x

sin x cos x sin x.cos x sin x cos x  0 sin x cos x 0

sin x.cos x sin x cos x 0

Khi đó t2  1 2sin x.cos x phương trình có dạng: 1 t 22t 0    t 1 2

Đối chiếu điều kiện t 2 t 1 2 sin x 1 2 sin

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau

a) sin x cos x 2sin x.cos x sin x cos x3  3    b) 1 sin x cos x sin 2x 3  3 

Lời giải:

a) Phương trình đã cho tương đương với sin x cos x 2sin x.cos x sin x cos x3  3   

sin x cos x 1 sin x.cos x  sin x cos x 2sin x.cos x

Ví dụ 6 Giải các phương trình sau

a) 2 sin x cos x  tan x cot x b) 1 sin x 1 cos x    2

Ví dụ 7 Giải các phương trình sau

a) 3 cot x cos x   5 tanx sinx  2 b) sin x cos x sin x cos x 1  

2 sin x cos x sin x cos x 3 0 2 cos x 2 2 cos x 3 0

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau

a) 2 sin 2x sin x cos x   2 b) sin x cos x 4sin 2x 1

Lời giải:

Ví dụ 9 Giải các phương trình sau

a)2sin 2x 3 3 sin x cos x 8 0   

Trang 23

Ví dụ 10 Giải các phương trình sau

a) tan x 3cot x 4 sin x    3 cos x b) cos 2x 5 2 2 cos x sin x cos x      

Lời giải:

a) Điều kiện: sin 2x 0

4 sin x 3 cos xcos x sin x

Ví dụ 11 Giải các phương trình sau

a) 2sin x cot x 2sin 2x 1   b) cos 2x cos x sin x 3  3

Lời giải:

a) Điều kiện; sin x 0

Khi đó PT 2sin x cos x 2sin 2x 1 2sin x 1 cos x4sin x 12 

2sin x 1 1 cos x2sin x 1 0 sin x 12

b) PTcos x sin x cos x sin x     cos x sin x 1 sin x cos x   

cos x sin x cos x sin x 1 sin x cos x  0 sin x cos x cos x sin x 1   sin x 1 0

4sin x cos x 0

sin x cos x sin x 1 cos x 1 0 sin x 1 x k2

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

Ví dụ 12 Giải các phương trình sau

a) 3 tan x cot x  2 2 sin 2x   b) 2 2  

tan x cot x 1 0sin x cox x 2     Lời giải:

a) ĐK: sin 2x 0

Khi đó PT 3 sin x cos x 2 2 sin 2x  3 2 2 sin 2 x 





        

+) Với t 1 x k

t sin x.cos x 2 loai2

   là nghiệm của phương trình

Ví dụ 13 Giải các phương trình sau

a) tan x cot x 3 tan x cot x2  2    6 b) 2 1 sin x cos x   tan x cot x 0 

b) ĐK: sin 6x 0 Khi đó PT sin 3x cos 3x 2 1 sin 3x cos 3x 0

sin 3x cos 3x sin 3x.cos 3x

+) Với t  1 sin 3x.cos 3x 0 loai  

Vậy nghiệm của PT là: x k

sin x 3 sin x.cos x 1 ?

Câu 13 Cho phương trình cos x 3sin x.cos x 1 02    Mệnh đề nào sau đây là sai?

A x k  không là nghiệm của phương trình

B Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x2 thì ta được phương trình tan x 3tan x 2 02   

C Nếu chia hai vế của phương trình cho sin x thì ta được phương trình 2 2 cot x 3cot x 1 02   

D Phương trình đã cho tương đương với cos 2x 3sin 2x 3 0  

Câu 14 Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình sin x 4sin x.cos x 4cos x 52   2  trên đường tròn lượng giác là?

 là một nghiệm của phương trình

B Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x thì ta được phương trình 2 tan x 2 tan x 1 02   

C Nếu chia hai vế của phương trình cho sin x thì ta được phương trình 2 cot x 2cot x 1 02   

D Phương trình đã cho tương đương với cos 2x sin 2x 1 

Câu 18 Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2sin x2  1 3 sin x.cos x  1 3 cos x 1 2  là

C sin x  hoặc sin x 01  D sin x 0 hoặc sin x 1

Câu 27 Nếu 1 sin x 1 cos x   2 thì cos x

Câu 28 Từ phương trình 2 sin x cos x  tan x cot x , ta tìm được cos x có giá trị bằng

Câu 30 Tính tổng các nghiệm của phương trình 2 cos 2x 5 sin x cos x   4  4   trong khoảng 3 0

C 121076



D 121036

Câu 45 Cho phương trình 2 3 5

3sin x.cos x sin x cos x

Câu 48 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10; 10 để phương trình

m 1 sin x m cos x 1 m     có nghiệm

Câu 49 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2018; 2018 để phương trình

m 1 sin x sin 2x cos 2x 0  2    có nghiệm

 là nghiệm của phương trình Chọn C

Câu 2: sin 2x 3 cos 2x 3 2sin 2x 3 sin 2x 3

Trang 33

Câu 3: cos x sin 2x2   2 sin x 2 cos x sin x sin 2x2  2   2

Câu 8: Dễ thấy sin 2x cos 2x 3 0    x R

Ta có: y 2sin 2x cos 2x y.sin 2x y.cos 2x 3.y 2sin 2x cos 2x

Kết hợp y Z  y  0 Vậy hàm số đã cho có 1 giá trị nguyên là y 0 Chọn A

 Chọn B

Câu 11: Phương trìnhsin x2  3 1 sin x.cos x   3 cos x2  3 sin x cos x 2  2 

1 3 sin x 2  3 1 sin x.cos x 0 sin x 1 3 sin x  3 1 cos x  0

Trang 35

 sin x 0 cos x 12  cos x 1 02  

 1 3 sin x  3 1 cos x 0    1 3 sin x  3 1 cos x 

Vậy phương trình đã cho tương đương với tan x 2  3 cos x 1  2   Chọn D  0

Câu 12: Phương trình sin x2  3 sin x.cos x sin x cos x 2  2

34

Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy A đúng

 Phương trình cos x 3sin x.cos x sin x cos x 02   2  2 

k min

k max

t 52





 

        Với t , ta được 1 sin x cos x 1 sin x 1 sin x sin

t  sin x cos x sin x cos x 2sin x.cos x  sin 2x t  1

Khi đó, phương trình đã cho trở thành 5 t 2    1 t 6 0 5t2    : vô nghiệm t 1 0

Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 1 tan x 2  Chọn D 0

Câu 22: Đặt t sin x cos x 2 sin x

sin x cos x  sin x cos x  , kết hợp với (*) suy ra 2

sin x cos x2 1 2 sin x cos x 1 sin x 2

1 tsin x.cos x

Câu 29: Phương trình  1 sin x cos x 1 sin x.cos x   3sin x.cos x (*)

Đặt t sin x cos x 2 sin x

Câu 38: Ta có A cos x 1 2A.sin x 4A cos x 1 2A.sin x cos x 1 4A

x 0 min

4sin 2x.cos x 2sin 2x.cos 2x 2 3 sin 2x

3 sin 2x cos 2x 2cos x

Với x0; 2  phương trình có tất cả 3+3+1=7 nghiệm Chọn C 

Câu 42: Điều kiện: sin x cos x 0 sin x 0 x k k 

Dựa vào đường tròn lượng giác trên    Phương trình có 2 nghiệm Chọn B ; 

Câu 43: Phương trình 1sin x 3cos x sin 3x sin x sin 3x

Vậy có 18 giá trị của tham số m Chọn C

Câu 47: PT 2 cos x 2 m 2 1 cos x m2 1

suy ra có 18 giá trị của tham số m Chọn C

Câu 49: PT m 1  1 cos 2x sin 2x cos 2x 0