KHỐI đa DIỆN THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN 1

Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đâyA. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.. Tâm tất cả

KHỐI ĐA DIỆN

- Đa diện dều là đa diện lồi có tính chất:Mỗi mặt là đa giác đều p cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p,q}

- Định lý: chỉ có năm loại khối đa diện đều đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại {5;3}, loại {3;5}

- Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Bài tập 1: Trong các hình sau, hình nào không phải là đa diện lồi

Bài tập 2: Trong các hình dưới đây, hình nào không phải là đa diện lồi?

A Hình  I B Hình  II C Hình  III D Hình  IV

Bài tập 3 Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau

đây?

A Bát diện đều B Tứ diện đều C Lục giác đều D Ngũ giác đều.

Bài tập 4 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình lập phương.

B Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

C Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.

D Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Bài tập 5 Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành

A các đỉnh của một hình tứ diện đều.

B các đỉnh của một hình bát diện đều.

C các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.

D các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.

Bài tập 6 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều.

B Tồn tại khối lặng trụ đều là khối đa diện đều.

C Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều.

D Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều.

Bài tập 7 Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ

Khối tứ diện

đều

Khối lập phương

Bát diện đều Hình 12 mặt

đều

Hình 20 mặt đều Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.

B Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.

C Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.

D Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.

Bài tập 8: Khối đa diện đều loại  5;3

, diện tích một mặt của khối đa diện đó là 3m2 Tổng diện tích các mặt của khối đa diện đó bằng:

A 36m2 B 24m2 C 18m2 D 60m2

Bài tập 9: Cho hình bát diện đều cạnh a Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó Tính S

A S 2 3a2 B S 4 3a2. C S  8a2 D S  3a2.

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.Khái niệm về thể tích khối đa diện

Thể tích của một khối đa diện hiểu theo nghĩa thông thường là số đo độ lớn phần không gian mà nó

chiếm chỗ (Bao gồm phần không gian bên trong và hình đa diện).

Định nghĩa:

Mỗi khối đa diện (H) có một thể tích là một số duy nhất V(H) thoả mãn các tính chất sau:

i) V (H) là một số dương;

ii) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V (H) =1.

iii) Nếu hai khối đa diện (H) và (H’) bằng nhau thì V (H) = V (H’)

iv) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ) thì:

V(H)=V(H 1 )+ V(H 2 ).

Chú ý:

 Số dương V(H) nói trên cũng được gọi là thế tích của hình đa diện giới hạn khối da diện

(H).

 Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

 Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước.

2 Thể tích khối lăng trụ

Nếu xem khối hộp chữ nhật ABCD A B C D. ���� là khối lăng trụ có đáy là hình chữ nhật ABCD và chiều cao AA� thì từ chú ý trên suy ra thể tích của nó bằng diện tích đáy nhân với chiều cao

Ta có thể chứng minh được điều đó cũng đúng với khối lăng trụ bất kỳ

Định lí:

Thể tích của một khối

lăng trụ có diện tích đáy B

và chiều cao h là:

.

V B h

3 Thể tích khối chóp

a) Công thức tính thể tích khối chóp

Định lí:

Thể tích của một khối chóp có diện tích

đáy B và chiều cao h là:

1 3

b) Nhận xét

* Muốn tính thể tích của khối chóp ta phải xác định được diện tích đáy và chiều cao của khối chóp (khoảng cách từ đỉnh xuống đáy).

* Cách xác định chiều cao của khối chóp (khoảng cách từ đỉnh M xuống đáy mặt phẳng P )

 Bước 1: Dựng H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P):

+ Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với (P)

+ Tìm giao tuyến của (P) và (Q) là d

+ Trong mặt phẳng (Q), dựng MH vuông góc với d tại H

+ Suy ra MH vuông góc với (P) tại H.

Vậy H là hình chiếu của M trên (P)

 Bước 2: Tính MH

 Bước 3: Kết luận: d(M;(P)) = MH

* Đặc biệt:

+ Hình chóp có 1 cạnh bên vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp chính là cạnh bên đó.

+ Hình chóp có 2 mặt cùng vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp chính là giao tuyến của hai mặt bên đó.

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao của hình chóp nằm trên giao tuyến của mặt bên đó và đáy.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau và chân đường cao thuộc miền trong đa giác đáy thì chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp đều chân đường cao trùng với tâm của đáy.

GHI NHỚ:

1) Thể tích của khối tứ diện O ABC. có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA a , OB b ,

OC c là:

6

a b c

V 

2) Tứ diện đều cạnh a có thể tích là:

3

2 12

S ABC

a

3) Bát diện đều cạnh a có thể tích là:

3

2 3

S ABC

a

BÀI TẬP

Câu 1: Thể tích V của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng 3B là

1 6

V  Bh

1 3

V  Bh

Câu 2: Cho một khối chóp có thể tích V. Khi giảm diện tích đa giác đáy xuống

1

3 lần thì thể tích khối chóp lúc đó bằng

A 27

V

V

V

V

Câu 3: Cho hình chóp đều S ABCD. có chiều cao bằng 6cm và thể tích bằng 12cm3. Tính độ dài

đoạn thẳng AC.

A 6cm B 2 3cm C 2cm D 6cm

Lời giải Chọn B.

Giả sử cạnh đáy của hình chóp là a.Ta có:

2 1 6 12 3

V  a 

6

a

� (cm).Do đó AC a 2 2 3 (cm)

Câu 4: Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên 4 lần thì thể tích

của nó tăng lên:

Gọi ba kích thước của một khối hộp chữ nhật lần lượt là :a b c, , .Thể tích V1 a b c .

Ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên 4 lần : 4 , 4 , 4a b c Thể tích V2 48 a b c64V1.

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 có đường chéo AC13 3a Tính thể tích lăng trụ

1 1 1

ABC A B C theo a

A

3

27

2

a

3 9 2

a

3

3 3 2

a

D 3 3a3 Đặt cạnh lập phương là x(x0).

Ta có: AC13 3a 3x�x3a.Suy ra 1 1 1 1

3

ABCD A B C D

3

ABC A B C ABCD A B C D

a

Nên

3 3

4

ABC

a

V S AA�

Câu 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ���� có thể tích bằng 1 và Glà trọng

tâm của tam giác BCD� Tính thể tích V của khối chóp G ABC�.

A

1

18

V 

1 12

V 

1 3

V 

1 6

V 

Ta thấy tứ giác ABC D�� là hình chữ nhật nên SABC�SABD��V G ABC. �V G ABD. �

3V C ABD� 3V D ABC�

6V D ABCD�

18V ABCD A B C D����

18



Câu 7: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ���, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,

N là trung điểm của B C��, CB� cắt BN tại M Tính thể tích V của khối tứ diện ABCM biết AB 3a,

6

AA� a.

A V 8a3 B V  6 2a3. C V 6a3. D V 7a3.

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C. ��� là

2 1

1

9 6 2

27a

Dễ thấy M là trọng tâm tam giác BB C��

 ,, 

d M ABC

d C ABC

�

�  BM BE 2

3

3

ABCM ABCC

�

.

2 1

3 3V ABC A B C���

.27

9 a

6a

 .

Câu 8: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' 'có thể tích bằng V Gọi M N P, , lần

lượt là trung điểm của các cạnh AB A C BB, ' ', ' Tính thể tích của khối tứ diện

CMNP

A

5

1

7

48V D

1

6V

Câu 9: Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a Thể tích của (H) bằng:

A

3

2

a

3 3 2

a

3 3 4

a

3 2 3

a

Câu 10: Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a Thể tích của (H) bằng:

A

3

3

a

B

3 2 6

a

C

3 3 4

a

D

3 3 2

a

.

Câu 11: Cho tứ diện ABCD Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC Khi đó tỉ số thể tích

của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng:

A

1

2 B

1

4 C

1

6 D

1

8 Câu 12: Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A’B’C’D’E’ Gọi A’’, B’’, C’’, E’’ lần lượt là trung điểm

của các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’, EE’ Tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ ABCDE.A’’B’’C’’D’’E’’ và khối lăng trụ ABCDE.A’B’C’D’E’ bằng:

A

1

2 B

1

4 C

1

8 D

1

10 Câu 13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho

1

'

3

SA  SA

Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ Khi đó thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng:

A 3

V

B 9

V

V

D 81

V

Câu 14: Cho hình chóp S ABC. Trên các cạnh SA AC, lần lượt lấy 2 điểm M, N thỏa 4AM 3 ,SA

3AN  2AC. Gọi V1 là thể tích khối BSCNM và V2 là thể tích khối S ABC. Khi đó tỷ số

1 2

V

V là

A

1

2

2

3

V

V 

1 2

1 2

V

V 

1 2

3 4

V

V 

1 2

5 6

V

V 

Câu 15: Cho hình chóp S ABCD. có đáyABCD là hình vuông cạnha, cạnh bên SAvuông góc với mặt phẳng đáy và SCtạo với mặt đáy một góc bằng 600 Thể tích V của khối chópS ABCD. là

A

3 3

6

a

V 

3 3 2

a

V 

3 6 3

a

V 

D V a3 6.

Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác vuông tại B,�ACB600, cạnh

BC a , đường chéoA B�tạo với mặt phẳng ABCmột góc 300 Thể tích V của khối lăng trụ ' ' '

ABC A B C là

A

3

3

2

a

V 

3 3 3

a

V 

3

3 3 2

a

V 

D V a3 3.

Câu 17: Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1là thể tích của khối chóp CABB A' 'và V2là thể tích của

khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Khi đó tỷ số

1 2

V

V là

A

1

2

1

4

V

V 

1 2

1 3

V

V 

1 2

1 5

V

V 

1 2

2 3

V

V 

Câu 18: Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giácABCvuông tại B AB a,  2,AC a 3, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SB a 3 Thể tích V của khối chópS ABC. là

A

3 6

6

a

3 2 2

a

3 2 6

a

V 

3 3 6

a

V 

Câu 19: Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60� Thể tích V của khối chóp S ABCD. bằng

3 3 3

a

3 3

a

V 

Câu 20: Cho hình hộp đứngABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình vuông, tam giác B AC' đều có cạnh bằng 2

a Thể tích V của khối hộp đã cho là

3 2 3

a

V 

3 2 12

a

V 

Câu 21: Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy là a 2 và tất cả các mặt bên của hình chóp

là các tam giác vuông cân Thể tích V của khối chóp S ABC. là

A

3 2

4

a

V 

3 6

a

V 

3 4

a

V 

Câu 22: Cho tứ diện ABCD có AB3 2, tất cả các cạnh còn lại bằng 2 3 Thể tích V của khối tứ diện ABCD là

A

3 2

4

V 

8 3 3

V 

Câu 23: Cho khối lăng trụ ABC A'B'C'. , khoảng cách từ C đến BB' là 5, khoảng cách từ A đến BB'

và CC' lần lượt là 1; 2 Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳngA B C' ' ' là trung điểm M của ' '

B C ,

15 '

3

A M 

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A

15

2 5

3 C 5 D

2 15

3