Phương pháp tính thể tich khối đa diện

Vì vậy, tôi viết chuyên đề này với mục đích hệ thống lại một số kỹ năng tính thể tích khối đa diện giúp học sinh giải quyết tốt bài toán này trong đề thi đại học.. Kiến thức cơ bản Góc

MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

NGUYỄN THỊ HƯỜNG (Tổ trưởng Tổ Toán – Lý – Hoá trường THPT Sông Lô)

I GIỚI THIỆU

1 Lý do viết chuyên đề:

- Trong đề thi Đại học – Cao đẳng hàng năm, luôn xuất hiện 01 câu về hình học không gian Trong đó phần nhiều có liên quan về vấn đề tính thể tích khối đa diện, đặc biệt là các khối chóp, khối lăng trụ

- Trong quá trình dạy ôn thi đại học, tôi thấy không ít học sinh có tâm lý “sợ” câu hình học không gian Vì vậy, tôi viết chuyên đề này với mục đích hệ thống lại một số kỹ năng tính thể tích khối đa diện giúp học sinh giải quyết tốt bài toán này trong đề thi đại học

2 Đối tượng học sinh:

- Sử dụng dạy cho học sinh lớp 12, chuẩn bị thi vào đại học (sau khi học hết chương trình Hình học cấp THPT)

- Chuyên đề cũng có thể sử dụng để dạy cho học sinh lớp 12 (trung bình khá trở lên) sau khi học xong chương I-Hình học (tuy nhiên chưa dạy phần sử dụng phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian)

3 Thời gian dự kiến dạy: 05 tiết, dạy vào các tiết tự chọn, tiết dạy chuyên đề (buổi

chiều)

II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRỰC TIẾP:

Mấu chốt của phương pháp này là tính được đường cao và diện tích đáy của khối đa diện

Trước hết cần nắm vững kiến thức cơ bản sau;

1.1 Kiến thức cơ bản

Góc

 Góc giữa hai đường thẳng a và b

là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng

đi qua một điểm và lần lượt cùng phương

b

a' a

 Góc giữa đường thẳng a không

vuông góc với mặt phẳng (P)

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên

mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng

(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a

và mp(P) là 900

a

h

 Góc giữa hai mặt phẳng

là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông

góc với hai mặt phẳng đó

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm

trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao

tuyến tại 1 điểm

b a

Q P

P

Q

 Diện tích hình chiếu:

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong

mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của

(H) trên mp(P’) thì

' cos

trong đó là góc giữa hai mặt phẳng

(P),(P’)

B A

S

Các công thức thể tích của khối đa diện:

 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

V= B.h

trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao

 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

V=1

3Bh trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao

 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:

 ' '

3

h

với B, B’ là diện tích hai đáy, h là chiều

cao của hình chóp cụt

B A

C

C'

Hai yếu tố quan trọng để tính thể tích là chiều cao và diện tích đáy Trong qua trình tính cần lưu ý:

+ Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Một số khối chóp đặc biệt:

 Khối tứ diện đều:

+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau

+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều

+ O là trọng tâm của tam giác đáy

Và AO  (BCD)

 Khối chóp tứ giác đều

+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau

A

C

D

M O

+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O

+ SO  (ABCD)

O C D

B A

S

 Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hợp đáy góc bằng nhau ) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

 Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao là cách đều các cạnh của đáy

 Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy góc thì chân đường cao thuộc giao tuyến mặt đó với đáy

 Khối chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của hai mặt đó

+ Với khối lăng trụ có thể tính thể tích bằng các hướng trên, hoặc chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính

+ Với khối đa diện phức tạp để tính thể ta thường chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính

1.2 Một số ví dụ:

1.2.1.Ví dụ 1 (Trích Đề TSĐH khối A năm 2009)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a , CD=a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 gọi I là trung điểm của AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính V S ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của I trên BC

Từ giả thiết suy ra SI vuông góc với mặt

đáy Ta có thể dễ dàng tính được :

1

2

ABCD

Có

1

2

3 3

2 2

S

60 0 A

B I

H

Nên 2 3 3

5

BCI S

BC

  Từ đó tìm được . 3 15 3

5

S ABCD

V  a (đvtt)

1.2.2.Ví dụ 2.( Trích Đề TSĐH khối B năm 2009)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600 Hình chiếu vuông góc

của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của AC, H là trọng tâm

tam giác ABC

Dễ dàng tính được :

, '

Đặt



BAC

a

60 0

60 0 B

C

A C'

A' B'

M H

Ta có

2

x

2

1.2.3 Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông tại C , AC=a,AB=2a , SA vuông góc với đáy , góc giữa mặt (SAB) và măt (SBC) bằng 600 Gọi H,K lần lượt là hình chiếu

của A lên SB,SC CMR AK HK và tính V S ABC.

Hướng dẫn giải

*Ta có

:SABC AC, BC BC SACBC  AK

Mà AK SC AK SBC AK  HK

*Dễ dàng tính được

2

3 2

ABC

a

S  (đvdt) Trong tam giác vuông AKH ,

AK=AH.sin600= 3

2 AH

Ta lại có các tam giác SAB,SAC vuông tại A nên

4

AH  SA  AB  SA  a (1) ,

a

2a

60 0 S

A

C

B K

H

Từ (1),(2) suy ra ,

3

SA  a     ( đvtt)

1.2.4 Ví dụ 4 Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a , khoảng cách từ tâm O

của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng

6

a

Tính V ABC A B C ' ' '

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu của O

lên A’M

Có

 

Do đó ,  '   , '  

6

a

Đặt AA’=x , ta có MOH và MA A' đồng dạng nên

C

B

A

C'

B'

A'

H

3

4



3 ' ' '

3 2

AA '

16

1.2.5 Ví dụ 5 Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho

trước Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ

Hướng dẫn giải

Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’

Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’

Ta có:

 '  ' '  ' ' '











Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với

hai đáy tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại

điểm KII' Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x

là cạnh đáy lớn Ta có:

Tam giác IOI’ vuông ở O nên:

6 3

Thể tích hình chóp cụt tính bởi:  ' '

3

h

Trong đó:

x

Từ đó, ta có:

V

2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TỶ SỐ THỂ TÍCH

Trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối

2.1 Công thức tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC có

' , ' , '

A SA B SB C SC

Khi đó: ' ' ' ' ' '

SA B C

SABC

S

A

B

C

A'

B' C'

2.2 Các ví dụ :

2.2.1 Ví dụ 1.( Trích Đề TSĐH khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng

ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M

là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC

Hướng dẫn giải

Dễ dàng tính được ACa 5,BC 2a

Có I là trọng tâm tam giác AA’C’ nên 2

3

Suy ra:

.

.

3

.2 2

I ABC

M ABC

V

V

2a

3a I

B

A

C

A'

C' B'

M

90 , 120 ,

2 ,

AC  a AD3a Tính V ABCD

Hướng dẫn giải

Lấy M AC N, AD sao cho AM = AN = a

có



1

2

2 cos 3 3

Do đó , tam giác BMN vuông tại B Vì AB =

AM = AN nên hình chiếu của A

trên (BMN) là tâm H của đường tròn ngoại

tiếp BMN , H cũng chính là trung điểm của

MN

a a

a 120

0

B

M

N A

H

C

6

ABMN

ABCD

3

.

a

3

2 2

ABCD

a V

  ( đvtt)

2.2.3 Ví dụ 3 (Trích Đề TSĐH khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối

tứ diện CMNP theo a

Hướng dẫn giải

Ta có

.

1

4 1 ( ) 2

CMNP

CMBD

a

b

Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được

.

CMNP

S BCD

V

P

M

H

N C

S

D

B A

Gọi H là trung điểm của AD ta có SH  AD mà (SAD)(ABCD) nên

SH  ABCD Do đó

3 2

Vậy:

3

3 96

CMNP

a

V  (đvtt)

2.2.4 Ví dụ 4: (Trích Đề TSĐH khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là

hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2 SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta

có I là trọng tâm của tam giác ABC, do đó

3 2 6

AIMN

ACDN

2

ACDN

ACDS

V  SC  (2)

a

a

a 2

I

M

O

C

A

D

B

S

Từ (1) và (2) suy ra 1

12

AIMN

ACDS

V

Mà

3

V  SA S  a  Vậy

3

a

V  V  (đvtt)

2.2.5 Ví dụ 5 (Trích Đề TSĐH khối B – 2008 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,   0

90

ABBCa AD a SA ABCD và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA

và SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức (1) ta có

.

.

.

.

1 2 1

4

S BCM

S BCA

S CMN

S CAD

Suy ra

2a a

2a

A

D

S

2.2.6 Ví dụ 6 (Trích Đề TSĐH khối D – 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình

chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH =

4

AC

Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta tính được

2

Do đó tam giác SAC cân tại C nên M

là trung điểm của SA

Ta có

.

.

S MBC

S ABC

.

(đvtt)

C D

S

H M

3 PHƯƠNG PHÁP CHỌN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

3.1 Kiến thức cơ bản:

 Diện tích hình bình hành ABCD: S  AB AD, 

 

 

 Diện tích tam giác ABC: 1 ,

2

S  AB AC

 

 

 Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: V ABCD A B C D ' ' ' ' AB AD AA,  '

 

  

 Thể tích khối tứ diện ABCD: ' 1 ,

6

ANBD

 

  

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ

đã chọn và độ dài cạnh của hình

3.2 Nội dung phương pháp:

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxy một cách thích hợp (Chú ý vị trí của gốc O)

Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan

Khi xác định cần căn cứ:

 Ý nghĩa hình học của các điểm (Khi các điểm thuộc trục toạ độ, mặt phẳng toạ độ)

 Dựa vào các quan hệ hình học như song song, bằng nhau, vuông góc, cùng phương ,…

 Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng , đường thẳng với mặt phẳng …

 Dựa vào quan hệ về góc giữa đường thẳng với mặt phẳng…

Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải quyết bài toán

3.3 Một số ví dụ:

3.3.1 Ví dụ 1 Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc

Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC),

mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3 Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

d[M, (OAB)] = 3  zM = 3

Tương tự  M(1; 2; 3)

pt(ABC): x y z 1

ab c 

1 2 3

     (1)

.

1

6

O ABC

V  abc (2)

3

1 2 3 1 2 3

    

1

27

6abc

(2) min 1 2 3 1

27

3

V

     

3.3.2 Ví dụ 2 (Trích Đề TSĐH khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình

chữ nhật với ABa AD, a 2, SA và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi a

M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Tìm thể tích khối tứ diện ANIB

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục toạ độ Axyz với A là

gốc toạ độ Khi đó, ta có:

(0;0;0), ( 2;0;0), (0; ; 0),

( 2; ; 0), (0;0; )

Khi đó ta có:

; 0;0 ; ; ;

MI  IBMI  IB

Gọi I x y z Dễ thấy ( ;0 0; 0) z  , 0 0

 

 

2 1

0

2 2

1

0

2

3

,

a







   



x

z

y

I

N

M

B A

D

C S

Như vậy 3

; ; 0

2 3

Suy ra:

2

 

Vậy

3

,

a

V  NA NB NI   

(đvtt)

Nhận xét: Giải toán hình không gian bằng phương pháp toạ độ thường là cách làm dài

hơn cách giải bằng hình học thuần tuý Tuy nhiên nó là một sự lựa chọn tốt cho những học sinh học tốt đại số nhưng ngại môn hình học không gian

3.3.3 Ví dụ 3 (Trích Đề TSĐH khối A – 2007)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a

Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của AD thì SH vuông góc với mp (ABCD) Chọn

hệ trục toạ độ Hxyz như hình vẽ Ta có: 0; ; 0 , ; ;0 , ; ; 3

Tính AM BP  0

 

suy ra AM BP

3

,

CMNP

a

V  CM CN CP   

y I

P

N

M

H

B A

D

C S

3.3.4 Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh là 5tâm O, SO vuông góc với đáy; các cạnh bên SA 2 3,SB 3 Gọi M là trung điểm của cạnh SC

a Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng: SA và BM

b Mp (AMB) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Đặt OA = x, OB = y, OC = z, ta có:

12 2 2

    

   

   



Suy ra tọa độ các đỉnh như sau:

(0; 0; 0), (2; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0; 2 2),

(0; 1;0), ( 2; 0;0), ( 1; 0; 2)

a Ta có

| | 3 cos( , )

2

| | | |

SA BM

SA BM

 

  Do đó góc giữa hai đường thẳng này là 0

60

z

x

y

M N

O

C D

S

, 2 2 ( , )

11 ,

d SA BM

SA BM

 

 

 

 

  

 

b (ABM) và (SCD) chứa hai đt song song AB và CD nên giao tuyến của chúng là

MN//AB//CD Suy ra N là trung điểm của SD 0; 1; 2

2

S ABN S BMN S ABMN S ABN S BMN

     

BÀI TẬP TỰ GIẢI:

Bài 1.Cho tứ diện ABCD có ABC,ABDđều cạnh a , ACD  BCD Tính VABCD

Bài 2 Cho tứ diện ABCD, M,N,P lần lượt thuộc BC,BD,AC sao cho BC=4BM,

BD=2BN, AC=3AP, mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP)

Bài 3 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt phẳng (A’AB),(A’BC),(A’CA) hợp với

đáy (ABC) góc 600 , góc ACB60 ,0 ABa 7,AC2a Tính V ABC A B C ' ' '

Bài 4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a , gọi M,N,P lần thuộc các

đoạn AA’,BC,CD sao cho AA '3 'A M BC, 3BN CD, 3DPmặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai phần tính thể tích từng phần

Bài 5 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy góc 600 , Gọi M là điểm đối xứng với C qua D , N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Bài 6 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a , KCC'sao cho 2

3

Mặt phẳng (α) qua A, K và song song với BD chia khối lập phương trình 2 phần Tính tỷ

số thể tích hai phần đó

Bài 7 (ĐH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc

giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

Mỗi học sinh sưu tầm hoặc sáng tác 06 bài toán khác nhau về tính thể tích khối đa

diện và kèm theo hướng dẫn giải (có sử dụng các phương pháp đã học)

ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN

Sau khi dạy, tác giả đã thăm dò ý kiến học sinh và tổ chức kiểm tra, kết quả cho thấy học sinh thấy hứng thú với nội dung kiến thức được học Bước đầu giải được các bài hình học không gian trong các đề thi Đại học – Cao đẳng nhờ các phương pháp được học