D02 thể tích khối đa diện muc do 3

Tính thể tích của khối chóp .S ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng ABCDmột góc bằng 600 và AB a.. Gọi Hlà hình chiếu của Atrên mặt phẳng ABC,do các đường thẳng A A , A B , A C c

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ¢ ¢ ¢ ¢có đáy ABCDlà hình thoi cạnh a,

BAD= ° Biết các đường thẳng A A¢, A B A C¢, ¢ cùng tạo với mặt phẳng (ABCD)một góc bằng 60° Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BB CC¢, ¢ Tính thể tích khối lăng trụ

.

ABCD A B C D ¢ ¢ ¢ ¢.

Lời giải

Gọi Ilà trung điểm của BC

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của điểm A¢trên mặt phẳng (ABCD)vì các đường thẳng A A¢, ,

A B A C¢ ¢ cùng tạo với mặt phẳng (ABCD)một góc bằng 60°nên HAA· '=HBA· '=HCA· '=60°.

Tam giác ABCđều

Do tam giác ABCtam giác đều nên A ABC¢ là hình chóp tam giác đều.

·

tan

AI = Þ AH = Þ A H¢ =AH A AH¢ =a

,

2

ABCD

a

Thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ¢ ¢ ¢ ¢là

2

ABCD

a

V =A H S¢ =

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] Cho hình hộp đứng ABCD A B C D.     có đáy ABCD là hình vuông Gọi S là

tâm của hình vuông A B C D     SA , BC có trung điểm lần lượt là M và N Tính thể tích của khối

chóp S ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng (ABCD)một góc bằng 600 và AB a

Lời giải

a

60 0 N

M

S

C

B A

Gọi H là trung điểm của AC => SH là trung tuyến trong tam giác SAC Mặt khác SAC cân tại

S  SHlà đường cao  SH AC

 

;

;

SAC ABC SAC ABC AC

SH SAC SH AC

SH ABC



Gọi Ilà trung điểm củaAH, mà M là trung điểm của SA => IM là đường trung bình trong tam

giác SAH

/ / 1 2

IM SH

IM SH





 





    ,   60 / /

SH ABC

IM ABC MNI MN ABC

IM SH





ABC

 vuông cân tại B , có AB a  BC a ; AC a 2=> CI =

2

CI  AC a

1

a

NC BC

; ABC vuông cân tại B  A C  45

Xét CNI CÓ:



NI  CI CN  CI CN ICN   MI IM  

3

2

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] Cho hình hộp đứng ABCD A B C D.     có đáy ABCD là hình vuông Gọi S là

tâm của hình vuông A B C D    Cho AA'AB Gọi R S, lần lượt nằm trên các đoạn thẳng ,

A D CD sao cho RS vuông góc với mặt phẳng CB D  và 

3 3

a

RS 

Tính thể tích khối hộp

ABCD A B C D     theo a

Lời giải

S R

C'

B

p

B' n

D'

m

A

A'

Đặt A A m A D  ,  n A B,   p m n p b m n n p;      p m 0

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

và A R x A D D S  .  ;  y D C. 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Ta có A R x m x n D S    ; '     y m y p RS RAA D D S

y x m 1 x n y p

       

Do đường thẳng RS vuông góc với mặt phẳng CB D  nên ta có

y x m x n y p m n

RS B C

RS D C y x m x n y p m p

  



 

2

3

x

y x

y x

y







  

 

 Vậy R S, là các điểm sao cho

;

A R  A D D S   D C

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

2

' ' ' '

             

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] (HSG Toán 12 - Quảng Ngãi 1819) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là

tam giác vuông tại A , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết

7

AB a, BC7 3a , E là điểm trên cạnh SCvà EC2ES Tính thể tích khối chóp E ABC.

Lời giải

Gọi H là trung điểm AB

Vì ABC đều và SAB  ABCsuy ra SH ABC

Ta có:AC BC2 AB2 7 2a

+)

3

V  S SH  AB AC SH  a

+)

.

1 3

S ABE

S ABC

V SA SB SE

V SA SB SC

 

3

E ABC S ABC

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] (HSG Toán 12 – Cần Thơ năm 1819) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D.     có

đáy là hình thoi cạnh a , góc BAD 120 Biết các đường thẳng A A , A B , A C cùng tạo với mặt phẳng ABCD

một góc 60 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh BB , CC.

Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D.    

Lời giải

I

H

S

E

K

Gọi Hlà hình chiếu của Atrên mặt phẳng ABC

,do các đường thẳng A A , A B , A C cùng tạo với mặt phẳng ABCD

một góc 60nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác, ABCD là hình thoi với góc BAD120nên tam giác ABC đều Do đó Hđồng

thời là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC 

Vì A H ABCDnên A A có hình chiếu trên mặt phẳng ABCD

là AH.

 Góc giữa A A và mặt phẳng ABCDlà góc A AH Theo bài ra ta có A AH 60

Trong tam giác A AH có

3 tan 60 3

3

a

Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D.     là:

ABCD

V S A H

2 4

a a



3

3 2

a



Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BCDA a  ; CA DB b  ; AB DC c 

Tính thể tích tứ diện ABCD

Lời giải

A

E

F

G

D

*Qua điểm B ; C ; D dựng các đường thẳng song song các cạnh tam giác BCD như hình vẽ suy ra

AD DE DG a   ; AB BE BF c   ; AC CF CG b  

Vậy tam giác AEF; AG F ; AGE vuông tại A.

*

4

AE a c b

AE AF c

*

1 4

ABCD AEGF

1

AE A F AG

12 a b c b c a c a b

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] (HSG LỚP 12 - SỞ BẮC GIANG- 2016-2017) Cho hình hộp đứng

ABCD A B C D   có đáy là hình thoi , ABC 90 Góc giữa A C và mặt đáy (ABCD)bằng 30; góc giữa hai mặt phẳng (A BC )và (ABCD)bằng 45; khoảng cách từ điểm Cđến mặt phẳng (A CD )bằng a Gọi Elà trung điểm của cạnh CD Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE

Lời giải

+ Hạ AI BCsuy ra ((A BC ),(ABCD)) ( A I AI , )A IA 45 (1)

 (A C ABCD ,( ))A CA 30 (2)

Hạ AJ CD AH, A J

Khẳng định khoảng cách từ điểm Cđến mặt phẳng (A CD )bằng AH a

+ Từ (1) suy ra IA AA Đáy ABCDlà hình thoi nên AJ AI

Xét tam giác vuông A AJ , từ AH ađược AJ a 2

Đặt AB x x , ( 0) BCx Từ (2) suy ra AC a 6

+ Xét tam giác vuông AICcó IC AC2 AI2 2a, IB IC BC  2a x

Xét tam giác vuông AIBcó

( 2) (2 )

2

a

AB AI IB  x  a  a x  x

+   3

2

a

ACBD O  BO

;

2

3

3 2

3 2

a

+ Gọi Flà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADEvà đường thẳng dqua Fvuông góc với (ABCD).

Mặt phẳng trung trực của AAcắt dtại Gthì Glà tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE

+ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE là GA GF2FA2 với 2

a

GF 

Tính được

57 4

a

AE 

;

2

3 3 57 2 4 4 3 114

2

ADE

a a a

FA

Vậy

2

GA FA    

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông Gọi    

S là tâm của hình vuông     A B C D SA , BC có trung điểm lần lượt là M và N Tính thể tích của khối chóp

S ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng ABCDmột góc bằng 600và AB a 

Lời giải

N

M

S

D'

B

C A'

Gọi Hlà trung điểm của AC SH là trung tuyến trong tam giác SAC Mặt khác tam giác SAC

cân tại S SH là đường cao  SH AC

;

;



SAC ABC SAC ABC AC

SH ABC

SH SAC SH AC

Gọi Ilà trung điểm của AH, mà M là trung điểm của SA IM là đường trung bình trong tam

giác

/ / 1 2





 





IM SH SAH

IM SH

    ,   600

/ /





SH ABC

IM ABC MNI MN ABC

Tam giác ABC vuông cân tại B, có AB a  BC a ; 

1

; tam giác ABC vuông cân tại B A C  450.

Xét tam giác CNI có



NI CI CN CI CN ICN MI IN

3

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông Khi    

 

AA AB Gọi R , S lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A D , CD sao cho RS vuông góc với mặt phẳng

CB D 

và

3 3

a RS

Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D theo a    

Lời giải

N

D'

B

A'

C

D A

R

S

Đặt   

AA m ,  A D n ,       

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

A B p m n p b

; .  .  . 0

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

m n n p p m .

Mặt khác    . 

A R x A D ;    . 

D S y D C.

Ta có    .  .

A R x m x n ;    .  .           1  

D S y m y p RS RA A D D S y x m x n y p.

Do đường thẳng RS vuông góc với mặt phẳng CB D nên ta có:



 

y x m x n y p m n

RS B C

RS D C y x m x n y p m p

3







  

 



x

y x

y x

y

Vậy R , S là các điểm sao cho

2 3

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

1 3

  

 

2

.

             

ABCD A B C D

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] (HSG 12 Cần Thơ 2017 - 2018)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình thoi cạnh bằng a BAD = 60,· o, SA=SB=a

Gọi Glà trọng tâm của tam giác ABD biết , .

a

SG = 6

3 Tính thể tích của khối chóp S ABCD

Lời giải

Tam giác ABDcó AB=AD=a, BAD = 60 onên đều

GA=GB=2 3= 3

3 2 3 Xét tam giác SGAcó SG2+GA2=a2=SA2

nên tam giác SGAvuông tại G Tương tự tam giác SGBvuông tại G

Vậy

GA SG

SG GAB

GB SG

íï ^

ïî hay SG^(ABCD)

Mặt khác ABD

a

S = 2 3

4 Suy ra S ABCD. . .

V =12 2 3 6= 3 2

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy là hình thoi,  ' ' ' ' ABC 90

 Góc giữa hai mặt phẳng ( 'A BC)và (ABCD)bằng 45; khoảng cách từ điểm 'C đến mặt phẳng ( 'A CD)bằng a

Gọi E là trung điểm cạnh CD Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

'

AA DE.

Lời giải

( 'A BC),(ABCD) (A I AI' , ) A IA' 45

(1) Góc A C ABCD' ,( ) A CA' 30

(2)

Hạ AJ CD AH, A J'

Do đó d C( ', ( 'A CD))AH a

Từ (1) suy ra AI AA' Đáy ABCD là hình thoi nên AJ AI

Xét tam giác vuông 'A AJ , từ AH a được AJ a 2

Đặt AB x x ,( 0) BC x Từ (2) suy ra AC a 6

Xét tam giác vuông

AIC IC AC  AI  a IB IC BC   a x Xét tam giác vuông

2

a AIB AB AI IB  x  a  a x  x

2

' ' ' '

3

ACBD O  BO S   V  a

Gọi Flà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE và đường thẳng d qua Fvuông góc với (ABCD).

Mặt phẳng trung trực của AA'cắt d tại G thì G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE'

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE' là GA GF2FA2 với 2

a

GF 

Do đó

;

a AD DE AE a

S

Vậy

GA FA    

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] (HSG 12 tỉnh Thanh Hóa năm 1314) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD

là hình chữ nhật có AB a AD b ,  , SAvuông góc với đáy và SA2a Gọi M là điểm nằm

trên cạnh SAsao cho AM x(0 x 2 )a Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng MBC

Tìm x theo a để mặt phẳng MBC

chia khối chóp S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau

Lời giải

Thiết diện là hình thang vuông MNCB , vuông tại B và M

Tính diện tích thiết diện:

1

2

MNCB

S  MN CB MB

; BM  BA2AM2  a2x2 SMN

 đồng dạng SAD

(2 )

2

SM AD a x b MN



N M

D

C B

A S

Vậy

1 2

2 2

MNCB

ab bx

a



Gọi V là thể tích của khối chóp S ABCD

2

a b

Gọi V1

là thể tích của khối SMNCB: V1V S MBC. V S MNC.

Ta có

.

S MBC

S ABC

V SM SB SC SM a x

V SA SB SC SA a



2 2

6

a x

a b





Ta có

.

S MNC

S ACD

V SM SN SC SM SN MN a x

V SA SC SD SA SD AD a



2

S ACD

V a b V

S MNC

a x a b a x

a

Yêu cầu bài toán

1

(2 ) (2 )

V a b a x ab a x b a b

(3 5) ( / )

x a a loai

x ax a

   

 



Vậy với x a (3 5)thì mpMBC

chia khối chóp S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt

phẳng ABC

, tam giác ABC vuông cân tại B, SB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

bằng  Tính theo a và thể tích khối chóp G ANC với G là trọng tâm tam giác SBC , N là trung điểm BC

Lời giải

H

M G

N

D

A S

Dễ thấy, SAABC,  SBAvà

1 ( ,( )) ( ,( ))

3

d G ABC  d S ABC

1 , sin , cos 2

Do đó

.

V   SA   S  a     

   

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] (HSG12-Vĩnh Phúc năm học 17-18) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

là hình thoi tâm O , AC 2 3, BD2a; hai mặt phẳng SAC

và SBD

cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD

Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB

bằng

3 2

a

Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

Lời giải

Ta có diện tích hình thoi ABCD là: S ABCD 2 3a2  S ABC  3a2

Theo giả thiết: SOABCD

Trong ABCD

kẻ OK AB, trong SOK

kẻ OH SK

AB SOH

   AB OH  OH SAB

 

 ,  2  ,   3

2

a

d C SAB  d O SAB   ,   3

4

a

d O SAB OH

Khi đó ta có: 2 2 2 2

3

Vậy thể tích khối chóp S ABC là: .

1 3

S ABCA ABC

3

a a



6

a



(đơn vị thể tích)

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] (HSG12 Đồng Tháp 2016-2017)Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình

chữ nhật tâm O , AB a , BC a 3 Tam giác SOA cân tại S và mặt phẳng SAD

vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD

Góc giữa đường thẳng SDvà mặt đáy bằng 60 Tính theo a thể tích khối chóp

S ABCDvà khoảng cách giữa hai đường thẳng SBvà AC.

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ABCD

K L

O

S

Xác định H :

SAD  ABCD theo giao tuyến AD nên H thuộc AD

SO SA  OH AH  H thuộc trung trực của OA

Suy ra Hlà giao điểm của ADvà trung trực của OAtrong mp ABCD

Ta có AO BO AB a  ABOđều

Gọi I là trung điểm OA , suy ra H BIAD

Hình chiếu vuông góc của SD lên ABCD là HD nên

SD ABCD,  SD HD,  SDH 60

ABO

 đều nên ABI   nên 30 

AB HB

cos ABH

3

a



 tan

AH AB ABH 3

a



Suy ra HD AD AH 

2 3

a

 , SH HD.tanSDH 2a Diện tích hình chữ nhật S ABCD a2 3

.

1 3

V  SH S

3

2 3 3

a



Kẻ IK SB K SB 

Ta có

AC BH

AC SH









  ACSHB  ACIK

Suy ra IK là đoạn vuông góc chung của SBvà AC

Kẻ HLSB L SB 

Xét tam giác vuông SHB, ta có 2 2

SH HB

SH HB

Ta có

IK BI

BI

BH

4

a

 Vậy  ,  3

4

a

d AC SB 

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] (SỞ GD-ĐT HẢI PHÒNG) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình

thang vuông tại Avà B,AB BC a  , AD2a, SA2avà vuông góc với mặt phẳng ABCD

Mặt phẳng BCMcắt cạnh SD tại N Tính độ dài đoạn thẳng SM biết thiết diện tạo bởi mặt

phẳng BCM

chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau

Lời giải

Ta có thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng BCM

là hình thang BCNM

Gọi V là thể tích khối chóp S ABCD Ta có V S BCNM. V S BCM. V S CNM. ; .

1 , 3

S ABC

3

S ACD

Đặt

SM k SA

 suy ra:

.

.

1 3

S BCM

S BCM

S BCA

V SA    ;

.

.

2

3

S CMN

S CMN

S CAD

V SM SN

V  SA SD    .

Từ đó suy ra

2 1

1 2

3 3

V  k k V

  Mà

1

1 2

V

V V

V    .

Suy ra

2

3V 3k 3k V k 2 x a

      

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB3,BC6,mặt

phẳng SAB

vuông góc với đáy, các mặt phẳng SBC

và SCD

cùng tạo với mặt phẳng

ABCD các góc bằng nhau Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 6.Tính thể tích khối chóp S ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BD

Lời giải

Hạ SH AB H AB  SH ABCD

Kẻ HK CD K CD   tứ giác HBCK là hình chữ nhật.