GIAI & BAI TOAN THE TIGH RHOI BA ĐIỆN PHAN CUNG ĐỨC GV THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội các thí sinh là việc xác định đườn 3 cao ài toán tính thể tích của một khối ảa diện xuất hiện k
Trang 1GIAI & BAI TOAN THE TIGH RHOI BA ĐIỆN
PHAN CUNG ĐỨC (GV THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội
các thí sinh là việc xác định đườn 3 cao
ài toán tính thể tích của một khối ảa diện xuất hiện khá phổ biến trong các kì thi Đại học và Cao đẳng hiện nay Để giải bài toán này thí sinh phải tính được điện tích mặt đáy và chiều cao của khối Việc tính điện tích đáy thường được thực hiện khá dễ dàng Vấn đề khó khăn hơn đối với
Dưới đây chúng ta xem xét một số trường hợp thường gặp khi xác định đường cao của một
khối da điện có đình ŠS và mặt phẳng (mịp) chứa đáy là mỹ(P)
S*TRƯỜNG HỢP 1 Xác định được mặt phẳng
(P,) qua đỉnh ŠS và vuông góc (P) Goi A fa
giao tuyến của (P) va (P,) va H 1a hình chiếu
vuông góc của điểm S lên A Khi đó SH chính
là đường cao của khối đa diện
* Bài 1.Cho khói chóp S.ABC có BC = 2a
BAC =90°, ACB = a Mat phang (SAB) vudng
góc với mặt phẳng (ABC ), tam giác SAB cán
tại Š và ram giác giác SBC vuông Tính thể
tích của chápS4nC -
Lời giải (h 1)
Tam giác 48C có
AB= 2asina
AC = 2acosa@ nén
Sysco = @* sin 2a
Vi (SAB) | (ABC)
và S4=SB nén
SH L(ABC) với
H là trung điểm
cạnh 48B Tam giác
8C vuông ở đình nào? Nếu AS#” vuông ở 8
thì CB L BA (theo định lí ba đường vuông góc)
điều này vô lí vì AABC vuông ở A Tương tự
nếu AS8C vuông ở C thì CB = 90” (vô lí)
Từ đó tarn giác SBC vuông tại S
Gọi K là trung điểm cạnh BC thi
SK =>BC = a HK!! AC va HK => AC =acsa
= SH =SK-HK’ =a sin a > SH=asina
1
Từ đó Vs ape = = Susc-SH
-
= 0 SAR De EB se LEB
¥& Bai 2.Cho hinh lap phuiong ABCD_ABCD
có cạnh bang a Goi M,N theo thứ tự là trung điềm các cạnh AB, BC va O, O, thu tự la ram
cac mat 45:C.D:, ADD 4, Tính thé tích khói
tự điện 1£NO,O, Lời giải (h 2)
Ta có mp(.VO;02)
1 mp(4BCD)
và chúng cất nhau
theo giao tuyến
NE (E là trung
điểm cạnh 4Ð)
Gọi Ó là tâm của
hình vuông ABC Hình 2 thì MOLNE Suy
ra MO là đường cao của hình chóp Af_NO,O,
Ta có
Syo.o, = SEEN, — (Sua, + S800; +Š NO)
` (= a> a) 3a
=q? ——| —+—+4+— l=
2Ì2 4 2] s
a
ỨM_NOO› =-—
16
“*TRUGNG HOP 2 Xác định được hai mặt
phẳng (P,) (P;) qua đỉnh Š của khối đa diện
và vuông góc với mặt phảng đáy (P) Gọi A là
giao tuyến của (P,) và (P;) thì A chứa đường cao của khối đa điện đó
Trang 2Cho khói chóp S.ABCD câ đây
ABC D lă hmh vuông cạnh a Gia sự H lă trưng
điểm cạnh AB vă hai mat phang (SHC), (SHD)
cung VUÔNG goC với mặt phang đây Tính thể
tích khôi chóp nếu hình chấp có ba mặt bín lă
fam gidc Y HÔNG
Lời giải (h 3)
Vi (SHC) va (SHD)
cùng vuông gốc
với đấy (ABCD)
nín SH lă đường
cao của chóp Hai
tam giâc ŠSẦ vả
SBC 1an lượt vuông
tai A va B (theo
định lí ba đường
vuông góc) Tam giâc %7 D có % = S (vì HC
= HD) nín nó không thể vuông tại C hoặc Ð
Nếu A% D vuông tại S$ thi SC < CD =a Nhung
do ASBC vudng tai Bnĩn SC > BC = a Từ đó
ASCD không lă tam giâc vuông Từ giả thiết
suy ra AS48 phải lă tam giâc vuông Do SA = SB,
(vi HA = HB) nĩn AS4B vuông tại S, suy ra
SH= Ì 4B =5 Vay
1 ~~ ¬ câ ut
Ứ) xacp = 3 Ascp.Sl =—qˆ.—=—
3 2 6
¥ Bai4! Cho hink hộp 1BCD._1:B8:.C:D:
câ đây lă hình thoi cạnh bằng a vă
BAD = 60° Hai mặt châo (ẠCC:4:) vă
(BDD:B:) củng ruông góc với mặt phảng đây
Goi M,N lan leet lă trung điểm của CD, BC,
vă 3/V L BD, Tính thể tích của hình hộp
Lời giải (h +) Từ giă thiết ta có
a4
Suscp =a*sin60° = ——
Vi hai mat chĩo (4ACC}4)) va nib bs) cùng
vuông góc với đấy nín giao tuyến lă OO,
vuông góc vi mat phẳng đây
Do OO, song song va bang cạnh bín nín
hình hộp đê cho lă hình hộp đứng
vă băng OB, nĩn it tote
trong hình chữ _ ằ i? \
nhat BDD,B, cĩ gưÍU |
BD, 1B,O Theo woe paar G
một kết quả quen ⁄/@#~~“Ø ~x | ⁄ M
Hình 4
© BD =~\2BB, & BB, =? pp - a2
4*TRƯỜNG HỢP 1 Xĩt khối chóp S.4.4 4, (n > 3) Sử dụng rnối liín hệ giữa đường xiín,
hình chiếu vă góc nghiíng, ta có ba mệnh đí
sau tương đương:
1) Câc cạnh bín của hình chóp bằng nhau
2)Câc cạnh bín hình chốp nghiíng đều trín đây
3) Đây hình chóp nội tiếp được vă chđn đường cao của hình chóp trùng với tđm đường tròn ngoại tiếp day
#w Băi $| X: câc thói châp S.ABCD câ đây
ABCD lă hudi bứnh hănh với AB = a SA = SB
- =
lớn nhất vă tính g giâ trị lớn nhât đó
Lời giải (h 5)
Vì khối chóp
canh bĩn bang
nhau nĩn day phải nội tiếp
Suy ra ABCD 1a
hình chữ nhật
Gọi # =.4C¬BD
Khối chóp năo có thĩ tích
Dat BC = x(x>0) Hinh 3 thi Syscp = ax,
4a*-x?
SH * = SA? — AH+ = (DK x < 2a)
Trang 3
Vì x?+4a?—x? =4aˆ nên theo Hệ quả của
BDT Cauchy Vs; ;scp đạt giá trị lớn nhất khi
và chỉ khi x?=4z?-x! ©x=ø/2 Lúc đó
3
Max Vs asco ==
# Bài 6| Cho "he khói chóp Š ABC có co SA= 1,
SB =2, SC =3, ASB = 60°, ASC = 90°, BSC = 120°
Tính thể tích khối cháp đó
Lời giải (Bạn đọc tự vẽ hình) Để sử dụng
tính chất của hình chóp có các cạnh bên bằng
nhau, trên các cạnh SE, %' đạt SB, = SC; = SA
= 1 thi AB, =1, AC, = V2, B,C, =-V3 Suy ra
A AB,C, vueng tai A nén SH; 1 (AB:C)) với
H, là trung điểm cạnh 8,C, Từ đó
Mạtkhác “SG _ 34 38L 3Œ _ 1
Suy ra Vs_azc = 6s 43,0 = (dvtt)
“TRUONG HOP 4 Xét khoi chép S 4¡-4;
(m 2 3) Sử dụng cách xác định góc giữa m
mặt phẳng ta có 'ba mệnh đề sau tương đương:
1) Các mặt bên nghiêng đều trên đáy
2) Đường cao các mặt bên kẻ từ đỉnh ŠS xuống
các cạnh đáy bàng nhau
3) Chân đường cao # của hình chóp cách đều
các cạnh đáy Từ đó, nếu # nằm trong đa giác
-4⁄4; 4„ thì đáy có đường tròn nội tiếp và #7
là tam đường tròn đó
Cho khối chép S.ABCD có đáy
ABC D là hình thoi cạnh bằng a và B.1D = 6Œ
Các mặt phang (SAB), (SBD), (SAD) nghiéng
đều với đáy (ABCD) mét góc a Tinh thé tích
của khói chó p đó
Lời gidi Hình chóp S.ABCD có các mặt bên
nghiêng đều trên đáy và đường cao của nó
cũng là đường cao của chóp S.ABCD Có hai
trường hợp xảy ra:
1) Nếu chân
đường cao # kẻ
tr S xuéng mat
phang day (ABD)
nằm trong AABD
thi H là tâm đường tròn nội tiép AABD (h 6)
Theo gia thiét
a
Hình 6
AABD déu canh a niên # là târmn của nó Suy
ra HO= SOH =a, v6i O= AC ABD
3
= 51-2 ena Từ đó
S$ ABCD a 2 12 :
2) Nếu H nam ngoai lún thì nó phải là tâm
đường tròn bàng tiếp của tarn giác đều A80
Do ba đường tròn bàng tiếp của tam giác đều
có bán kính bàng nhau nên chỉ cần xét một
trường hợp ở là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh A
Dé thay C 1a tam
đường tròn bàng
tiếp phải tim
(h 7) va bán kính của nó là
Cova co-SŠ
_1243 a3
Cho khải chép S.ABCD có đáy là
kink thang can, day lon AB bang 4 lan day nho
CD chiếu cao của đáy bằng a Bồn đường cao
cua bén mat bén ung vei dinh Sco dé dai bang nhau tà bằng b Tpth thể tích c áa hình chép
5 Lời giải (h 8)
men? Gọi Ø là chân
đường cao của chóp_ thì H phải cách đều các cạnh
trường hợp này ra
TE chứng rminh được
H nam trong đáy
Sưu tầm và chỉnh lý từ Nguồn: Báo “Toán học & tuổi trẻ” PH Hoạt - 10-2012