Tài liệu xác suất thống kê

9 tiết= 4,5LT + 4,5BT Những năm gần đây lý thuyết xác suất và lý thuyết thống kê được ứng dụng một cách rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực: Kinh tế, Tài chính, Sinh học, Y học, Khí tượ

Trang 1

Khoa Kinh tế – QTKD

Bộ môn Kinh tế tổng hợp

Tài liệu XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Probability and Statistics)

(Dùng cho các lớp Đại học khối ngành Kinh tế)

Ths Dương Phú Điền

LƯU HÀNH NỘI BỘ

Trang 2

Xác suất thống kê Chương 0

Chương 0 HƯỚNG DẪN HỌC TẬP MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

A=(BT (Cá nhân hoặc Nhóm)+(Bài KT Giữa kỳ)*2)/Tổng hệ số

(Trong quá trình học có điểm cộng cho sinh viên phát biểu xây dựng bài và tham gia giải bài tập)

 Bài giảng Xác suất và Thống kê toán (Dùng cho các lớp Đại học khối ngành Kinh

tế) Dương Phú Điền ĐHAG tháng 02 năm 2014

4 Tài liệu tham khảo

 Bài tập Xác suất và Thống kê Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn, Phạm Trí

cố

Photo tài liệu môn học

Trang 3

1.3 Các phép toán trên biến

cố

1.5 Một số công thức tính xác suất quan trọng

Làm bài tập Tham khảo trước tài liệu

ở nhà

xác suất quan trọng (tt)

ở nhà

Chương 2

Biến ngẫu nhiên

(3 tiết) 2.1 Khái niệm về biến ngẫu

nhiên 2.2 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Tham khảo trước tài liệu

ở nhà

ngẫu nhiên

mẫu ngẫu nhiên, mẫu thống

kê 4.2 Các phương pháp lấy mẫu

4.3 Một số dạng mẫu đơn giản thường gặp

4.4 Đa giác tần suất và tổ chức đồ

4.5 Hàm phân phối mẫu

ở nhà

mẫu số liệu 4.7 Cách tính các đặc trưng của mẫu: trung bình mẫu, phương sai mẫu

4.8 Tính chất của tham số mẫu

4.9 Phân phối của các đặc trưng mẫu

ở nhà

Chương 5 Ước

lượng tham số

(3 tiết) 5.1 Khái niệm ước lượng

5.2 Ước lượng điểm 5.3 Ước lượng khoảng

ở nhà

Trang 4

ở nhà

Chương 6 (tt) (3 tiết) 6.3 So sánh hai trung bình

quan sát trên 2 mẫu

ở nhà

1 1 - 5 Chương 1. Các khái niệm cơ

bản của lý thuyết xác suất

Photo tài liệu môn học và đọc trước tài liệu

Tham khảo trước tài liệu ở nhà

4 16-20 Chương 3. Các phân phối xác

bản về thống kê toán

Làm bài tập Tham khảo trước tài liệu ở nhà Sinh viên chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ theo nội dung yêu cầu

28-30

Chương 4 (tt) Chương 5 Ước lượng tham số

Làm bài tập Tham khảo trước tài liệu ở nhà

Trang 5

Câu Thang

điểm

Câu hỏi con

a

Các công thức tính xác suất: Cộng, nhân, xác suất có điều kiện, xác suất đầy đủ, Bayes

a

b Chương V Ước lượng khoảng 2 phía cho 1 trung

bình, 1 tỷ lệ và các bài toán liên quan

Trang 6

Lý thuyết xác suất và Lý thuyết thống kê toán Phần I XÁC SUẤT (PROBABILITY)

Lý thuyết xác suất là ngành toán học nghiên cứu các mô hình toán học về các hiện tượng ngẫu nhiên

Nói một cách khác, lý thuyết xác suất là nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng “tưởng chừng” như không có quy luật

Lý thuyết xác suất ra đời vào khoảng nửa cuối thế kỷ XVII, bắt nguồn từ việc bàn

về một số bài toán và các phương pháp giải chúng liên quan đến trò chơi may rủi của một số nhà toán học trong đó có Blaise Pascal (1623 – 1662) và Pierre de Fermat (1601 – 1665) vào năm 1654

Chương 1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất (The Elements of

Probability Theory) (9 tiết = 6LT + 3BT) Chương 2 Biến ngẫu nhiên (Random Variables) (6 tiết= 3LT + 3BT) Chương 3 Các phân phối xác suất thông dụng (Commonly Used Distributions) (7,5 tiết=4,5LT + 3BT)

Phần II THỐNG KÊ (STATISTICS)

Lý thuyết thống kê là một ngành của toán học liên quan đến phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, xử lý, phân tích và rút trích thông tin từ dữ liệu quan sát, nhằm mục đích nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên, xã hội, kinh tế, kỹ thuật,…

Lý thuyết thống kê gồm hai lĩnh vực: Thống kê mô tả và Thống kê suy diễn (còn

gọi là thống kê qui nạp)

Công trình được coi là sớm nhất về lý thuyết thống kê toán là “Các quan sát tự nhiên và xã hội trên thống kê tử vong” của J Graunt công bố năm 1662

Chương 4 Các khái niệm cơ bản về thống kê toán (The Elements of Mathematical Statistics) (4,5 tiết=LT +BT) Chương 5 Ước lượng tham số (Estimating parameters) (9 tiết= 4,5LT +4,5BT) Chương 6 Kiểm định giả thiết thống kê (Testing Hypotheses) (9 tiết= 4,5LT + 4,5BT)

Những năm gần đây lý thuyết xác suất và lý thuyết thống kê được ứng dụng một cách rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực: Kinh tế, Tài chính, Sinh học, Y học, Khí tượng, Ngôn ngữ học, Xã hội học,…Vì vậy môn học này được coi là không thể thiếu ở các trường đại học và cao đẳng

Trang 7

MỤC LỤC

Chương 1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất (The Elements of

Probability Theory) .11

Chương 2 Biến ngẫu nhiên (Random Variables) .58

Chương 3 Các phân phối xác suất thông dụng (Commonly Used Distributions) 93

Chương 4 Các khái niệm cơ bản về thống kê toán (The Elements of Mathematical Statistics) 121

Chương 5 Ước lượng tham số (Estimating parameters) .145

Chương 6 Kiểm định giả thiết thống kê (Testing Hypotheses) 183

Phụ lục Bảng phân phối xác suất 231

Trang 8

Chương 1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất

1.1 Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu và biến cố

Phép thử (an experiment) có thể là một thí nghiệm nào đó hoặc một quan sát hiện

tượng nào đó

Phép thử ngẫu nhiên (a random experiment) là phép thử mà:

- Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau;

- Kết quả của nó không dự đoán trước được;

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó

 Hãy cho biết mỗi quan sát dưới đây có phải là một phép thử ngẫu nhiên không?

- Ném hòn đá xuống nước Xét xem hòn đá chìm hay nổi

- Tung một đồng xu cân đối và đồng chất Xét xem mặt nào của đồng xu xuất hiện: sấp hay ngửa

Mặt sấp – Mặt ngửa

- Hai vợ chồng cãi nhau Xét xem họ có ly dị nhau

Từ nay ta chỉ xét phép thử ngẫu nhiên nên để đơn giản, chúng được gọi tắt là phép thử

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu (sample space) của phép thử và được ký hiệu bởi chữ  Khi đó mỗi kết quả có thể (a possible outcome) của phép thử được gọi là một phần tử (an element) hoặc một điểm mẫu (a sample point) của không gian mẫu

Không gian mẫu  được gọi là rời rạc nếu nó là một tập hợp không hơn đếm được

(hữu hạn hoặc đếm được)

Ví dụ 1.1.1 Xét phép thử T “Gieo một đồng tiền xu”

Ký hiệu N để chỉ đồng xu lật ngửa (mặt có ghi giá trị đồng tiền) Ký hiệu S để chỉ đồng xu lật sấp Không gian mẫu của phép thử T là ={S;N}

 Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử T là “Gieo hai đồng xu phân biệt”, “Gieo ba đồng xu phân biệt”

Ví dụ 1.1.2 Một hộp có 3 bi trắng, 2 bi xanh Lấy ngẫu nhiên

từ hộp ra 2 bi xem màu

Cách 1: Lấy ngẫu nhiên 2 bi (lấy một lần, và lần đó lấy cả hai

bi)

Trang 9

Cách 2: Lấy không hoàn lại lần lượt 2 bi (lấy hai lần, mỗi lần lấy một bi Lần 1 lấy 1

bi ra xem màu rồi bỏ bi đó ra ngoài luôn, sau đó lấy tiếp một bi nữa lần 2)

Cách 3: Lấy có hoàn lại lần lượt 2 bi (lấy hai lần, mỗi lần lấy một bi Lần 1 lấy 1 bi

ra xem màu rồi bỏ bi đó trở lại hộp, sau đó lấy tiếp một bi nữa lần 2)

Hãy tính số phần tử của không gian mẫu ứng với từng cách lấy

Ví dụ 1.1.3 Xét phép thử T “Gieo một đồng xu” Nếu A={S} thì A là biến cố chỉ đồng xu

xuất hiện mặt sấp Tương tự, B={N} là biến cố chỉ đồng xu xuất hiện mặt ngửa

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho biến cố A

Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T Biến cố chắc chắn được

ký hiệu là 

Ví dụ 1.1.4 Xét phép thử “Gieo một con súc sắc” Biến cố chắc chắn chính là không gian

mẫu ={1;2;3;4;5;6}

Biến cố không thể (a null event) là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được thực

hiện Biến cố không thể được ký hiệu là 

Ví dụ 1.1.5 Xét phép thử “Gieo một con súc sắc” Biến cố không thể là tập rỗng 

1.2 Quan hệ giữa các biến cố

1.2.1 Biến cố thuận lợi (Biến cố kéo theo)

Biến cố A được gọi là biến cố thuận lợi cho biến cố B (kéo theo biến cố B) nếu A

xảy ra thì B chắc chắn xảy ra, ký hiệu

AB hoặc A  B

Ví dụ 1.2.1.1 Một sinh viên mua 1 vé số

Đặt A={Sinh viên đó trúng độc đắc}; B={Sinh viên đó trúng thưởng}

Nhận xét : Trúng độc đắc  trúng thưởng

Do đó : Nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra nên A  B

Trang 10

1.2.2 Biến cố tương đương (Biến cố bằng nhau)

Hai biến cố A và B gọi là tương đương với nhau khi và chỉ khi A kéo theo B và B

kéo theo A, ký hiệu : A = B

Đặt A={Tổng số nút xuất hiện trên 2 mặt súc sắc là một số chẵn}

B={Số nút xuất hiện trên 2 mặt súc sắc là cùng chẵn hoặc cùng lẻ}

Ta thấy A = B

1.3 Các phép toán trên biến cố

1.3.1 Biến cố hợp (Biến cố tổng) (Unions)

Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra, ký hiệu: AB hoặc A+B

Ví dụ 1.3.1.1 Hai sinh viên A và B dự thi môn Xác suất thống kê

Đặt A={Sinh viên A thi đậu}; B={Sinh viên B thi đậu}; C={Có ít nhất 1 sinh viên thi đậu}

Thế thì : C = A + B

Tổng quát : C =

n n

Nhóm n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n được gọi là một nhóm biến cố đầy đủ nếu tổng của

n biến cố tương đương với biến cố chắc chắn

A 1  A 2 … A n = 

1.3.2 Biến cố giao (Biến cố tích) (Intersections)

Tích của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B

xảy ra, ký hiệu AB (hoặc A.B)

Trang 11

D xảy ra khi và chỉ khi tất cả các Ai cùng xảy ra, i = 1,n

1.3.4 Biến cố xung khắc (Disjoint events hoặc mutually exclusive events)

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu A và B không thể cùng xảy

ra

Nói cách khác: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB =

Ví dụ 1.3.4.1 Một hộp phấn có 10 viên trắng, 5 viên đỏ, 3 viên xanh Lấy ngẫu

nhiên 1 viên phấn từ hộp ra xem màu

Đặt T={Chọn được viên phấn trắng};

Đ={Chọn được viên phấn đỏ}

Thế thì T và Đ là 2 biến cố không thể đồng thời xảy ra

Suy ra TĐ = 

Vậy T và Đ là 2 biến cố xung khắc

Nhóm biến cố xung khắc từng đôi

Nhóm (họ) n biến cố A 1 , A 2 , … , A n được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai

biến cố bất kỳ trong nhóm xung khắc với nhau từng đôi một (nghĩa là A i A j =, ij)

Ví dụ 1.3.4.2 Với giả thiết của ví dụ trên, đặt

T ={Chọn được viên phấn trắng};

Đ ={Chọn được viên phấn đỏ};

X={Chọn được viên phấn xanh}

Ta thấy 2 trong 3 biến cố T, Đ và X không thể đồng thời xảy ra

Suy ra T, Đ và X là nhóm 3 biến cố xung khắc từng đôi

1.3.5 Biến cố đối lập (Complements)

Cho biến cố A của phép thử T có không gian mẫu  Biến cố chứa tất cả các kết quả có thể của không gian mẫu 

nhưng không có trong biến cố A được gọi là biến cố đối lập của

biến cố A , ký hiệu A, tức là: A= \A

 Nhận xét sau đúng hay sai?

Trang 12

A và A đối lập

A A AA

   





 Tìm mối liên hệ giữa biến cố đối lập và biến cố xung khắc

 Dùng biểu đồ Venn để miêu tả các biến cố

Tính chất của biến cố

a) Tính giao hoán: A+B=B+A; AB= BA

b) Tính kết hợp:

A + (B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C = ABC

= 1, 5 Hãy biểu diễn qua A các biến cố sau: k

Trang 13

c) Có ít nhất một sản phẩm tốt khi : sản phẩm thứ 1 tốt hoặc sản phẩm thứ 2 tốt hoặc

- Sản phẩm thứ 1 tốt 4 sản phẩm còn lại xấu, hoặc :

- Sản phẩm thứ 2 tốt 4 sản phẩm còn lại xấu, hoặc : hoặc:

- Sản phẩm thứ 5 tốt 4 sản phẩm còn lại xấu

E A A A A A1 .2 3 4 5+A A A A A +1 2 3 4 5 A A A A A +1 .2 3 4 5 A A A A A + 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

A A A A A

Ví dụ 1.3.5.2 Có hai sinh viên đi thi

Gọi A ={Sinh viên thứ k thi đậu}, k k 1, 2 Hãy biểu diễn các biến cố sau qua biến cố A : k

a) Cả hai sinh viên đều thi đậu

b) Không có sinh viên nào thi đậu

c) Có ít nhất một sinh viên thi đậu

d) Chỉ có sinh viên thứ 1 thi đậu

e) Sinh viên thứ 1 thi đậu

f) Chỉ có một sinh viên thi đậu

Trang 14

h) Có sinh viên thi đậu

 Giải bài tập sau:

Có ba sinh viên đi thi

Gọi A ={biến cố sinh viên thứ k thi đậu}, k k 1, 3 Hãy biểu diễn các biến cố sau qua A : k

a) Cả ba sinh viên đều thi đậu

b) Không có sinh viên nào thi đậu

c) Có hai sinh viên thi đậu

d) Có một sinh viên thi đậu

e) Có ít nhất một sinh viên thi đậu

f) Có nhiều nhất một sinh viên thi đậu

g) Có nhiều nhất một sinh viên thi rớt

h) Có nhiều nhất hai sinh viên thi rớt

i) Chỉ có sinh viên 1 thi đậu

j) Chỉ có sinh viên 1 thi rớt

k) Sinh viên 1 thi đậu

Ví dụ 1.3.5.3 Một hộp có 3 bi trắng, 2 bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 bi từ

hộp Gọi T : biến cố lấy được bi trắng ở lần lấy thứ i, i i 1, 2 Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các T : i

a) Lấy được 0 bi trắng

b) Lấy được 1 bi trắng

Trang 15

c) Lấy được 2 bi trắng

d) Lấy được ít nhất 1 bi trắng

e) Lấy được 2 bi cùng màu

f) Lấy được nhiều nhất 1 bi trắng

1.4 Xác suất của biến cố

Xác suất của biến cố A, được ký hiệu là ( )P A (P viết tắt từ chữ Probability) là

một số thực đặc trưng cho khả năng xảy ra của biến cố đĩ khi thực hiện phép thử

1.4.1 Định nghĩa xác suất theo cổ điển

Xét một phép thử T cĩ khơng gian mẫu  là một tập hữu hạn và các kết quả

xác định bởi cơng thức:

      Số kết quả thuận lợi cho A

Số phần tử của không gian mẫu

Ví dụ 1.4.1.1 Trong một thùng cĩ 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống hệt

nhau về kích thước Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đĩ Tính xác suất để được : a) 2 quả trắng

Trang 16

b) 1 quả trắng và 1 quả đen

2 3 2 8

3( )

b) Gọi B là biến cố xuất hiện 1 quả trắng và 1 quả đen

Số kết quả thuận lợi cho B là   1 1

15( )

Ví dụ 1.4.1.2 Một số điện thoại ở Thành phố gồm 6 chữ số Giả sử ta chọn số

điện thoại một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để chọn được một số điện thoại có 6 chữ số thỏa:

a) Chữ số 5 đầu tiên và 6 chữ số khác nhau?

c) Số kết quả thuận lợi cho C là : 1.5 A (số đầu tiên có một khả năng, số cuối cùng 94

có 5 khả năng, 4 số còn lại khác nhau và khác số cuối cùng)

Trang 17

1.4.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê

Xét 1 phép thử T và 1 biến cố A nào đó Làm đi làm lại một phép thử n lần, gọi

m là số lần biến cố A xuất hiện trong n phép thử Tỷ số n m

f n

 được gọi là tần suất của biến cố A

Xác suất của biến cố A là giá trị ổn định của tần suất khi số lượng phép thử

tăng lên vô hạn

Ví dụ 1.4.2.1 Kết quả khi tung 1 đồng xu:

Người thí nghiệm Số lần tung Số lần sấp Tần suất

Ví dụ 1.4.2.2 Vấn đề tính xác suất sinh con trai hay gái, từ lâu đã được các nhà

sinh lý học, nhân chủng học nghiên cứu

Người cổ Trung Hoa từ năm 2228 trước Công nguyên đã qua thống kê kinh nghiệm đưa ra tỷ số sinh con gái là 0.5

Laplace nghiên cứu sinh đẻ ở Luân đôn, Petecbua và Beclin trong 10 năm và đưa ra tỷ số sinh cháu gái là 21/43

Đacnon nghiên cứu sinh đẻ ở Pháp và cho các số liệu sau :

Trang 18

Ngoài các định nghĩa trên, người ta còn định nghĩa xác suất theo hình học và

xét của giáo trình này

1.5 Một số công thức tính xác suất quan trọng

1.5.1 Công thức tính xác suất lựa chọn

Ví dụ 1.5.1.1 Một hộp có 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 bi

Tính xác suất để trong 3 bi chọn ra có đúng 2 bi đỏ

Giải

Số phần tử của không gian mẫu là C 103

Để chọn ra 3 bi, trong đó có đúng 2 bi đỏ ta tiến hành 2 bước:

C

 Nêu nhận xét bài toán khi số bi đỏ thay đổi từ 0 đến 3

Bài toán tổng quát

Xét một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có N sản phẩm loại A, còn lại là A

A

NN sản phẩm loại không có tính chất A Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm

0 n N Với mỗi số nguyên k thỏa 0 k N A, 0   n k N N A, hãy tính

xác suất để trong n sản phẩm chọn ra có đúng k sản phẩm loại A

Giải

Số phần tử của không gian mẫu là C N n

Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A ta tiến hành 2 bước:

A

k N

Trang 19

 Hãy viết công thức mở rộng cho trường hợp 3 biến cố bất kỳ

Ví dụ 1.5.2.1 Trong số 300 sinh viên năm thứ I có 100 sinh viên biết tiếng Anh, 80 sinh

viên biết tiếng Pháp, 30 sinh viên biết cả 2 ngoại ngữ Anh – Pháp Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên năm I Tính xác suất để sinh viên này biết ít nhất 1 ngoại ngữ

Giải

Đặt A={Sinh viên biết tiếng Anh}

P(AB)=P(I)+P(II)+P(III) P(A)=P(I)+P(II)

P(B)=P(II)+P(III)

P(AB)=P(A)+P(B) – P(II) P(AB)=P(A)+P(B) – P(AB)

Trang 20

N ={Sinh viên biết ít nhất 1 ngoại ngữ}

Ví dụ 1.5.2.2 Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ 1 đến 9 Rút ngẫu nhiên hai thẻ

rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn

Khi đó biến cố {Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn} là AB

Do hai biến cố A và B xung khắc, nên P A B P A P B 

 Hãy chứng minh công thức trên

Công thức trên cho phép chuyển việc tính xác suất P A qua việc tính xác suất  

Trang 21

Ta có :   r

N M r N

1.5.3 Công thức xác suất có điều kiện

Trên đây khi nói đến biến cố A và xét xác suất P A ta chỉ chú ý đến điều kiện của  

phép thử T Trong thực tế nhiều khi ngoài điều kiện cố định ban đầu, người ta còn cho thêm điều kiện phụ, điều kiện này có thể ảnh hưởng đến khả năng xuất hiện của biến cố A hay nói cách khác có thể ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố A

Ví dụ 1.5.3.1 Có 5 sinh viên A, B, C, D, E được cấp 3 suất học bổng, bằng cách

bốc thăm Biết rằng khả năng được học bổng của mỗi sinh viên đều như nhau

i) Tính xác suất để sinh viên A được cấp học bổng

ii) Nếu cho biết thêm điều kiện trước đó sinh viên B đã được cấp 1 suất học bổng thì xác suất để sinh viên A được cấp học bổng là bao nhiêu?

Cho hai biến cố A và B với P B  Xác suất của biến cố A được tính với   0

điều kiện biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất có điều kiện của A đối với B, ký

hiệu là P A B , được tính bởi công thức:  

Trang 22

 Hãy minh hoạ công thức xác suất có điều kiện bằng hình học

Không gian mẫu “mới” là B

Biến cố A “mới” là biến cố “cũ” AB

Ví dụ 1.5.3.2 Giả sử một lớp chia làm 3 nhóm thực tập Nhóm I có 30 sinh viên

trong đó có 10 nữ Nhóm II có 25 sinh viên trong đó có 9 nữ Nhóm III có 25 sinh viên trong đó có 8 nữ Chọn ngẫu nhiên trong lớp ra 1 sinh viên Tính xác suất:

i) Sinh viên được chọn ra là nữ

ii) Sinh viên được chọn ra thuộc nhóm II và là nữ

Giải

Gọi A = {Sinh viên được chọn ra là nữ}

B ={Sinh viên được chọn ra thuộc nhóm II}

Trang 23

1.5.4 Công thức nhân xác suất

1.5.4.1 Biến cố độc lập (Independent events)

Ví dụ 1.5.4.1.1 Tung một con súc sắc cân đối và đồng chất Xét các biến cố sau:

Điều đó có nghĩa là xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể

suất để biến cố A xảy ra là 1

2 không phụ thuộc vào việc biến cố B có xảy ra hay không

Ta nói biến cố A độc lập với biến cố B theo định nghĩa sau:

Trang 24

 A độc lập với B P AB P A P B   

 A độc lập với B B độc lập với A

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu và chỉ nếu một trong các

điều kiện sau được thỏa:

P A B / P A 

P B A / P B 

P AB P A P B   

Trong đó A và B có thể được thay thế lần lượt hoặc cả hai bởi ,A B

Nếu hai biến cố A và B không độc lập với nhau thì chúng được gọi là phụ thuộc Định nghĩa

Các biến cố A A1, 2, ,A , được gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp biến cố n

trong chúng là độc lập

Định nghĩa

Các biến cố A A1, 2, ,A được gọi độc lập toàn thể nếu mỗi biến cố trong chúng n

độc lập với tích của một số bất kỳ các biến cố còn lại

Ví dụ 1.5.4.1.2 Rút ngẫu nhiên 1 quả bóng từ một bình đựng 4 quả bóng được

đánh số 1, 2, 3, 4 Xét sự độc lập của các biến cố sau: E={1;2}, F={1;3}, G={1;4}

Vậy các biến cố E, F, G độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn thể

Ví dụ 1.5.4.1.3 Xét phép thử T “Gieo một đồng xu liên tiếp hai lần” Gọi A={Lần

gieo thứ nhất đồng xu xuất hiện mặt sấp}, B ={Lần gieo thứ hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa} Khi đó A và B là hai biến cố độc lập với nhau

Trang 25

 Hãy kiểm tra kết quả

Ví dụ 1.5.4.1.4 Có hai hộp: Hộp I đựng 5 bi đỏ và 5 bi trắng Hộp II đựng 6 bi đỏ

và 4 bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi

Gọi A ={bi lấy ra từ hộp I có màu đỏ}; B ={bi lấy ra từ hộp II có màu trắng} Khi

đó A và B là hai biến cố độc lập

 Hãy kiểm tra kết quả

1.5.4.2 Công thức nhân xác suất

 Hãy viết công thức mở rộng cho trường hợp 3 biến cố bất kỳ

Ví dụ 1.5.4.2.1 Một sản phẩm phải qua hai khâu gia công độc lập Xác suất để sản

phẩm tốt ở mỗi khâu tương ứng là 98% và 99% Tính xác suất để sản phẩm tốt khi xuất xưởng

Giải

Đặt A ={sản phẩm tốt ở khâu i}, i=1,2 và A ={sản phẩm tốt khi xuất xưởng} i

Ta có AA A1 2

Do đó P A P A A 1 2P A P A   1 2 0, 99.0, 98 97, 02%

Ví dụ 1.5.4.2.2 Một người thỏa thuận với vợ sắp cưới như sau: Anh ta chỉ cần có

con trai, và nếu vợ anh sinh cho anh được một đứa con trai thì lập tức dừng lại liền, không sinh nữa Giả sử một người phụ nữ có thể sinh tối đa n lần, và xác suất sinh con

trai ở mỗi lần sinh là ½ (khả năng sinh con trai ở các lần sinh không ảnh hưởng đến nhau) Hỏi:

Trang 26

1 Khả năng anh này có con trai là bao nhiêu?

2 Vợ anh phải sinh ít nhất bao nhiêu lần để khả năng anh có con trai từ 99% trở lên

Giải

1 Gọi T = {Anh ta được con trai ở lần sinh thứ i} i

G = {Anh ta được con gái ở lần sinh thứ i} i

T = {Anh ta được con trai}

Ví dụ 1.5.4.2.3 Một người có 3 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung một lồng

Một người đến mua, người bán gà bắt ngẫu nhiên ra một con Người mua chấp nhận mua con đó

a) Tìm xác suất để người đó mua được con gà mái

b) Người thứ hai đến mua, người bán gà lại bắt ngẫu nhiên ra một con

b1) Tìm xác suất người thứ hai mua được gà trống

b2) Xác suất này sẽ bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho người thứ nhất là gà trống hay mái?

Giải

Gọi B = Người thứ i mua được gà mái, i = 1,2 i

Trang 27

a) Ta có :  1

3

0, 65

Ví dụ 1.5.4.2.4 Để dập tắt nạn sâu bệnh hại lúa, đội bảo vệ thực vật của hợp tác xã

đã tiến hành phun thuốc 3 lần liên tiếp trong một tuần Xác suất sâu bị chết sau lần phun thuốc thứ I là 0.5 Nếu sâu sống sót thì khả năng bị chết sau lần phun thứ II là 0.7 Tương

tự sau lần phun thứ III là 0.9 Tìm xác suất sâu bị chết sau đợt phun thuốc

Giải

Gọi A={Sâu bị chết sau đợt phun thuốc}

Ai ={Sâu bị chết sau lần phun thứ i},i = 1,2,3

A1, A2, A3 không độc lập

Ta có: AA1 A A1 2 A A A1 2 3

Áp dụng công thức cộng và nhân ta tính được P(A)

Hoặc ta làm cách sau: A A A A1 2 3={Sâu sống sót sau đợt phun thuốc}

Trang 28

Ví dụ 1.5.4.2.5 Từ một hộp chứa 8 viên bi đỏ và 5 viên bi trắng người ta lấy ngẫu nhiên 2 lần, mỗi lần 1 viên bi, không hoàn lại Tính xác suất để lấy được:

P(B) = P(T1D2 + D1T2) = P(T1D2) + P(D1T2)

= P(T1).P(D2/T1) + P(D1).P(T2/D1)

13 12  13 12  39(c) Do T2 = T1T2 + D1T2, nên xác suất phải tính là:

Tương tự cho các câu sau Bạn đọc tự giải

Ví dụ 1.5.4.2.7 (Trích Đề thi Kết thúc học phần Khoá 13) Một cửa hàng sách ước

lượng rằng: Trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng, có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách thực hiện cả hai điều trên Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách

a) Tính xác suất để người đó không thực hiện cả hai điều trên;

b) Giả sử gặp người khách đó hỏi nhân viên bán hàng, tính xác suất người đó không mua sách

Giải

Trang 29

Đặt A: “khách hàng đó cần tư vấn”;

B: “khách hàng đó mua sách”

Theo đề ta có: P A  0, 3;P B  0, 2;P AB  0,15

* Cách 1:

a) Xác suất khách hàng không cần mua sách cũng không cần tư vấn:

Gọi H: “khách hàng không cần mua sách cũng không cần tư vấn”

H : “khách hàng mua sách hoặc cần tư vấn”

1.5.5.1 Nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi (Mutually Exclusive Events)

Nhóm n biến cố A 1 , A 2 , … , A n được gọi là một nhóm biến cố đầy đủ và xung

khắc từng đôi nếu chúng thỏa mãn hai điều kiện sau:

1/ Xung khắc với nhau từng đôi một:

A i A j =, i  j 2/ Tổng của n biến cố tương đương với biến cố chắc chắn :

A 1  A 2 …A n =

Có tài liệu còn gọi một Nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi là một Phân

hoạch không gian mẫu

Ví dụ 1.5.5.1.1 Nhóm ,A A là một nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi với

n = 2

Trang 30

1.5.5.2 Công thức xác suất đầy đủ (Công thức xác suất toàn phần)

Bài toán

Giả sử A A1, , ,2 A là một nhóm đầy đủ các biến cố và xung khắc từng đôi và F n

là một biến cố nào đó xảy ra đồng thời với một trong các biến cố A A1, , ,2 A n

Cho biết các xác suất P A  và  i 0

i

F P A

F

P A P

A i

Các xác suất P(Ai) và P(F/Ai) thường được biết trước khi thực hiện phép thử và

được gọi là các xác suất tiên nghiệm (tiền nghiệm) (prior probabilities), còn các xác

suất P A F , cho biết khả năng tham gia của Ai vào việc xảy ra biến cố F, được gọi là ( / )i

xác suất hậu nghiệm (posterior probabilities)

 Hãy minh hoạ công thức xác suất đầy đủ bằng hình học

Trang 31

Ví dụ 1.5.5.2.1 Một lô hạt giống được phân làm 3 loại Loại I chiếm 2

3 số hạt của

lô Loại II chiếm ¼, còn lại là loại III Loại I có tỷ lệ nảy mầm 80% , loại II có tỷ lệ nảy mầm 60% và loại III có tỷ lệ nảy mầm 40% Hỏi tỷ lệ nảy mầm chung của lô hạt giống là bao nhiêu? (Nói cách khác: Ta lấy ngẫu nhiên từ lô ra 1 hạt Tìm xác suất để được hạt nảy mầm)

Giải

Gọi A ={hạt giống lấy ra thuộc loại i}; i i 1, 3

F={hạt giống lấy ra thuộc loại hạt nảy mầm}

Ta thấy A A A lập thành 1 nhóm đầy đủ các biến cố và xung khắc từng đôi; F 1, ,2 3xảy ra thì hạt đó phải thuộc 1 trong 3 loại, tức là 1 trong 3 biến cố A phải xảy ra i

Giải

Theo công thức nhân xác suất ta có :

Trang 32

Công thức trên được gọi là công thức Bayes Chúng được dùng để tính xác suất

hậu nghiệm từ các xác suất tiên nghiệm

Ví dụ 1.5.6.1 Trong một trạm cấp cứu phỏng có 80% bệnh nhân phỏng do nóng

và 20% phỏng do hóa chất Loại phỏng do nóng có 30% bị biến chứng Loại phỏng do hóa chất có 50% bị biến chứng

a) Tính xác suất khi bác sĩ mở tập hồ sơ của bệnh nhân gặp 1 bệnh án của bệnh nhân

Ví dụ 1.5.6.2 Xí nghiệp bút bi Thiên Bảo có 3 phân xưởng sản xuất I, II và III

Các phân xưởng này lần lượt sản xuất 50% , 30% và 20% sản phẩm toàn xí nghiệp Tỷ lệ

Trang 33

phế phẩm của các phân xưởng này lần lượt là 1%, 2% và 3% Một sinh viên chọn ngẫu nhiên một cây bút bi Thiên Bảo và mua cây bút đó mà không kiểm tra chất lượng bút

a) Tính xác suất của biến cố: sinh viên đó mua phải cây bút xấu (phế phẩm)

b) Nếu biến cố ở câu a) xảy ra thì theo bạn khả năng cây bút đó do phân xưởng nào sản xuất là thấp nhất?

Giải

Gọi A ={cây bút được chọn thuộc phân xưởng thứ i sản xuất}; i i 1, 3

F={cây bút được chọn là cây bút xấu (phế phẩm)}

Ta thấy A A A lập thành 1 nhóm đầy đủ các biến cố và xung khắc từng đôi; F 1, ,2 3xảy ra thì cây bút đó phải do 1 trong 3 phân xưởng sản xuất, tức là 1 trong 3 biến cố A i

phải xảy ra

Vậy khả năng cây bút đó do phân xưởng I sản xuất là thấp nhất

Ví dụ 1.5.6.3 Có 2 bình loại I, 2 bình loại II, 1 bình loại III Bình loại I có : 2 bi

trắng, 3 bi đen Bình loại II có : 1 bi trắng, 4 bi đen Bình loại III có : 4 bi trắng, 1 bi đen Chọn ngẫu nhiên 1 bình, từ bình đó lấy ra 1 bi Biết rằng đã chọn được bi trắng Tính xác suất bi đó thuộc bình loại III

Trang 34

Ví dụ 1.5.6.4 Có 2 lô hàng: lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, lô

hàng II có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô I bỏ vào

lô II, rồi lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô II bỏ ra ngoài Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần hai là sản phẩm xấu

Giải

Gọi A ={sản phẩm lấy ra lần thứ i là sản phẩm xấu}; i i 1, 2

A A là một nhóm đầy đủ các biến cố và xung khắc từng đôi 1, 1

Ví dụ 1.5.6.5 Có 3 lô hàng giống nhau, mỗi lô có 5 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm

loại B Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô I bỏ sang lô II, rồi lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ

lô II bỏ sang lô III, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô III bỏ ra ngoài Tính xác suất

để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại A

Giải

Gọi T ={sản phẩm lấy ra từ lô thứ i là sản phẩm loại A}; i i 1, 3

Trang 35

T T là một nhóm đầy đủ các biến cố và xung khắc từng đôi 1, 1

1.5.7 Công thức xác suất Nhị thức

1.5.7.1 Dãy phép thử Bernoulli (Lược đồ Bernoulli)

Tiến hành n phép thử độc lập (tức là các kết quả của phép thử này không ảnh hưởng gì đến kết quả của phép thử kia) được gọi là n phép thử Bernoulli (hoặc 1 lược đồ Bernoulli) nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau :

i) Mỗi phép thử có 2 kết quả : A, A

ii) P A  : như nhau đối với mọi phép thử p

Ví dụ 1.5.7.1.1

- Gieo 1 đồng xu 10 lần, A={ xuất hiện mặt sấp} Đó là 10 phép thử Bernoulli

- Gieo 1 con súc sắc 100 lần , A = { xuất hiện mặt lục} Đó là 100 phép thử Bernoulli

- Một người bắn 5 viên đạn, bắn từng viên 1 vào 1 mục tiêu Đó là 5 phép thử Bernoulli (Nhưng nếu 5 người bắn, mỗi người bắn 1 viên thì nói chung đó lại không phải là 5 phép thử Bernoulli)

1.5.7.2 Công thức Bernoulli (Tần số xuất hiện biến cố A)

Bài toán tổng quát

Tìm xác suất sao cho trong dãy n phép thử Bernoulli biến cố A xuất hiện đúng k lần Ký hiệu xác suất này là P k p n ,

Giải

Ta có các kết quả có thể của n phép thử Bernoulli sẽ là 1 dãy gồm n chữ A và A (ở phép thử thứ i A xuất hiện ta ghi A, A xuất hiện ta ghi A) như sau:

Trang 36

chữ

n AAA AA

Để cho trong n phép thử này biến cố A xuất hiện đúng k lần thì trong dãy cĩ k chữ A, (n - k) chữ A

Đặt q   , với mỗi 01 p   , ta cĩ cơng thức sau được gọi là Cơng thức k n

Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xuất hiện đúng k lần là:

Từ kết quả của bài tốn ta suy ra:

1 Xác suất để trong n phép thử, biến cố A luơn luơn xảy ra là p n

2 Xác suất để trong n phép thử, biến cố A khơng xảy ra lần nào là q n

Ví dụ 1.5.7.2.1 Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%

Cho máy sản xuất 5 sản phẩm Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được:

Trang 37

312548 0, 6 0, 4

625144 0, 6 0, 4

625216 0, 6 0, 4

625162 0, 6 0, 4

Trong 6 con số trên sẽ tồn tại số lớn nhất Số k tương ứng với xác suất lớn nhất

sẽ là số hay xảy ra nhất Trong trường hợp trên k  2;3 , tức là trong 5 lần tung đồng tiền xu mặt sấp có thể xuất hiện: 0 lần, 1 lần, … , 5 lần, nhưng xuất hiện 2 và 3 lần là có khả năng nhất

Số k mà ứng với nó 0 P k p lớn nhất, được gọi là số có khả năng nhất n 0,

Ví dụ 1.5.7.3 Tỷ lệ mắc bệnh viêm gan B ở một vùng nào đó là 10% Trong đợt

khám tuyển nghĩa vụ quân sự người ta đã khám cho 100 người Tìm xác suất :

a) Trong 100 người có 6 người bị bệnh viêm gan B

Trang 38

b) Trong 100 người có 95 người không bị bệnh viêm gan B

c) Trong 100 người có ít nhất 1 người bị bệnh viêm gan B

d) Tìm số người bị bệnh viêm gan B có khả năng nhất – Tính xác suất tương ứng

Số người bị bệnh viêm gan B có khả năng nhất khi khám 100 người là 10 người

100 10; 0,1 100.0,1 0, 9

1.5.7.4 Kích thước mẫu trong phép thử Bernoulli

Trong công thức Bernoulli:  , k .k n k

Nếu cho trước xác suất P k p và số lần xuất hiện k thì ta có thể xác định n ,được số phép thử n nhỏ nhất cần thực hiện

Ví dụ 1.5.7.4 Một lô hạt giống tỷ lệ hạt lép là 5% Cần phải lấy 1 mẫu cỡ bao

nhiêu sao cho xác suất để bị ít nhất 1 hạt lép không bé hơn 0,95

1.5.8 Nguyên lý biến cố hiếm

Một biến cố A có xác suất P A nhỏ thì khi thực hiện một phép thử ta xem như  

nó không xảy ra Ta gọi A là biến cố hiếm

Tùy theo mỗi lĩnh vực ứng dụng, người ta qui định một mức  khác nhau Nếu

xác suất dưới mức  này thì nó được coi là rất bé Trong xác suất, thường người ta xem

mức  có thể là 5%, 1% Nếu chỉ thực hiện một phép thử đã thấy một biến cố A xảy ra thì xác suất của biến cố A phải lớn hơn 

Trang 39

Nguyên lý biến cố hiếm được dùng làm cơ sở lôgic cho nhiều phán đoán thống kê

mà chúng ta sẽ gặp ở phần thứ hai của giáo trình

Ví dụ 1.5.8.1 Một lớp có mặt 50 học sinh Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 2 học sinh lên

bảng, thấy cả hai đều không thuộc bài Hãy dự đoán xem, hôm nay, lớp có bao nhiêu học sinh không thuộc bài?

Giải

Giả sử trong lớp có x học sinh không thuộc bài, xác suất để hai học sinh, được gọi

ngẫu nhiên, đều không thuộc bài là:

CC

cố sau:

(a) cả A, B và C đều xảy ra;

(b) ít nhất một trong các biến cố A, B hoặc C xảy ra;

(c) chỉ có A xảy ra;

(d) chỉ có một trong ba biến cố A, B hoặc C xảy ra

1.2 Kiểm tra lần lượt 4 sản phẩm Mỗi sản phẩm thuộc một trong hai loại: Chính

phẩm hoặc phế phẩm Đặt Ak : “Sản phẩm được kiểm tra lần thứ k là phế phẩm” (k  {1, 2, 3, 4}) Hãy biểu diễn các biến cố sau đây qua các Ak:

(a) cả 4 sản phẩm đều là phế phẩm,

(b) cả 4 sản phẩm đều là chính phẩm;

(c) có ít nhất một sản phẩm là phế phẩm;

(d) chỉ có một chính phẩm

1.3 Có 3 bình Mỗi bình chứa một số viên bi xanh và viên bi đỏ Từ mỗi bình lấy

ngẫu nhiên ra một viên bi Đặt Xi : “lấy được viên bi xanh từ bình thứ i”, (i  {1,2,3}) Hãy biểu diễn các biến cố sau đây qua các Xi:

(a) Lấy được 3 bi cùng màu;

(b) Lấy được 2 bi xanh;

(c) Lấy được ít nhất một bi đỏ

Trang 40

1.4 Cho A và B là hai biến cố trong cùng một không gian xác suất, với

5( )

(c) P({cả A và B đều không xảy ra});

(d) P({A và B không xảy ra đồng thời});

(e) P({chỉ có A xảy ra});

(f) P({chỉ có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra})

1.5 Một hệ thống bơm trong sản xuất nông nghiệp sẽ ngừng hoạt động khi máy

bơm bị hỏng hoặc các chỗ nối bị rò rỉ Có hai hệ thống bơm A và B được chào hàng với các thông số kỹ thuật được cho trong bảng sau:

Hệ thống Xác suất hỏng bơm Xác suất rò rỉ Xác suất hỏng bơm và rò rỉ

A

B

0,07 0,09

0,10 0,12

0,00 0,06 Theo ý bạn, nên chọn hệ thống nào để việc sản xuất ít bị gián đoạn hơn? Nếu lắp đặt cả hai hệ thống A và B và chúng hoạt động độc lập, thì xác suất để cả hai cùng ngưng hoạt động là bao nhiêu?

1.6 Cho A và B là hai biến cố trong cùng một không gian xác suất, với

P(A) = 1

3, P(B) = 14 và P(A  B) = 12 Tính xác suất để

(a) A xảy ra, biết rằng B đã xảy ra;

(b) B xảy ra, biết rằng A đã xảy ra;

(c) cả A và B đều không xảy ra;

(d) chỉ có A xảy ra;

(e) A xảy ra, biết rằng B không xảy ra;

(f) B không xảy ra, biết rằng A không xảy ra

1.7 Một công ty cần tuyển 4 nhân viên Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ nạp đơn

xin dự tuyển, và mỗi người đều có cơ hội được tuyển như nhau Tính xác suất để trong 4 người được tuyển,

(a) có duy nhất một nam;

(b) có ít nhất một nữ;

(c) có không quá hai nam;

(d) có ba nữ, biết rằng có ít nhất một nữ đã được tuyển

1.8 Một cửa hàng sách ước lượng rằng: Trong tổng số các khách hàng đến cửa

hàng, có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách

Tiêu đề	Tài liệu xác suất thống kê
Tác giả	Ths. Dương Phú Điền, Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn, Phạm Trí Cao, TS. Trần Thái Ninh
Trường học	Trường Đại học An Giang
Chuyên ngành	Kinh tế tổng hợp
Thể loại	Tài liệu
Năm xuất bản	2014
Thành phố	Long Xuyên

Định dạng
Số trang	232
Dung lượng	2,76 MB