Microsoft Word Chuong 4 Toan cao cap C2 doc 1 CHƯƠNG 4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 1 Mô hình cân bằng tuyến tính 1 1 Bài toán Xét mô hình kinh tế thị trường với n loại hàng hóa với các đơn giá lần l.
Trang 1CHƯƠNG 4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
1 Mô hình cân bằng tuyến tính
1.1 Bài toán Xét mô hình kinh tế thị trường với n loại hàng hóa
với các đơn giá lần lượt là P P1, 2, ,P có các hàm cung và hàm cầu là n
1 1 2 2
1 1 2 2
i
i
Nhận xét rằng các hệ số a ij, ,a b i ij, b thỏa các điều kiện sau: i
a ii và 0 a ij với mọi 1 i0 (vì j n
i
S
Q là hàm tăng theo
i
P , không tăng theo P j với mọi i ) j
b ii và 0 b ij với mọi 0 1 i j n (vì
i
D
Q là hàm giảm theo
i
P , không giảm theo P j với mọi i ) j
Hãy xác định đơn giá P P1, 2, ,P tại điểm cân bằng thị trường n
1.2 Lời giải Tại điểm cân bằng thị trường ta có:
Q Q với mọi 1 i n
Do đó ta có hệ phương trình tuyến tính sau:
Trang 211 11 1 12 12 2 1 1 1 1
(1)
i
P Q ta tìm được các đơn i n
giá tại điểm cân bằng thị trường
1.3 Ví dụ Thị trường có 3 loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu
lần lượt là:
1 2 3
1 2 3
S
S
S
và
1 2 3
1 2
1 2 3
2 3
D D D
Tìm các đơn giá tại điểm cân bằng thị trường
Giải Tại điểm cân bằng thị trường ta có:
Q Q với mọi 1 i 3
Do đó ta có hệ phương trình tuyến tính sau:
Trang 31 2 3 1 2 1 2 3
i
được:
P P P1, 2, 3 10, 15, 20 Khi đó
1 2 3
1 2 3
S S S
Vậy đơn giá tại điểm cân bằng thị trường là P P P1, 2, 3 10, 15, 20
2 Mô hình Input-Output Leontief
2.1 Bài toán Xét mô hình kinh tế gồm n ngành kinh tế với ma trận
hệ số đầu vào là:
Trang 411 12 1
1 2
n n
A
trong đó
1
i
Với mỗi j , các hệ số a1j, a2 j, , a nj lần lượt là trị giá của các
lượng hàng hóa của các ngành kinh tế thứ 1, 2, , n (là các nguyên liệu đầu vào) dùng để sản xuất một lượng hàng hóa của ngành kinh tế thứ j
trị giá 1 đơn vị tiền tệ
Bên cạnh n ngành kinh tế trên, tồn tại một ngành kinh tế mở mà lượng nhu cầu hàng hóa ứng với các ngành kinh tế thứ 1, 2, , n lần là
1, 2, , n
Hỏi các ngành kinh tế trên cần sản xuất bao nhiêu lượng hàng hóa
để đảm bảo sản xuất và đáp ứng được nhu cầu của ngành kinh tế mở?
Trang 52.2 Lời giải Gọi x x1, 2, , x lần lượt là trị giá hàng hóa của các n
ngành kinh tế 1, 2, , n cần sản xuất Điều kiện: x j với mọi 0
1 j n Khi đó
Lượng hàng hóa chi phí của ngành kinh tế thứ i phục vụ cho sản
xuất là
1 1 2 2
a x a x a x
Lượng hàng hóa mà ngành kinh tế thứ i sản xuất được (sau khi
trừ chi phí sản xuất) là:
x a x a x a x
Như vậy, để đảm bảo sản xuất và đáp ứng được nhu cầu của ngành kinh tế mở ta phải có hệ sau:
n n
n n
(1)
Ta có
Trang 6
(1)
1
n n
n n
2 1
n
n
n
trong đó
1 2
n
x x X
x
: Ma trận sản lượng của n ngành kinh tế
Trang 7
1 2
n
d d D
d
: ma trận nhu cầu của ngành kinh tế mở
Chú ý rằng với điều (*), ma trận n A thường khả nghịch, nên từ (2)
ta suy ra nghiệm của bài toán:
1
X A D
2.3 Ví dụ Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế với
ma trận hệ số đầu vào là
0,3 0, 2 0,3 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,1
A
a) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số a33 0,1
b) Tìm nhu cầu của ngành kinh tế mở, biết sản lượng của 3 ngành kinh tế trên là (150, 120, 160)
c) Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế
Trang 8mở yêu cầu một lượng sản phẩm trị giá (10, 25, 15)
Giải
a) a33 0,1 là trị giá lượng nguyên liệu hàng hóa của ngành 3 phục
vụ cho ngành 3 sản xuất một lượng hàng hóa của trị giá 1 (đơn vị tiền tệ)
b) Gọi x x1, 2, x lần lượt là trị giá các lượng hàng hóa của các 3
ngành kinh tế thứ 1, 2, 3 cần sản xuất Điều kiện: x j với mọi 0
1 Khi đó j 3
3 A X D (1) trong đó
3
A
1 2 3
x
x
: Ma trận sản lượng của 3 ngành kinh tế
Trang 9
1 2 3
:
d
d
Ma trận nhu cầu của ngành kinh tế mở
Giả thiết cho ta
1 2 3
150 120 160
x
x
Từ (1) ta suy ra:
Vậy nhu cầu của ngành kinh tế mở là 33, 77, 105
c) Giả thiết cho ta
1 2 3
10 25 15
d
d
Đặt C 3 A Hệ 91) trở
thành CX D
Trang 10Từ 3
2
C
Vì detC nên C khả nghịch và 0 1
1
100
Suy ra
1
73
1
100
2
Vậy sản lượng của 3 ngành kinh tế trên là 73, 35, 57
Trang 11BÀI TẬP
1 Thị trường có 3 loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu lần lượt là:
1 2 3
1 2
S
S
S
và
1 2 3
1 2 3
1 2 3
D D D
Tìm các đơn giá tại điểm cân bằng thị trường
2 Thị trường có 3 loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu lần lượt là:
1 2 3
1 2
2 3
1 3
5
S
S
S
và
1 2 3
1 2 3
2 3
D D D
a) Tìm các đơn giá tại điểm cân bằng thị trường
b) Nếu cứ trong một đơn vị thời gian người ta phải xuất đi 10 đơn vị hàng thứ 1; 8 đơn đơn vị hàng thứ 2 và nhập về 5 đơn vị hàng thú 3, thì các đơn giá tại điểm cân bằng thị trường sẽ là bao nhiêu?
3 Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ
Trang 12số đầu vào là
0,1 0,3 0, 2 0,4 0, 2 0,3 0,2 0,3 0,1
A
a) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số a13 0,2
b) Tìm nhu cầu của ngành kinh tế mở, biết sản lượng của 3 ngành kinh tế trên là (280, 450, 390)
c) Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế
mở yêu cầu một lượng sản phẩm trị giá (118, 52, 96)
4 Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ
số đầu vào là
0,1 0,3 0, 2 0,4 0, 2 0,1 0,2 0,3 0,3
A
a) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số a23 0,1
b) Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế
mở yêu cầu một lượng sản phẩm trị giá (110, 52, 90)
Trang 13b) Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên ứng với lượng sản phẩm yêu cầu của ngành kinh tế mở trị giá (124, 66, 100) biết rằng nhờ cải tiến kỹ thuật, ngành 1 tiết kiệm được 25% nguyên liệu của ngành 2
Trang 14HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
1 (20, 20, 20)
2 a) 9,39;14,58; 29,33 , b) (10, 15, 30)
3 a) a13 0, 2 là trị giá lượng hàng hóa nguyên liệu của ngành 1 phục
vụ cho ngành 3 sản xuất một lượng hàng hóa của trị giá 1 (đơn vị tiền tệ)
b) (39, 131, 160) c) (300, 320, 280)
4 a) a23 0,1 là trị giá lượng hàng hóa nguyên liệu của ngành 2 phục
vụ cho ngành 3 sản xuất một lượng hàng hóa của trị giá 1 (đơn vị tiền tệ)
b) 89440 78980 101960, ,
51270 41230 57890