tài liệu toán cáo cấp c2

Microsoft Word TCC C2 2021 docx Bài giảng Toán cao cấp C2 1 Chương I MA TRẬN I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ 1 1 Định nghĩa ma trận Một ma trận A cấp (hay còn gọi là cỡ) m n trên ℝ là một bảng hình ch.

1

Chương I MA TRẬN

I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ

1.1 Định nghĩa ma trận: Một ma trận A cấp (hay còn gọi là cỡ) m n trên ℝ là một bảng hình

được gọi là các phần tử chéo Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo được gọi

là đường chéo chính Tập các ma trận vuông cấp n trên ℝ được kí hiệu là 𝑀#(ℝ)

* Ma trận tam giác trên là ma trận vuông cấp n có dạng

* Ma trận bậc thang là ma trận thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1 Dòng toàn số 0 (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng

2 Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải (và không cùng cột) so với phần

tử khác 0 đầu tiên của dòng trên

2.2.1 Định nghĩa: Cho ma trận cấp m x n Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu , là

ma trận cấp n x m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa

2.4.1 Định nghĩa: Tích của ma trận với một số là một ma trận cấp m x n, kí hiệu

là và được xác định như sau

2.5.1 Định nghĩa: Cho , Tích của ma trận A với ma trận B, kí hiệu AB,

là một ma trận cấp m x n, được xác định bởi công thức với

2.5.2 Nhận xét:

- Ta có thể nhớ cấp của ma trận tích thông qua kí hiệu hình thức:

- Nói một cách đơn giản có thể được tính bằng cách nhân các hệ số ở dòng i của A với các hệ số tương ứng ở cột j của B rồi lấy tổng của chúng:

c

ma trận tích AB

5

2.6 Lũy thừa của ma trận vuông

2.6.1 Định nghĩa: Với A là ma trận vuông cấp n, k là số nguyên không âm ta đặt

Vì phép nhân ma trận không có tính giao hoán nên nói chung đối với ma trận ta không

có các hằng đẳng thức tương tự như các hằng đẳng thức về số Tuy nhiên, ta có thể chứng minh được các kết quả sau:

2.6.2 Tính chất: Với A, B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa AB = BA thì với k nguyên dương

ta có

2.6.3 Ví dụ:

1) Cho Tính A2, A3, A100

2) Cho Tính A2, A3, An

III CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG

3.1 Định nghĩa các phép biến đổi sơ cấp

Cho Ta gọi các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là BĐSCTD trên A,

là một trong ba loại biến đổi sau:

1 Nhân một dòng với một số khác 0 nhân dòng thứ i với số

Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột

3.2 Định lý: Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận bậc thang bằng các phép BĐSCTD 3.3 Phương pháp đưa một ma trận về dạng bậc thang

Bước 1: Xác định các phần tử cần khử (vẽ bậc thang)

Bước 2: Khử các phần tử nằm dưới bậc thang ở cột 1

Bước 3: Làm tương tự bước 2 cho cột 2 và các cột còn lại

3.4 Ví dụ: Dùng các phép BĐSCTD đưa ma trận sau đây về ma trận bậc thang

n k

k

I , k 0

= ìï

=

å å

1 2A

4.1 Định nghĩa: Giả sử E là ma trận bậc thang có được sau khi sử dụng các phép BĐSCTD

đối với ma trận A Khi đó ta gọi hạng của ma trận A, kí hiệu r(A), là số các dòng khác không

của ma trận bậc thang E

4.2 Phương pháp tìm hạng của ma trận

Bước 1: Sử dụng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang

Bước 2: Đếm số dòng khác không của ma trận bậc thang ở bước 1

4.3 Ví dụ:

1) Sử dụng các phép bđsc tìm hạng của ma trận

a)

Giải

1a) Theo ví dụ ở mục III, ta đã đưa được A về dạng bậc thang

Vì ma trận bậc thang có 3 dòng khác 0 nên r(A) = 3

2) Tìm m để hạng của A bằng 3 với

4.4 Nhận xét

- Khi đưa ma trận A về dạng bậc thang, nếu ta sử dụng các phép BĐSCTD khác nhau,

ta sẽ thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau Nhưng số lượng dòng khác không của chúng luôn bằng nhau

trong đó In là ma trận đơn vị cấp n, thì ta nói A là ma trận khả nghịch và B được gọi là ma trận

5.2 Chú ý: Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch Có rất nhiều ma trận

vuông không khả nghịch

Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến

Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến

5.3 Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo

Định lý Ma trận nghịch đảo của một ma trận nếu tồn tại thì duy nhất

Xếp bên phải A: và dùng các phép BĐSCTD biến đổi ma trận này theo

hướng đưa A về ma trận đơn vị

Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra 2 trường hợp:

- TH1: Tồn tại p sao cho có ít nhất một dòng hay một cột bằng 0 Khi đó A không khả nghịch

- TH2: Mọi ma trận đều không có dòng hay một cột bằng 0 Khi đó ma trận cuối cùng của dãy trên có dạng Ta có A khả nghịch và

Nội dung cụ thể của phương pháp:

Bước 1: Thực hiện với cột 1:

+ Giữ lại phần tử khác 0 trên đường chéo chính (phần tử a11) Nếu phần tử trên đường chéo chính bằng 0 ta sẽ đổi dòng để phần tử trên đường chéo khác 0

+ Khử tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính

Bước 2: Lần lượt thực hiện với các cột còn lại giống như bước 1

Bước 3: Biến đổi các phần tử nằm trên đường chéo chính thành 1

iAn

I B

6.2 Chú ý: Trong định lý trên nếu B có số dòng khác n thì phương trình AX = B vô nghiệm

Tương tự, nếu C có số cột khác n thì phương trình YA = C vô nghiệm

A MÎ ! B MÎ n p´ ( )! ,C MÎ m n´ ( )!1

9

2)

3)

i) Nếu AB = 0 thì B = 0 ii) Nếu CA = 0 thì C = 0

Hãy tính A + ( B + C) ; ( A + BT) + C ; 3AT ; A.B ; A.BT ; B.C ; B.CT ; 3A + B.C

2 Thực hiện các phép toán ma trận sau

ĐS: a) r(A) = 3 với mọi số thực a b) a = 1 thì r(B) = 3 thì r(A) = 4

8 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau

úû

-

-28112

71524

42312

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-

-1977

7115

4312

1531

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

-

-

-

-64168

52134

72834

24768

32534

11

CHƯƠNG 2 ĐỊNH THỨC

I CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ

1.1 Định nghĩa ma trận con của một ma trận

Xét ma trận cấp n Ta chú ý đến phần tử , bỏ đi dòng i và cột j ta thu được

ma trận cấp n – 1, ký hiệu là A(i; j) và được gọi là ma trận con ứng với phần tử

(bỏ dòng 1, cột 2 của A) Tìm các ma trận con còn lại?

1.3 Định nghĩa định thức: Định thức của ma trận A, kí hiệu là detA hoặc là số thực được định nghĩa như sau:

với : được gọi là phần bù đại số

Chú ý: Đối với định thức cấp 3, ta còn có thể tính bằng cách khác như sau:

Quy tắc Sarrus: Nếu A là ma trận cấp 3 ta có thể nhớ công thức tính định thức bằng 1 trong 2

quy tắc sau

Tức là, định thức bằng tổng các tích số của từng bộ ba số được nối bởi các đường mang dấu +

và trừ đi tổng các tích số của từng bộ ba số được nối bởi các đường mang dấu -

1) Công thức khai triển theo dòng i:

2) Công thức khai triển theo cột j:

Như vậy, ta có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ dòng hoặc cột tùy ý nào

đó (Nên chọn dòng hoặc cột chứa nhiều số 0)

-

1 2A

i) det AB =det A.det B

ii) det A = det A , k 0 " ³

( )1 1det A

Tính chất 6: Nếu một dòng (hoặc cột) của A có các phần tử biểu diễn thành tổng của hai số

hạng thì detA phân tích được thành tổng của hai định thức

Khi nhân một số cho một ma trận ta nhân cho tất cả các số trong ma trận

2.2 Phương pháp tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp

Trong thực hành các phép biến đổi sau làm cho định thức đơn giản hơn:

1) Dùng các phép bđsc sao cho trên 1 dòng hoặc 1cột có thừa số chung, sau đó đem thừa

số chung ra ngoài dấu định thức

2) Dùng các phép bđsc trên dòng hoặc trên cột để làm cho 1 dòng hoặc 1 cột chứa nhiều

số 0, sau đó khai triển định thức theo dòng hoặc cột đó

3) Dùng các phép bđsc đưa định thức về dạng tam giác trên hoặc dưới và dùng tính chất

++

14

Khai triển theo cột 1

3.1 Định lý Một ma trận vuông A là khả nghịch (tức là có ma trận nghịch đảo) khi và chỉ khi

Khi đó ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A được xác định bởi công thức sau

1 A

6 Tìm m để các ma trận sau khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo khi m = 0

7 Tìm m để các ma trận sau khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo trong trường hợp đó

1432

4321

ùê

ë

é

=

52

21

17

CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Hệ phương trình tuyến tính trên ℝ của n ẩn số là hệ có dạng

(1)

trong đó là các hằng số cho trước và được gọi là các hệ số

1.2 Ma trận hệ số và ma trận bổ sung (mở rộng)

Ma trận A được gọi là ma trận hệ số ở vế trái của hệ (1)

Ma trận B được gọi là ma trận hệ số ở vế phải của hệ (1)

Ma trận được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ (1)

* Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình (1) có thể viết dưới dạng phương trình ma trận AX = B (2) trong đó : Ma trận cột các ẩn số

Ví dụ:

1) có ma trận hệ số và ma trận bổ sung là

và Hpt đã cho có thể viết lại dưới dạng ma trận

2) Viết lại hpttt dưới dạng hệ thông thường và dưới dạng ma trận biết nó có ma trận bổ sung như

sau

1.3 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Mỗi bộ số (𝑥$, 𝑥%, … , 𝑥#) = (𝛼$, 𝛼%, … , 𝛼#) ∈ ℝ# thỏa tất cả các phương trình trong (1) được gọi là một nghiệm của (1)

x , x , , x

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m 2 2 mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

m

b b B

xxXx

Û

Nhận xét: Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ luôn có nghiệm vì nó nhận (0, 0,

…, 0) làm một nghiệm, gọi là nghiệm tầm thường Điều này không đúng với các hệ không thuần nhất

II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Lúc này hpttt đã cho được gọi là hệ Cramer

2) Nếu và với một j nào đó thì hệ (1) vô nghiệm

3) Nếu thì chưa kết luận được về nghiệm của hệ

2.1.2 Chú ý: Đối với hpttt thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn thì hệ có nghiệm duy nhất

là X = 0 nếu , và có vô số nghiệm nếu

+ =

+ + =

ìïíïî

19

Vậy hệ trên có một nghiệm duy nhất là

2) Tìm tham số m để hpttt sau là hệ Cramer (tức là hệ có nghiệm duy nhất) Tìm nghiệm trong

trường hợp đó

2.2 Phương pháp Gauss

2.2.1 Định lý Kronecker - Capelli

Xét hệ phương trình tuyến tính AX = B với n ẩn Khi đó

i) Nếu thì hệ vô nghiệm

ii) Nếu thì hệ có duy nhất một nghiệm

iii) Nếu thì hệ có vô số nghiệm với ẩn tự do, nghĩa là ẩn có thể nhận bất cứ giá trị nào cho trước trong ℝ, và các ẩn còn lại được tính qua các ẩn tự do trên

Chú ý: Đối với hệ thuần nhất, trường hợp i) không xảy ra vì hệ luôn có nghiệm tầm thường 2.2.2 Nội dung phương pháp Gauss

Bước 1: Viết ma trận bổ sung của hệ

Bước 2:

+ Dùng các phép BĐSC trên dòng (không thực hiện trên cột) biến đổi ma trận

bổ sung cho đến khi A biến thành ma trận dạng bậc thang R, nghĩa là

+ Dựa vào định lý Kronecker – Capelli để kết luận về số nghiệm của hệ

+ Nếu hệ có vô số ẩn, ta phải chọn n – r(A) ẩn tự do

Bước 3: Viết lại hệ phương trình tuyến tính ứng với ma trận bổ sung

Bước 4: Giải nghiệm của hệ này bằng cách lần lượt các ẩn dựa vào các phương trình từ

dưới lên Nghiệm của hệ này chính là nghiệm của hệ đã cho

2.2.3 Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss

Giải

1) Viết ma trận bổ sung và biến đổi bằng các phép BĐSCTD:

Vì : số ẩn nên hpt đã cho có vô số nghiệm với 3 – 2 = 1 ẩn tự do

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

122

ïD

x x x 2 2x x 2

12

-ìïíïî

20

III PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

3.1 Nhận xét: Vì (1) luôn có nghiệm tầm thường, tức là nghiệm (0, 0, …, 0) nên sẽ không xảy

ra trường hợp (1) vô nghiệm Do đó một hpttt thuần nhất bất kỳ chỉ có thể rơi vào 1 trong 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: Hệ (1) có nghiệm duy nhất thì đó chính là nghiệm tầm thường (0, 0, …, 0)

- Trường hợp 2: Hệ (1) có vô số nghiệm Để tìm các nghiệm này ta phải sử dụng phương pháp

1) Ta sẽ giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

Vì r(A) = 2 < số ẩn = 4 nên hpt đã cho có 4 – 2 = 2 ẩn tự do

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:

Từ (2) suy ra Từ (1) suy ra

Vậy hpt đã cho có nghiệm tổng quát là

với 𝑥%, 𝑥& ∈ ℝ tùy ý

IV PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

a x a x a x 0

a x a x a x 0

ïî

x = -2x x1 = -x3(x , x , x , x1 2 3 4) (= -x , x , x , 2x3 2 3 - 2)

21

+ Nếu và với một j nào đó thì hệ vô nghiệm

+ Nếu thì chuyển sang dùng pp Gauss

* Giải và biện luận bằng pp Gauss Ta biện luận theo các trường hợp trong định lý Kronecker – Capelli:

+ Nếu thì hệ vô nghiệm

+ Nếu thì hệ có duy nhất một nghiệm

+ Nếu thì hệ có vô số nghiệm với ẩn tự do

4.2 Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số 𝑚 ∈ ℝ:

Bài toán được chia thành các trường hợp sau:

* Nếu thì hpt có duy nhất một nghiệm

22

Ta giải hệ bằng phương pháp Gauss:

Vì : số ẩn nên hpt đã cho có vô số nghiệm với 1 ẩn tự do

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

Từ (2) ta có Từ (1) suy ra

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm: với 𝑥& ∈ ℝ tùy ý

Kết luận: * Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất

* Nếu thì hệ có vô số nghiệm với 𝑥& ∈ ℝ tùy ý

4) Viết ma trận bổ sung và biến đổi bằng các phép BĐSCTD ta được

Ta biện luận như sau:

* Nếu m = 2 thì = 3 nên hpt đã cho có vô số nghiệm với 1 ẩn tự do

Khi đó hệ đã cho tương đương với hệ :

2x 4x 21x 6 2x 4x 21x 6

-14x 84x 14 x 6x 1

12

23

Kết luận: * Nếu thì hpt vô nghiệm

* Nếu m = 2 thì hpt có vô số nghiệm:

4 Giải các hpttt thuần nhất sau

25

CHƯƠNG IV MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

I MÔ HÌNH CÂN BẰNG TUYẾN TÍNH

Hãy xác định các đơn giá

tại điểm cân bằng thị trường

Vậy đơn giá tại điểm cân bằng thị trường là

2) Thị trường có 3 loại hàng hóa với hàm cung, hàm cầu lần lượt là

P(Giá)

26

Tìm điểm cân bằng thị trường

II MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT MỞ

2.1 Bài toán: Xét mô hình kinh tế gồm n ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là:

Trong đó

* Với mỗi j, các hệ số lần lượt là trị giá của các lượng hàng hóa của các ngành kinh tế thứ 1, 2, …, n (là các nguyên liệu đầu vào) dùng để sản xuất một lượng hàng hóa của ngành kinh tế thứ j trị giá 1 đơn vị tiền tệ (đvtt)

Bên cạnh n ngành kinh tế trên, còn tồn tại 1 ngành kinh tế mở (dành cho tiêu dùng và xuất khẩu) mà lượng nhu cầu hàng hóa ứng với các ngành kinh tế thứ 1, 2, …, n lần lượt là

Hỏi các ngành kinh tế trên cần sản xuất bao nhiêu lượng hàng hóa để đảm bảo sản xuất

và đáp ứng được nhu cầu của ngành kinh tế mở?

2.2 Lời giải

Gọi lần lượt là trị giá các lượng hàng hóa của các ngành kinh tế thứ 1, 2, …,

n cần sản xuất Điều kiện Khi đó

* Lượng hàng hóa chi phí của ngành kinh tế thứ i phục vụ cho sản xuất là

* Lượng hàng hóa mà ngành thứ i sản xuất được (sau khi đã trừ chi phí sản xuất) là

Như vậy, để đảm bảo sản xuất và đáp ứng được nhu cầu của ngành kinh tế mở ta phải

ìïïíï

n

d d D d

1) Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là

a) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số a32

b) Tìm nhu cầu của ngành kinh tế mở, biết sản lượng của 3 ngành kinh tế trên là (150, 120, 160)

c) Tìm mức sản lượng của ba ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu một lượng sản phẩm trị giá (10, 25, 15)

X= I -A - D

0,3 0, 2 0,3

A 0,1 0,1 0,10,1 0, 2 0,1

î

28

b) Giả thiết cho ta x1 = 150; x2 = 120; x3 = 160 Thế vào (2) ta suy ra d1 = 33; d2 = 77; d3 =

105

Vậy nhu cầu của ngành kinh tế mở là (33, 77, 105)

c) Giả thiết cho ta d1 = 10; d2 = 25; d3 = 15 Thế vào (2) ta được hệ

Giải hệ (3) ta được nghiệm là

2) Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là

a) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số a13

b) Tìm nhu cầu của ngành kinh tế mở, biết sản lượng của 3 ngành kinh tế trên là (280, 450, 390)

c) Tìm mức sản lượng của ba ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu một lượng sản phẩm trị giá (118, 52, 96)

BÀI TẬP

1) Thị trường có 2 loại hàng hóa với hàm cung, hàm cầu lần lượt là

; ; Tìm điểm cân bằng thị trường

2) Thị trường có 3 loại hàng hóa với hàm cung, hàm cầu lần lượt là

; ;

; Tìm các đơn giá tại điểm cân bằng thị trường

3) Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là

a) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số a32

b) Tìm nhu cầu của ngành kinh tế mở, biết sản lượng của 3 ngành kinh tế trên là (120, 150, 300)

c) Tìm mức sản lượng của ba ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu một lượng sản phẩm trị giá (110, 52, 90)

= >

í ï