tài liệu toán cao cấp 1 k55mf nguyenvantien0405

• Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức độ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng[r]

Trang 1

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

HÀM NHIỀU BIẾN

CHƯƠNG 3

Khái niệm hàm hai biến

• Định nghĩa: Cho không gian:

• Ánh xạ:

• Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D

• Mỗi cặp (x,y)∈ 𝐷 tương ứng với một số thực z

• x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc

:

Khái niệm hàm ba biến

• Định nghĩa: Cho không gian:

• Ánh xạ:

• Được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp D

• Mỗi cặp (x,y,z)∈ 𝐷 tương ứng với một số thực u

• x, y, z là các biến độc lập; u là biến phụ thuộc

:

R x y z x y z R va D R

Tập xác định hàm hai biến

• Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là số thực

• Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

2 ) ,

Tập xác định hàm ba biến

• Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các

cặp (x,y,z) sao cho giá trị biểu thức f(x,y,z) là số

thực

Đạo hàm riêng

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D

• Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo x

• Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biến x

• Ký hiệu:

• Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y

x

Trang 2

Đạo hàm riêng

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D

• Các đạo hàm riêng của z theo x,y:

• Lấy đạo hàm riêng theo từng biến là đạo hàm

của hàm một biến khi xem các biến còn lại như

hằng số

0

z

Ví dụ

• Cho hàm số

• Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số)

• Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số)

3 'y 6 4

'x 3 3

Vi phân hàm nhiều biến

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêng

z’x; z’y

• Khi đó biểu thức:

• Được gọi là vi phân toàn phần của hàm hai biến

đã cho

• Ý nghĩa:

dz  z dx  z dy

Ví dụ

• Hàm số

• Có vi phân toàn phần là

3 2

z  x  y  xy

dz  x  y dx  x  y dy

Đạo hàm riêng cấp 2

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêng

z’x; z’y

• Đây là các đạo hàm riêng cấp 1

• Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 gọi là

đạo hàm riêng cấp 2

• Các đạo hàm riêng cấp 2

2

'' '' ''

• Các đạo hàm riêng cấp 2 còn được ký hiệu lần lượt là:

• Ví dụ: Các đạo hàm riêng của:

     

3 2

zx y xy

2

yy

yx

Trang 3

• Bài tập: Tính các đhr cấp 2 của hàm số:

y

 

 

Vi phân cấp 2

• Vi phân cấp 2 của hàm hai biến z=f(x,y) là biểu thức có dạng:

• Chú ý:

" 2 xy" "

d zz dx  z dxdyz dy

2

" " " "

" 2 " "

x y

xy

Ví dụ

• VD1 Vi phân cấp 2 của hàm số:

• là

• VD2 Tính vi phân cấp 2 của hàm số:

) z sin

3 2

zx y xy

d z xdx  dxdy dy

Cực trị hàm hai biến_Cực đại

• Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định

trên D

   0  ,  0, 0

f M  f M hay f x y  f x y

Cực trị hàm hai biến_Cực tiểu

• Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định

trên D

   0  ,  0, 0

f M  f M hay f x y  f x y

Khái niệm cực trị

• Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là các điểm cực trị

• Ta có:

• Vậy

0

2

1; 0 2

 0    0

Trang 4

Cực trị của hàm nhiều biến

• Một cách tương tự ta định nghĩa cực đại, cực

tiểu của hàm nhiều biến

các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập

trong D

• Cực đại khi?

• Cực tiểu khi?

1 2

( , , , n)

Điều kiện cần để có cực trị

hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D và đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm

thì

• Điểm thỏa mãn điều kiện trên được gọi là điểm dừng của hàm số

• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng

• Đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ.

1 2

( , , ,n)

M x x x D

1 2

( , , , n) 0 , 1, 2, ,

i

f

x



Ma trận Hess

riêng cấp 2 Khi đó, ma trận vuông cấp n

gọi là ma trận Hess của hàm số Nếu hàm số

ma trận Hess là ma trận đối xứng

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

n n

n n n n

x x x x x x

H

Ví dụ

• Ma trận Hess của hàm 3 biến

• là ma trận

2 4 5 2 3 5 2 4 4

2 3 5 3 2 5 3 3 4

2 4 4 3 3 4 3 4 3

3 4 5 ( , , )

f x y z  x y z

Điều kiện đủ của cực trị

• Giả sử

điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng

cấp hai liên tục

• Đặt:

1 2

2

1 2 ( , , , ) ( , 1, 2, , )

i j

f

x x



 

Điều kiện đủ để có cực trị

• Ma trận Hess:

• Xét các định thức con chính:

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

n n nn

H

11 12

1 11 2

21 2

k k kk n n nn

Trang 5

Tiêu chuẩn xét cực trị

• i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 thì M là điểm cực tiểu

của hàm số

• ii) Nếu D1<0, D2>0, …, (-1)nDn>0 thì M là điểm cực

đại của hàm số

• iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)iDi>0 ) và tồn tại k sao cho

của hàm số tại Hàm số có thể đạt cực trị hoặc

không đạt cực trị tại điểm M Muốn có được kết

luận ta phải sử dụng phương pháp khác

• iv) Trong các trường hợp khác thì M không phải là

điểm cực trị

Áp dụng cho hàm 2 biến

• Giả sử hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2

dừng của hàm số

• Ta đặt:

2 2

2

0 0 2

( ; y ) B ( ; y )

( ; y )

f

y



Áp dụng cho hàm 2 biến

• iv) Nếu ∆=0 thì chưa có kết luận

Các bước tìm cực trị hàm 2 biến

• 1 Tìm tập xác định

• 2 Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2

• 3 Giải hệ pt tìm điểm dừng

• 4 Tính các đhr cấp 2 tại điểm dừng

• 5 Xét dấu định thức cấp 2

• 6 Kết luận về điểm cực trị và tính cực trị (nếu có)

' 0 ' 0

x y

z z





 



Ví dụ

• Tìm cực trị của hàm số

• Đ/S: cực tiểu tại M(1;1)

f x y    x y xy

Ví dụ

• Tìm cực trị của hàm số

• Đ/S: cực tiểu tại M(1;-2;1/2)

f x y z     x xy y xz  z  y 

Trang 6

Bài tập

• Tìm cực trị của hàm số:

8

x

  

Hàm nhiều biến trong kinh tế

• Hàm sản xuất

• Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm lợi ích

• Hàm cung, hàm cầu

Hàm sản xuất

• Hàm sản xuất là hàm dạng:

Q=Q(K,L)

• trong đó K là vốn, L là lao động

• Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng:

• trong đó a, α, β là hằng số dương

,

QaK L 

Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì:

• Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L) trong đó P là giá thị trường của sản phẩm

• Hàm tổng lợi nhuận là hàm TT=TR-TC

Hàm lợi ích

• Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức

độ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ

hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng Mỗi tổ

hợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng Giả sử cơ cấu

của người tiêu dùng có 3 mặt hàng thì mỗi giỏ

hàng là một bộ ba số thực (x,y,z) Hàm lợi ích

cho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duy

nhất u=u(x,y,z)

Hàm cung, hàm cầu

• Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị

• Hàm cung:

• Hàm cầu:

1 2 ( , , , )

i

Q  S P P P

1 2 ( , , , )

i

Trang 7

Cực trị hàm kinh tế – VD1

• Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm

Biết hàm cầu về 2 loại sản phẩm của xí nghiệp trong

một đơn vị thời gian là:

• và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian là

• Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

,

( , )

• Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm là:

• trong đó 𝜋 là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền lương cho một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán sản phẩm.

• Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng:

• Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa cho trường hợp w = 1, r = 0,02, P = 3.

w

1/3 1/3

QL K

• Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp

sản xuất 3 loại sản phẩm là:

nghiệp thu được lợi nhuận tối đa

1 3 2 7 3 300 2 1200 3 4 1 3 20

• Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm

Cho biết hàm cầu đối với hai loại sản phẩm đó như sau:

• Với hàm chi phí kết hợp là:

• Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 và giá bán tương ứng để doanh nghiệp đó thu lợi nhuận tối đa

Q  p Q   p

1 3 1 2 2

CQ  Q Q Q

Đáp án

• Ta có:

• Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm

ở hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng là:

• Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở 1,2

• Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng:

• A) Xác định lượng sản phẩm cần sx ở mỗi cơ sở đề tối đa hóa lợi nhuận

• B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính

độ co giãn của cầu theo giá

TC   Q TC   Q

1 2

P  Q QQ Q 

Trang 8

Đáp án

• A) Q1=600; Q2=1200

• B) Hệ số co giãn của cầu theo giá: -13/6

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:

• Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 6$, giá thuê một đơn vị lao động là 4$ Giá bán một sản phẩm là 2$

• Tìm mức sử dụng vốn và lao động để lợi nhuận của doanh nghiệp tối đa

• Đáp số: K=1/36; L=1/16

0,5 0,5

QK L K L

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	1,23 MB