Toán cao cấp a1 phần 1 IUH

KHOA KHOA HỌC cơ BẢN TÓ TOÁN LÊ VĂN LAI TOÁN CAO CẤPA1 ( Lưu HÀNH NỘI Bộ ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHÓ HỒ CHÍ MINH Khoa Khoa Học Cơ Bản Tổ Toán Lê Văn Lai TOÁN CAO CẤP AI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CỔNG.

KHOA KHOA HỌC cơ BẢN - TÓ TOÁN

LÊ VĂN LAI

TOÁN CAO CẤPA1

( Lưu HÀNH NỘI Bộ )

Khoa Khoa Học Cơ Bản - Tổ Toán

Lê Văn Lai

Được sự chấp thuận của Trưởng khoa Khoa học Cơ bản và Tập thể tổ

Toán, cuôn sách TOAN CAO CAP Al trở thành giáo trình chính thức từ

năm học 2017 — 2018

Giáo trình được biên soạn sát chương trình của sinh viên các trường

đại học khối kỹ thuật và công nghệ với thời lượng khoảng 45 tiết Kiến

thức được trình bày chi tiết một cách logic, dễ hiểu Do đây là môn học

mang tính chất làm nền tảng cho các môn toán mà sau này sinh viên sẽ

được học, nên hầu hết các định lý đều được chứng minh Lần đầu đọc

sách, sinh viên có thể không đọc các chứng minh, thay vào đó sinh viên

đọc các ví dụ minh họa để hiểu được nội dung của các định lý

Giáo trình được chia thành sáu chương:

Chương 1: Giới hạn và liên tục

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Chương 3: ứng dụng của đạo hàm

Quý Thầy tham gia phản biện giáo trình: Huỳnh Hữu Dinh, Lã Ngọc

Linh, Đoàn Vương Nguyên, Nguyễn Đức Phương, Trần Mạnh Tuấn

Thành phố Hồ Chí Mình, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Mục lục

Lời nói đầu 3

Mục lục 4

1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 9 1.1 Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC 9

1.1.1 Các tập số thường gặp 9

1.1.2 Tiên đề về sup, inf 10

1.1.3 Tính chất Archimède 12

1.1.4 Đường thẳng thực mở rộng 12

1.2 HÀM SỐ 13

1.2.1 Khái niệm hàm số 13

1.2.2 Mộtsố tính chất đặc biệt của hàm số 14

1.2.3 Hàm số ngược 16

1.2.4 Hàm số hợp 17

1.2.5 Hàm số sơcấp cơ bản 18

1.2.6 Hàm số sơcấp 22

1.3 DÂY SỐ 24

1.3.1 Dãy hội tụ 25

1.3.2 Dãy đơn điệu 31

1.3.3 Dãy con 33

1.4 GIỚIHẠN CỦA HÀMsố 33

1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 33

1.4.2 Các quy tắc tính giói hạn 37

1.4.3 Tính chất kẹp 38

MỤC LỤC 5

1.4.4 Giới hạn của hàm hợp 39

1.4.5 Giới hạn một phía 40

1.4.6 Mởrộng khái niệm giới hạn 42

1.4.7 Hai giới hạn quan trọng 46

1.5 TÍNH LIÊN TỤC CỦAHÀM số 47

1.5.1 Định nghĩa và tính chất 47

1.5.2 Liên tục một phía Phân loại điểm gián đoạn 50

1.5.3 Hàmliên tục trên một đoạn 51

1.6 TÍNH LIÊN TỤC CỦAHÀM sơ CẤP 53

1.6.1 Hàm lũy thừa,căn thức 53

1.6.2 Hàm mũ và hàm logarit 54

1.6.3 Hàmlượng giác, lượng giác ngược 56

1.7 VÔ CÙNGBÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN 56

1.7.1 Hàm tương đương 56

1.7.2 Vô cùngbé (VCB) 58

1.7.3 Vô cùng lớn (VCL) 61

1.8 BÀI TẬP 63

2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 70 2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 1 70

2.1.1 Đạo hàm 70

2.1.2 Vi phân 79

2.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP CAO 85

2.2.1 Đạo hàm cấp cao 85

2.2.2 Vi phân cấp cao 88

2.3 CÁC ĐỊNH LÝGIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 89

2.3.1 Khái niệmcực trị 89

2.3.2 Định lý Fermat 90

2.3.3 Định lý Rolle 90

2.3.4 Định lý Cauchy 91

6 MỤC LỤC

2.3.5 Định lý Lagrange 92

2.4 QUYTẮCUHÔPITAL 93

2.4.1 Dạng - 93

2.4.2 Dạng 95

2.4.3 ■ Các dạng vôđịnh khác 97

2.5 CÔNG THÚC TAYLOR 100

2.5.1 Công thức Taylor với phần dư Lagrange 100

2.5.2 Công thứcTaylor với phần dưPeano 101

2.5.3 Công thức Maclaurin một số hàm số sơ cấp 102

2.5.4 Tính gần đúng bằng công thức Taylor 103

2.5.5 Tính giớihạnbằng công thức Taylor 106

2.6 BÀI TẬP 107

3 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 118 3.1 KHẢOSÁTHÀMY = F(X) 118

3.1.1 Tính đơn điệu của hàm số 118

3.1.2 Cực trị 120

3.1.3 Tínhlồi, lõm và điểmuốn 121

3.1.4 Đường tiệmcận 122

3.2 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG THAM SỐ 125

3.2.1 Phương trìnhtham số của đường cong 125

3.2.2 Khảo sát đường cong tham số 126

3.3 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG HỆ TỌA ĐỘ cực 128

3.3.1 Hệtọa độ cực 128

3.3.2 Hệ tọa độ cực mở rộng 129

3.3.3 Đường cong trong hệtọa độ cựcmở rộng 130

3.3.4 Khảo sát đường cong trong hệ tọa độ cực mở rộng 130

3.4 BÀI TẬP 133

MỤC LỤC 7

4.1 TÍCHPHÂNBẤT ĐỊNH 137

4.1.1 Nguyênhàm 137

4.1.2 Tích phân bất định 138

4.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định 139

4.1.4 Tích phân hàm hữu tỷ 145

4.1.5 Tích phân hàmlượng giác 148

4.1.6 Tíchphân một số hàm vô tỷ 152

4.2 TÍCH PHÂNXÁC ĐỊNH 156

4.2.1 Định nghĩa và tính chất 156

4.2.2 Công thức Newton - Leibniz 160

4.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định 162

4.3 TÍCH PHÂN SUYRỘNG 165

4.3.1 Tích phân suy rộng loại một 166

4.3.2 Tíchphân suy rộng loại hai 173

4.4 ÚNG DỤNG TÍCH PHÂN 180

4.4.1 Tính diện tích hình phẳng 180

4.4.2 Tính thểtích vật thể 185

4.4.3 Tính độ dài cung phẳng 190

4.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 193

4.5 BÀI TẬP - 195

5 CHUỖI SỐ 205 5.1 ĐẠI CUƠNGVỀ CHUỖIsố 205

5.1.1 Các khái niệm về chuỗi số 205

5.1.2 Điều kiệncần đểchuỗi hội tụ 207

5.1.3 Tínhchất của chuỗi hội tụ 208

5.2 CHUỖI SỐ DUƠNG 210

5.2.1 Khái niệm chuỗi dương 210

5.2.2 Các tiêuchuẩn hội tụ 212

5.3 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ 219

8 MỰC LỤC

5.3.1 Chuỗi đan dấu 219

5.3.2 Hộitụ tuyệt đối 220

5.4 BÀI TẬP 222

6 CHUỖI HÀM 232 6.1 DÃY HÀM 232

6.1.1 Định nghĩa 232

6.1.2 Hội tụ điểm, hội tụ đều 232

6.1.3 Tính chất của dãy hàm hội tụ đều 233

6.2 CHUỖI HÀM 234

6.2.1 Các định nghĩa 234

6.2.2 Chuỗi hàm hội tụ đều 235

6.2.3 Các tính chấtcủa chuỗi hàm hội tụ đều 237

6.3 CHUỖI LŨY THỪA 238

6.3.1 Định nghĩa 238

6.3.2 Bán kính hội tụ 239

6.3.3 Tính chất của chuỗilũy thừa 243

6.4 BÀI TẬP 245

HƯỚNG DẪN - ĐÁP ÁN 250

Chương 1

1.1 cơ BẢN VỀ SỐ THỰC 9

1.2 HÀM SỐ 13

1.3 DÃY SỐ x 24

1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM số 33

1.5 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM số 47

1.6 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM sơ CAP 53

1.7 VỐ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN 56

1.8 BÀI TẬP 63

1.1 Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC 1.1.1 Các tập số thường gặp Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N, nghĩa là N = {0;l;2 }

Tập hợp tất cả các số nguyên dương được ký hiệu là N*, nghĩa là N * = {1;2;3

Tập hợp tất cả các số nguyên được ký hiệu là z, nghĩa là z = - 2; -l;0,l;2

10 GIỚI HẠN VÀ LỈÊN TỤC

Tập hợp tất cả các số hữu tỷ được ký hiệu là Q, nghĩa là

{— nĩ : m, n e z, _ n / 0_ >

Từ xưa, người ta biết rằng số nguyên và số hữu tỷ không thể biểu diễn

được tất cả các số đo trong cuộc sống Chẳng hạn, nếu hình vuông có độ

dài cạnh là một đơn vị thì đường chéo của nó không thể biểu diễn bằng

số hữu tỷ Từ đó, xuất hiện tập hợp các số dùng đê biểu diễn cho các số đo trong các hoàn cảnh như thế này Tập các sốnhư thế được gọi là tập các số

vô tỷ

Tập hợp tấtcả các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập hợp các số thực và được ký hiệu là R Để chỉ số a là số thực ta viết a € R, và đọc là "a thuộcR"

Giá trị tuyệt đối của một số thực a, được ký hiệu là \a \ , được xác định

Khoảng cách giữa hai số a và b là \a — b\, là độ dài đoạnthẳng nối a với b.

Hai số thực a và b được gọi là gần nhau nếu \a — b\ nhỏ

Phần tiếp theo trình bày một số điều cốt lõi của tập các số thực đểlàm

cơ sở lý luận cho toàn bộ nội dung quyển sách này

1.1.2 Tiên đề về sup, inf

Định nghĩa 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng của R, và (X. e R

• a là phần tử nhỏ nhất của A nếu ŨC G A và a < X với mọi X E A. Phần

tử nhỏ nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là min A.

• a là một chặn trên của A nếu a > X với mọiX € A. Khi A có một chặntrên, ta nói A bị chặn trên và khi đó, phần tử nhỏ nhất của tập tất cảcác chặn trên, nếu có, được gọi là chặn trên nhỏ nhất của A, ký hiệu là

sup A.

1.1 cơ BẢN VỀ SỐ THỰC 11

• a là phần tử lớn nhất của A nếu a e A và (X > X với mọi X G A. Phần

tử lớn nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là max A.

• a là một chặn dưới của A nếu a < X với mọi X € A Khi A có một chặn dưới, ta nói A bị chặn dưới và khi đó, phần tử lớn nhất của tậptất cả các dưới, nếu có, được gọi là chặn diíớỉ lớn nhất của A, ký hiệu

là infA.

Ví dụ 1.2 Xét hai tập con của tập các số thực A = (0; 1] và B = (0; 4-oo)

Ta có:

• Do > X với mọi X 6 A, nên 1 là một chặn trên của A, và do đó A

bị chặn trên Ngoài 2 là một chặn trên, A còn có vô số các chặn trên,

là các phần tử của tập c = [1; +oo) Do là phần tử nhỏ nhất của cnên sup A — 1.

• Do 0 < Xvới mọi X € A, nên 0 là một chặn dưới của A, và do đó A bịchặn dưới Ngoài 0 là một chặn dưới, A còn có vô số cácchặn dưới,

là các phần tử của tập D = ( —oo;0] Do 0 là phần tử lớn nhất của D

nên infA = 0

• Do 1 € A và 1 > X với mọi X e A nên maxA = 1 Giả sửm — minA

Thế thì 0 < m < X với mọi X e A Chọn X = y e A, ta buộc phải có

m < nghĩa là m < 0, điều này mâu thuẫn vói m > 0 Vậy min A

không tồn tại

• Dễ thấy B bị chặn dưới bởi 0, có infB = 0, và không tồn tại min B; B

không bị chặn trên, nên không tồn tại supB, max B.

Với một tập con không rỗng bất kỳ A của R, minA, max A, sup A

và infA khôngluôn luôn tồn tại Tuynhiên, ta chấp nhận

Tiên đề về sup.Mọi tập con không rỗng và bị chặn trên của R đều có chặn

trên nhỏ nhất.

Nhận xét rằng tập — A = { — X : X e Ẩ} là tập con không rỗng và bị

chặn trên khi A là tập không rỗng và bị chặn dưới Hơn nữa, nếu sup( —A)

tồn tại thì infA tồn tại và infA — — sup( — A), ta suy ra

Hệ quả về inf Mọi tập con không rỗng và bị chặn dưới của R đều có chặn

dưới lớn nhất.

12 GIỚI HẠN VĂ LIÊN Tực

Trong tập các số thực, tập các số nguyên tự nhiên N đượccoi là tập con

nên nếu dặt S = {nb:n€N} thì s là tập không rỗng và bị chặn trên của R VớiDC = sup s,

ta có (n + l)ỉ> < a, Vn € N suy ra nb < a — b, \/n G N Vậy ít — b là một chặn trên của s và

Với trục x'Ox người ta có thể biểu diễn mỗi số thực X bằng một điểm

M e x'Ox sao cho OM — X, và với cách biểu diễn này, R còn được gọi

là đường thẳng thực. Trong nhiều trường hợp, để thuận lợi trong khảo sát, người ta bổ sung vào R hai phần tử, ký hiệu là —co và +oo, để nhận được

đường thẳng thực mở rộng R = Ru { — co, +oo} Các phép toán và quan hệ

(±oo) X (=F°°) = — co.

Dokhôngmởrộng khoảng cách giữa hai số thựcqua khoảngcách giữa

một sốthực với các phần tử ±co hay giữa —covà 4-00,người ta đưa ra khái niệm lân cận như sau:

• Với X e R khoảng (x — ỏ; X + ỏ) với ỏ > 0 được gọi là 0 — lân cậncủa X.

• Các tập (ó;4-00) và (—oo;ô}, vớiỏ là một số thực, lần lượtđược gọi là

ô lân cận của 4-00 và —oo

1.2 HÀM SỐ

1.2.1 Khái niệm hàm số

Định nghĩa 1.2 Cho D là một tập con khác rỗng của R Hàm số f từ tập

D vào R là một quy tắc làm tương ứng mỗi phần tử X e D với một và chỉ một phần tử /(*) G R

Để chỉ hàm số như thế, ta kí hiệu là

f : D —> R,

X 1—> y = /■(*)•

• Tập D được gọi là miền xác định của hàm f.

• Với X € D,f(x) được gọi là giá trị của f tại X

• Miền giá trị của hàm số f là tập hợp tấtcả các giá trị /(x) khi X thay

đổi trong D, được ký hiệu là R

= {/(x) ■ X E D}.

14 GIỚI HẠN VÀ LIÊN Tực

Hình 1.1: Hàm số f làm tương ứngX với f (x)

Khi hàm số f được cho bởi công thức, thì miền xác định của nó là

tập hợp tất cả các số thực X làm cho công thức có ý nghĩa Ví dụ hàm số

f(x) = \/3 — X có miền xác định D = {x : X e R, X < 3} vì y/3 — X cónghĩa nếu 3 — X > 0

Đồ thị của hàm sốy = f(x) có đượcbằngcách vẽ tất cả các điểm (x;y)

với X c D và 1/ = f(x) (Hình 1.2) Nếu ta bắt đầu từ X = a trên trục

Ox, di chuyển theo phươngthẳng đứng đến đồ thị, sau đó di chuyển theo

phương ngang đến trục Oy, ta sẽ nhận được giá trị f(a).

Hình 1.2: Đồ thị của hàm y — f(x).

1.2.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số

li Tính đơn điệu

Định nghĩa1.3 Cho hàm số /(x) xác định trên khoảng («; b)

• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm tăng trên (a; b) (Hình 1.3.a) nếu

1.2 HÀM SỐ 15

Hình 1.3

• Hàm số y = f(x) được gọi là không giảm trên (a; b) (Hình 1.3.c) nếu

Vxi,X2 € (a;b),xỵ < X2 => /(1)* < /(^2)

• Hàm sốt/ = /(x) được gọi là không tăng trên (ứ; b) (Hình 1.3.d) nếu

Vxi,X2 6 (rt;b),Xi < X2 =>/(xi) > /(*2)

Q Tính chẵn, lẻ

Hình 1.4: Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lé

Định nghĩa 1.4 Xét hàm /(x) có miền xác định D đối xứng qua gốc tọa

độ o, nghĩa là nếu X thuộc D thì —X cũng thuộc D. Khi đó,

• Hàm số /(x) được gọi là hàm chẵn nếu

Vx 6 D,f(-x) — f(x);

Hình 1.5: Đồ thị của hàm số tuần hoàn chư kỳ T

Định nghĩa 1.5 Hàm số /(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số

dương T sao cho

Vx 6 D, (x ± T e D và f(x - T) = f(x) = f(x + T))

Số dương T nhỏ nhấtnếu có dược gọi là chu kỳ tuần toàn củaf(xỴ

1.2.3 Hàm số ngược

Định nghĩa 1.6 Hàm sốf(x) được gọi là hàm số tương ứng 1 — 1 nếu với

mỗi y E Rf chỉ có duy nhất X E D sao cho y — f(x).

Hình 1.6: Đồ thị của hàm 1—1, hàm không phải 1 — 1

về mặt hình học, hàm y = f(x) là hàm số tương ứng 1 — 1 nếu nhưmột đường thẳng cùngphương với Ox cắtđồ thị của hàm này nhiều nhất

là một điểm

1.2 HÀM SÔ 17

Hình 1.7: Đồ thị của hàm y = /(x) vày = y1(x)

Định nghĩa 1.7 Nếu hàm số y = /(x) là hàm tương ứng 1-1 thì với mỗi

y G R f, tồn tại duy nhất X G D saocho /(x) = y Do dó,quy tắc làm tương

ứng mỗi y E Rf với X G D sao cho f(x) = y là một hàm số, và ta gọi đó làhàm ngược của hàm 1/ = ký hiệu là X = (y)

Thông thường, ta dùng chữ X để chỉbiến số và yđể chỉ giá trị của hàmtại X nên hàm ngược của y = f(x) được viết là 1/ = f~ A(x) Khi đó, nếuđiểm (x;y) thuộc đồ thị của hàm số y = /(x) thì điểm (y;x) thuộc đồ thị

hàm ngược y = (x) Vì hai điểm (x;y) và (y; x) đối xứngvới nhau qua

đườngphân giác thứ nhấtnên suy ra đồ thị hàm số ngược y — / 1(x) đối

xứng với đồ thị hàm sốy = /(x) qua đường phân giác thứ nhất (Hình 1.7)

y E Rf sao cho /(x) — y, và với y này qua g sẽ một và chỉ một z E Rg sao

cho g(y) = z Như vậy, môi X E Df ứng với một và chỉ một z E R g xácđịnh bởi z = g[/(x)] Do đó, ta có hàm số

và khi đó miền xácđịnhcủa {g o/) (x) là cácX trongDf sao cho /(x) 6 Ds.

Ví dụ 1.3 Cho hai hàm số/(x) = yjxvà g(x) = 1 — X Hãy tìm (g o /)(x),(/ ° (*)/ (/ ° /) (x) và (%° g) (x) cùng với miền xác định của chúng

Giải Hai hàm số đã cho có miền xác định lần lượt là Df = [0; +<x>) và

Dg = ( —oo; +oo) Công thức của các hàm hợp cần tìm và miền xác địnhcủa chúng được tìm thấy như sau:

Miền xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vàocc Cụ thể:

• Nếu a € N thì miền xác định của hàm số là R.

• Nếu a là số nguyên âm thì miền xác định của hàm số là R \ {()}.

7.2 HÀM SỐ 19

Số a được gọi là cơ số của hàm số mủ Hàm y = a x có miền xác định là

R, tăng khi a > 1, và giảm khi a < 1

cosx — OM;sinX = ON; tan X = AP;cotx — BQ.

1 Hàm y = sinX có miền xác định là R và miền giá trị là [ — 1; 1] Đó là

một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2zr Đồ thị của hàmy = sinX trên

[ — 7ĩ; zr] được cho bởi hình 1.11

20 GIỚI HẠN VĂ LIÊN Tực

Hình 1.10

2 Hàm I/ = cosx có miền xác định là R và miền giá trị là [- 1; 1] Đó là một hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2tt đồ thị của hàm Ị/ — cos X

trên [ —7ĩ; zr] dược cho bởi hình 1.11

3 Hàm y = tanx xác định tại mọi X Ạ (2k + 1 )y,A' € z, và miền giá trị là R Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 7T Đồ thị của hàm

y — tan X trên ( — y; ỷ) đượccho bởi hình 1.12

4 Hàm y — cotx xác định tại mọi X Ạ kn,k E và miền giá trị là R

Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 71 Đồ thị của hàm y — cotx

trên (0; /r) được cho bởi hình 1.12

12 Các hàm lượng giác ngược

1 Hàm arcsin Hàm số sin : R —> [—1;1] không là hàm 1-1 nhưng khi

ta hạn chế miền xác định thành [—ị; ị ) thì sin : [ —%; y] —» [- 1; 1]

là hàm 1-1 Khi đó, tồn tại hàm số ngược của hàm sin, ký hiệu arcsin,

arcsin : [—!;!] —>

Đồ thị: Hàm Xj — arcsinX có đồ thị như hình 1.13.a.

2 Hàm arccos Tương tự, hàm số cos : [0; zr] —> [-1; 1] là hàm 1-1 nên

có hàm ngược, ký hiệu là arccos,

cos : [ — 1; 1] —> [0; 7ĩ]

Ta có

Tính chất: Với mọi X G [—1; 1] ta có

(a) cos(arccosx) - X,

Định nghĩa 1.9 Cho hai hàmf, g cómiền xác định lần lượt là Dị và Dg ta

định nghĩa các hàm tổng, hiệu, tích và thương như sau:

• Thương của fvà g, ký hiệu là là hàm số xác định trên miền mà cả

f và gcùng xác định, đồng thờig(x) phải khác không, và

có miền xác định lần lượt là Dy = [0; +oo) và Dg = (—oo; 1] Phần chung

của hai miền xác định này là D ịn Ds — [0; 1] Bảng sau tổng hợp các công

thức và miền xác định của các hàm tổng, hiệu, tích và thương được tạothành từ/(x) và g(x)

Định nghĩa 1.10 Hàm số được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các

phép toán cộng, trừ, nhân, chia và sự hợp nối các hàm số được gọi là hàm

SỐ X1 được gọi là số hạng thứ nhất, X2 được gọi là sốhạng thứ hai, và tổng

quát x„ được gọi là số hạng thứn Dãy số như vậy được ký hiệu là (x„)

Số n được gọi là chỉ số của xn. Chỉ số này không nhất thiếtbắt đầu tại

n = 1, nó có thể bắt đầu tại n = 0, n — 2, hoặc một số nguyên dương tùy ý-

Không phải dãy số nào cũng được tạo ra từ một công thức Ví dụ, dãy các chữ số của số 71:

3; 1;4; 1;5;9;2;6 ,không có công thức cho số hạng thứ n Khi x„ có công thức, ta gọi x tì là số

hạng tổngquátcủa dây số (x„)

Ví dụ 1.6 Ta có ba dãy số sau:

Định nghĩa 1.12 Cho dãy số (x„)

Số hạng tổngquát Miền xác định Dãy số

• Dãy (x„) vừa bị chặntrên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn

• Dãy mà tất cả các số hạngbằng nhau được gọi là dãy hằng

Ví dụ 1.7

• Dãy số (x„), với x„ = là dãy số bị chặn do với mọi n e N, ta có

0 < x„ < 1

• Dãy số (x„), với x„ = n2, là dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên

do với mọi n 6 N, ta có 0 < x n và x„ rấtlớn khi n lớn

• Dãy số (x„), với x„ = 2, là dãy số hằng

1.3 DÃY SỐ 25

1.3.1 Dãy hội tụ

Định nghĩa 1.13 Dãy số (x„) được gọi là hội tụ đến số X G R nếu với mọi

số e > 0, tồn tại số Ho thuộc N, sao cho vói mọi n > ỈỈQ thì khoảng cách

giữa x n và X nhỏ hơn e. Khi đó, X được gọi là giới hạn của dãy số (x,i), và

ta viết

X = lim X t1

n -> 4 cohay

Định lý 1.2 Nếu dãy (xrt) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.

Chứng minh Giả sử x„ —> X và X n —> 1/ khi n — > +oo Ta chi'rng tỏ X = y. Nếu ngược lại,

nghĩa là X V I/, thì vớie = !,Y 2 1/1 > 0 tồn tại H], «2 € N sao cho

Vn > |x„ - x| < I và Vn > n 2,|x„ - 1/1 < |.

Đặt «3 = max(rt];n2).Với mọi n > ri3 ta có

, , _ , , , e e _ |x - 1/1

|x - 1/1 < - x| + k„ - y\ = e = — 2

Suy ra 1 *2 y' < 0, vô lý Vậy X = 1/ □

Định lý 1.3 Nếu dãy (x„) hội tụ thì nó bị chặn.

26 GIỚI HAN VÀ LIÊN Tực

Chứng minh Giả sửx„ X khin — > +oo Vớie = 1 tồn tại ÍÍ0 6 N sao cho

Hộ quả 1.2 Nếu (x„) không bị chặn thì nó không hội tụ.

Ví dụ 1.10 Dãy (n2) là dãy không bị chặn (do không bị chặn trên) nênkhông hội tụ

Định lý 1.4 (Các quy tắc tính giới hạn) Giả sử limn_>+cox„ = X và

|x„ + y„ - (x + y)| < |x„ - x| + |y„ - yl < I + I = e,\fn > max(„i,n 2).

2 Vì lim„_>+ ooX„ = X nên với t' > 0 tồn tại «0 € N sao cho

ly " yl < £ -2(|x| + |y|)- v " - " 2 - (1- 4)

Từ (1.2), (1.3) và (1.4), với n > max(«0z rỉ iz n ĩh ta có

_ X _ (x„ - x)y - x(y„ - y) y» y y»y

< l( * - * )yl + Ịx(y« -y)l

lynllyl 2

< p-(l(x„ — x)y| + |x(y„ — y)|)

nên áp dụng Các quy tắc tính giới hạn, ta được:

2n 2 + 3n + 4lim ——X— -—-

n—>co 5h2 + n + 7

2+ 3.0+ 4.0 2

5 + 0 + 7.0 ~ 5’

Định lý 1.5 Cho M là một số thực Nếu (x„) hội tụ và x n >■ 0, Vh > M

thì lim xn > 0 Suy ra, nếu (Xn),(y n ) hội tụ và x n > yn ,Yn > M thì

tỉ->OQ

lim xn > lim yn

n—>4-00 J1 — 1-00

28 GIỚI HẠN VÀ LIÊN Tực

Chứng minh. Đặt X — lim x rl. Nếu X < 0 thì với e = -ỉ > 0 tồn tại n ữ G N, n ữ > M

II —>4-00 z sao cho

nên áp dụng Tiêu chuẩn kẹp, ta được lim x„ = 0

Ngược lại, nếu lim x„ = 0 thì với mọi e > 0, tồn tại no € N để cho

El Mở rộng khái niệm hội tụ của dãy số

Định nghĩa 1.14 Dãy (xn) dược gọi là hội tụ về +00, khi 77 —> + co, ký hiệulim x„ = + co, nếu

2 Chia hai trường hợp.

Do dó, theo tiêu chuẩn kẹp, X), —> 0 khi n — > 4-00.

(b) Trường hợp p = 1 thì hiển nhiên Trường hợp 0 < p < 1, ta dặt q = i > 1.

Theo trường hợp trên thì ọ7ị — > 1, do dó ựp = -ỹzz -■> 1.

3 Vì x„ = i/n — 1 > 0,Vn € N * nên n = (1 + x„)" > C^X^J — Vn > 2 Suy ra

với mọi n > k.Áp dụng tiêu chuẩn kẹp và giới hạn ở 1, ta có kết quà.

5 Nếu q — 0 thì hiển nhiên q" — > 0 Khi q 0, tồn tại p > 0 sao cho |í?| =

1.3 DÃY SỐ 31

1.3.2 Dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.15 Dãy số (%n) được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với mọi

n € N,x„ < X,J,| 1 (xn > xn -ị 1) Một dãy hoặc tăng hoặc giảm được goi là

dãy đơn điệu.

Định lý 1.8. Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều là dãy hội tụ.

Chứng minh Xét dãy (x„) tăng và bị chặn Dặt X = sup x„ Với e > 0 ta có riQ N sao

)ÍỄ N

cho X — € < x„() < X. Khi đó, vì (x„) tăng nên với mọi n > no ta có

X — e < x„ữ < xn < X < X + e => |x„ — x| < e.

Khi (x„)giảm và bị chặn thì ( —x ) tăng và bị chặn nên là dãy hội tụ Do đó, (x„) cũng

là dãy hội tụ và giới hạn của dãy chính là inf xn □

' ỊcỊ 11^'

k=0

Tiếp theo,bằng quy nạp, ta chứng tỏ dãy (x„) bị chặn trên bởi 2 Ta có

X'1 = y/ĩ < 2. Giả sử x„ < 2 Suy ra Xn+1 = ự 2 4- xn < \/2 + 2 = 2

Do (x„) là dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ Đặt lim xn — a, ta

Chú ý 1.1 Dãy (x„) là dãy con của chính nó Hơn nữa, từ định nghĩa, tasuy ra mọi dãy con của một dãy bị chặn thì bị chặn cũng như mọi dãy concủa một dãy dơn điệu cũng là dãy đơn diệu.

Định lý 1.9 Dãy (x„) hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều la dãy hội tụ

«0-|x„ Ẳ - x| < c,

Ví dụ 1.16 Dãy số (xn) với x,t — ( —1)" có hai dãy con (x2 k) và (X2k+1)• Vì

x 2k = 1 —> I và X2Ă-+1 = —1 —> — 1 nên (x„) không hội tụ

Bây giờ, xét dãy (x„) bị chặn Ta cóthể chứng minh dược rằng mọi dãy

số đều có ít nhất một dãy con đơn điệu (xem [4]) Do đó, dãy (xn) có dãy

con (x„j.) dơn điệu Vì (x„J cũng là dãy bị chặn nôn là dãy hội tụ, theoĐịnh lý 1.8 Vậy, ta có

Định lý 1.10 (Bolzano Weierstrass) Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy

con hội tụ.

1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM số

1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số

£3 Điểm tụ, điểm cô lập

Định nghĩa 1.18 Cho D là tập con khác rỗng của R và a là một số thực

Ta nói:

Tương tự như vậy, 1 củng là điểm tụ của D.

• 4 là điểm cô lập của D vì

on (4-L44T) \{4} =0.

Mệnh đề 1.1 Số thực ft ỉà điểm tụ của D nếu và chỉ nếu có một dãy (x n ) trong

D \ {ft} sao cho xn —> ft.

Chứng minh Chiều thuận Lấy dãy (e,;) dương và giâm về 0 Trong ey — lân cận của a

tồn tại X'1 6 D \ {a} Trong 62 — lân cận của ŨC tồn tại Ằ'2 € D \ {«, Xy } Rồi trong 63 —

lân cận của a tồn tại * 3 G D \ {a., x-y, X3} Tiếp tục như vậy ta có dãy (x„) c D sao cho

Vậy, tx là diểm tụ của D □

Định nghĩa 1.19 Cho hàm số /(x) xác định trên (a;b) chứa ft, có thêkhông xác định tại ft Ta nói số thực p là giới hạn của /(x) khi X tiến tới

ft nếu với mọi e > 0, tồn tại ỏ >0 sao cho với mọi X e (a; b) \ {ft} nếu