Toán cao cấp c1 phần 1 IUH

KHOA KHOA HỌC cơ BẢN Tổ TOÁN LÊ VĂN LAI, NGUYỄN ĐÌNH TÙNG, Đỗ HOÀI vũ TOÁN CAO CẤP C1 (Lưu hành nội bộ) TRƯỜNG ĐẠI HOCC0NG NGHIỆP THÀNII PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC cơ BẢN Tổ TOÁN LÊ VĂN LAI, NGUYỄN.

KHOA KHOA HỌC cơ BẢN - Tổ TOÁN

LÊ VĂN LAI, NGUYỄN ĐÌNH TÙNG, Đỗ HOÀI vũ

LÊ VĂN LAI, NGUYỄN ĐÌNH TÙNG, ĐÔ HOÀI vũ

TOÁN CAO CẤP C1

Lời nói đầu

Được sự chấp thuận của Trưởng khoa Khoa học Cơ bản và Tập thể tổ Toán, cuốn sách TOÁN CAO CÂP C1 trở thành giáo trình chính thức từ năm học 2017 - 2018

Giáo trình được biên soạn sát chương trình của sinh viên các trường đại học khối ngành kinh tế, quản trị kinh doanh Kiến thức được trình bày chi tiết một cách logic, dễ hiểu Trong sách có nhiều ví dụ liên quan dến kinh tế, quản trị kinh doanh được lồng ghép vào kiến thức toán học một cách nhẹ nhàng, hòa quyện vào nhau Điều này là một minh chứng cho thấy toán học và các ngành học khác là không thể tách rời

Giáo trình được chia thành sáu chương:

Chương 1: Giới hạn và liên tục

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Chương 3: Phép tính vi phân hàm hai biến

Chương 4: Tích phân

Chương 5: Chuỗi số

Chương 6: Phương trình vi phân cấp một

Sau mỗi chương đều có phần bài tập trắc nghiệm tự luận và trắc nghiệm khách quan

Chúng tôi xin gửi lời chân thành cảm ơn quý thầy, cô trong tổ Toán của Khoa Khoa học Cơ bản - Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu Giáo trình đã được phản biện lần đầu và sẽ tiếp tục cập nhật

Đặc biệt, xin cảm ơn quý thầy, cô tham gia phản biện giáo trình: Huỳnh Hữu Dinh, Huỳnh Văn Hiếu, Nguyễn Đức Phương, Bùi Thị Thu Phương, Mai Thị Thu

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2017

Nhóm tác giả

Lời nói đầu 3

Mục lục 4

1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 9 1.1 Cơ bản về số thực 9

1.1.1 Các tập số thường gặp 9

1.1.2 Tập thực mở rộng 11

1.2 Hàm số 12

1.2.1 Khái niệm hàm số 12

1.2.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số 13

1.2.3 Hàm số ngược 16

1.2.4 Hàm số hợp 17

1.2.5 Hàm số sơ cấp cơ bản 18

1.2.6 Hàm số sơ cấp 23

1.3 Dãy số 25

1.3.1 Dãy hội tụ 27

1.3.2 Dãy đơn điệu 30

1.3.3 Dãy con 31

1.4 Giới hạn của hàm số 31

1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 31

1.4.2 Các quy tắc tính giới hạn 33

1.4.3 Tính chất kẹp 35

1.4.4 Giới hạn của hàm hợp 36

MỤC LỤC 5

1.4.5 Giới hạn một phía 36

1.4.6 Mở rộng khái niệm giới hạn 38

1.4.7 Hai giới hạn quan trọng 42

1.5 Tính liện-tục của hàm số 43

1.5.1 Định nghĩa và tính chất 43

1.5.2 Liên tục một phía Phân loại điểm gián đoạn 45

1.5.3 Hàm liên tục trên một đoạn 46

1.6 Tính liên tục của hàm số sơ cấp 47

1.6.1 Hàm lũy thừa và căn thức 47

1.6.2 Hàm mũ và hàm logarit 48

1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược 49

1.7 Vô cùng bé, vô cùng lớn và giới hạn 50

1.7.1 Hàm tương đương 50

1.7.2 \VÔ cùng bứXVCB) ■ 52

1.7.3 <^Qcùng lớn (VCL) 55

1.8 Bài tập 57

2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 64 2.1 Đạo hàm và vi phân cấp một 64

2.1.1 Đạo hàm 64

2.1.2 Vi phân 72

2.1.3 Phân tích cận biên 74

2.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao 77

2.2.1 Đạo hàm cấp cao 77

2.2.2 Vi phân cấp cao 78

2.3 Các định lý giá trị trung bình 79

2.3.1 Khái niệm cực trị 79

2.3.2 Định lý Fermat 79

2.3.3 Định lý Rolle 80

2.3.4 Định lý Cauchy 81

2.3.5 Định lý Lagrange 81

2.4 Quy tắc L'Hopital 82

2.4.1 Dạng 5 82

2.4.2 Dạng — 84

OQ 2.4.3 Các dạng vô dịnh khác 85

2.5 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và ứng dụng trong kinh tế 89

2.6 Độ co giãn của cầu theo giá 93

2.7 Bài tập 96

3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIEN 104 3.1 Đạo hàm riêng 104

3.1.1 Hàm hai biến 104

3.1.2 Đạo hàm riêng cấp một 107

3.1.3 Đạo hàm riêng cấp hai 110

3.2 Vi phân - 112

3.2.1 Khái niệm vi phân 112

3.2.2 Vi phân cấp hai 113

3.3 Cực trị tự do 114

3.3.1 Khái niệm cực trị tự do 114

3.3.2 Điều kiện cần của cực trị 115

3.3.3 Điều kiện đủ của cực trị 116

3.3.4 ứng dụng cực trị tự do trong kinh tế 118

3.4 Cực trị có điều kiện 121

3.4.1 Khái niệm cực trị có điều kiện 121

3.4.2 Phương pháp khử 122

3.4.3 Phương pháp nhân tử Lagrange 122

3.4.4 Úng dụng cực trị có điều kiện trong kinh tế 125 3.5 Bài tập T29

MỤC LỰC 7

4.1 Tích phân bất định 136

4.1.1 Nguyên hàm 136

4.1.2 Tích phân bất định 137

4.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định 138

4.1.4 Úng dụng tích phân bất định trong kinh tế 142

4.2 Tích phân xác định 143

4.2.1 Định nghĩa và tính chất 143

4.2.2 Công thức Newton - Leibniz 147

4.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định 149

4.2.4 Thặng dư của người tiêu dùng, thặng dư của nhà sản xuất 151

4.3 Tích phân suy rộng 155

4.3.1 Tích phân suy rộng loại một 155

4.3.2 Tích phân suy rộng loại hai 161

4.4 Bài tập 166

5 CHUỖI SỐ 174 5.1 Cơ bản về chuỗi số 174

5.1.1 Các khái niệm về chuỗi số 174

5.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 176

5.1.3 Tính chất của chuỗi hội tụ 177

5.2 Chuỗi số dương 179

5.2.1 Khái niệm chuỗi dương 179

5.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 181

5.3 Chuỗi có dấu bất kỳ 187

5.3.1 Chuỗi đan dấu 187

5.3.2 Hội tụ tuyệt đối 188

5.4 Bài tập 1 190

6.1 Các khái niệm cơ bản 200

6.2 Phương trình vi phân cấp một 201

6.2.1 Một số khái niệm cơ bản 201

6.2.2 Phương trình khuyết 202

6.2.3 Phương trình tách biến 203

6.2.4 Phương trình đẳng cấp 206

6.2.5 Phương trình vi phân toàn phần 209

6.2.6 Phương trình tuyến tính cấp một 213

6.2.7 Phương trình Bernoulli 217

6.3 Bài tập 218

HƯỚNG DẪN - ĐÁP ÁN 226

Chương 1

1.1 Cơ bản về số thực 9

1.2 Hàm số 12

1.3 Dãy số 25

1.4 Giới hạn của hàm số 31

1.5 Tính liên tục của hàm số 43

1.6 Tính liên tục của hàm số sơ cấp 47

1.7 Vô cùng bé, vô cùng lớn và giới hạn 50

1.8 Bài tập 57

1.1 Cơ bản về số thực 1.1.1 Các tập số thường gặp Tập hợp tất cả các số nguyên không âm được ký hiệu là N, nghĩa là N = {0;l;2

Tập hợp tất cả các số nguyên dương được ký hiệu là N*, nghĩa là N * = {1;2;3

Tập hợp tất cả các số nguyên được ký hiệu là z, nghĩa là z = { - 2; — 1; 0,1; 2

Tập hợp tất cả các số hữu tỷ được ký hiệu là Q, nghĩa là

số hữu tỷ Từ đó, xuất hiện tập hợp các số dùng để biểu diễn cho các số đo trong các hoàn cảnh như thế này Tập các số như thế được gọi là tập các số

vô tỷ

Tập hợp tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập hợp các số thực và

được ký hiệu là R Để chỉ số a là số thực ta viết a € R, và đọc là "a thuộc

Khoảng cách giữa hai so a và Mà \a — &|, là độ dài đoạn thẳng nối a với b

Hai số thực a và b được gọi là gần nhau nếu \a — bỊ gần bằng 0

Định nghĩa 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng của R, và oc G R.

• a là phần tử nhỏ nhất của A nếu Ct € A và oc < X với mọi X € A Phần

tử nhỏ nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là min A

• a là một chặn trên của A nếu ữc > X với mọi X € A Khi A có một chặn

trên, ta nói A bị chặn trên

• ít là phần tử ỉớn nhất của A nếu <x E A và a > X với mọi X G A Phần

tử lớn nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là max A

• ít là một chặn dưới của A nếu ŨC < X với mọi X G A Khi A có một chặn

dưới, ta nói A bị chặn dưới

1.2 Hàm số 11

• Tập A vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là tập bị chặn.

Trong tập các số thực, tập các số ngưyên tự nhiên N được coi là tập con nhỏ nhất của R thỏa ba tính chất:

1 1 € N;

2 Vn e N, n 4- 1 € N;

3 Mọi tập con khác rỗng của N đều có phần tử nhỏ nhất

Ta chấp nhận kết quả sau đây

(±00) X (4=00) = —00

Do không mở rộng khoảng cách giữa hai số thực qua khoảng cách giữa một số thực với các phần tử ±00 hay giữa —00 và 4-00, người ta đưa ra khái niệm lân cận như sau:

• Với X G R khoảng (x — ô’, X 4- <5) với ô > 0 được gọi là ỏ — lân cận

của X

• Các tập (íS; 4-00) và (—00; J), với ỗ là một số thực, lần lượt được gọi là

Ố lân cận của 4-00 và —00

1.2 Hàm số

Trong nhiều tình huống thực tế, giá trị của một đại lượng này có thể phụ thuộc vào giá trị của một đại lượng thứ hai Ví dụ, nhu cầu tiêu dùng thịt bò có thể phụ thuộc vào giá thị trường hiện tại; lượng ô nhiễm không khí trong khu vực đô thị có thể phụ thuộc vào số xe ô tô trên đường; hoặc giá trị của đồng xu cổ có thể phụ thuộc vào tuổi của nó Những mối quan

hệ như vậy thường có thể được mô tả theo toán học dưới dạng hàm số

1.2.1 Khái niệm hàm số

Định nghĩa 1.2 Cho D là một tập con khác rỗng của R Hàm số f từ tập

D vào R là một quy tắc làm tương ling mỗi phần tử X € D với một và chỉ một phần tử/(x) e R

Để chỉ hàm số như thế, ta ký hiệu là

f : D > R,

X I > y = /(x)

• Tập D được gọi là miền xác định của hàm f.

• Với X G D, f(x) được gọi là giá trị của f tại X.

• Miền giá trị của hàm f là tập hợp tất cả các /(x), khi X thay đổi trong

D, được ký hiệu là R f,

Rf = {f(x) :xeD}.

Hình 1.1: Hàm số f làm tương ứng X với /(x)

Khi hàm số f được cho bởi một công thức, thì miền xác định của nó

là tập hợp các số thực X làm cho công thức có ý nghĩa Ví dụ hàm'số /(x) = ựx — 3 có miền xác định D = {x : X e R, X > 3} vì ựx — 3 có nghĩa nếu X — 3 > 0

1.2 Hàm số 13

Ví dụ 1.2 Trong lý thuyết kinh tế vi mô cơ bản, cung là lượng của một mặt

hàng mà người bán muốn bán ở mỗi mức giá có thể chấp nhận được Do đó, ứng

với mỗi mức giá bán p thì lượng hàng Q sẽ được bán Như vậy, Q là một hàm theo p, ta ký hiệu hàm này là Q = S(p), và gọi đây là hàm cung

Cũng trong lý thuyết cơ bản này, cầu là lượng của một mặt hàng mà người

mua muốn mua ở mỗi mức giá có thể chấp nhận được Do đó, ứng với mỗi mức

giá bán p thì lượng hàng Q sẽ được mua Như vậy, Q là một hàm theo p,

ta ký hiệu hàm này là Q — D(P), và gọi đây là hàm cầu

Đồ thị của hàm số y = /(x) có được bằng cách vẽ tất cả các điểm (x; y)

với X e D và y = f(x) (Hình 1.2) Nếu ta bắt đầu từ X = a trên trục

Ox, di chuyển theo phương thẳng đứng đến đồ thị, sau đó di chuyển theo phương ngang đến trục Oy, ta sẽ nhận được giá trị f(à)

Hình 1.2: Đồ thị của hàm y — f(x)

1.2.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số

■ Tính đơn điệu

ĐỊnh nghĩa 1.3 Cho hàm số /(x) xác định trên khoảng (ữ;fc>)

• Hàm số y = y(x) được gọi là hàm tăng trên («; b) (Hình 1.3.a) nếu

V%1,X2 G (a;b),xỵ < x2 => /(1)* < f(x2).

• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm giảm trên (a; b) (Hình 1.3.b) nếu

Vxi,x2 e < x2 => /(Xi) > f(x2).

■ Tính chẵn, ỉẻ

Định nghĩa 1.4 Xét hàm y(x) có miền xác định D đối xứng qua gốc tọa

độ o, nghĩa là nếu X thuộc D thì — X cũng thuộc D Khi đó,

• Hàm số /(x) được gọi là hàm chẵn nếu

Vx G D,/( —x) = /(x);

Định nghĩa 1.5 Hàm số /(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số dương T sao cho

Vx G D, (x ± T G D và f(x - T) = /(x) = f(x + TỴ)

Số dương T nhỏ nhất nếu có được gọi là chu kỳ tuần toàn của f(x).

Định nghĩa 1.6 Hàm số f(x) đươc 201 là hàm số tươne ứne 1 — 1 nếu với

mỗi y G Rf chỉ có duy nhất X e D sao cho y = /(x)

Hình 1.7: Đồ thị của hàm 1—1, hàm không phải 1 — 1

về mặt hình học, hàm y — f(x) là hàm số tương ứng 1 — 1 nếu như một đường thẳng cùng phương với Ox cắt đồ thị của hàm này nhiều nhất

là một điểm

Hình 1.8: Đồ thi của hàm y = y(x) và y = f 1(x)

Định 'ríghĩa 1.7 Nếu hàm sổ ỹ — f(x) là hàm tương ứng 1-1 thì với mỗi

y € Rf, tồn tại duy nhất X G D sao cho /(x) = y Do đó, quy tắc làm tương

1.2 Hàm số 17ứng mỗiy với X G D sao cho y(x) = y là một hàm số, và ta gọi đó là hàm ngược của hàm y = f(x), ký hiệu là X — f~ỵ (y).

Thông thường, ta dùng chữ X để chỉ biến số và y để chỉ giá trị của hàm tại X nên hàm ngược của y — f(x) được viết là y = /-1(x) Khi đó, nếu

điểm (x;y) thuộc đồ thị của hàm số y = f{x} thì điểm (y;x) thuộc đồ thị

hàm ngược y — f 1 (x) Vì hai điểm (x;y) và (y; x) đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất nên suy ra đồ thị hàm số ngược y = f 1 (x) đối xứng với đồ thị hàm số y = y(x) qua đường phân giác thứ nhất (Hình 1.8)

1 — 1, do đó, hàm cung có hàm ngược là p = S-1(Q) Chẳng hạn, nếu

y e Rf sao cho /(x) = y, và với y này qua g sẽ một và chỉ một z e Rg sao

cho g(y) = z Như vậy, mỗi X & Df ứng với một và chỉ một z e Rg xác

Ví dụ 1.5 Cho hai hàm số /(x) = y/x và g(x) = 1 — X Hãy tìm (g o /)(x),

(/ ° g) (x)' (/ ° /) (x) và (.g ° g) (x) cùng với miền xác định của chúng

Gỉảỉ Hai hàm số đã cho có miền xác định lần lượt là Df = [0; +oo) và

Dg = (—oo; H-oo) Công thức của các hàm hợp cần tìm và miền xác định của chúng được tìm thấy như sau:

(go/)(r) - g(/(x)) = 1 - ựĩ [0; +oo)(/ °£)(x) = /(£(*)) = x/1 - X (—oo; 1]

(M)(x) =/(/(*)) = y* [0; +oo)(g°^)W = g(g(x)) = X (—oo; H-oo)

1.2.5 Hàm số sơ cấp cơ bản

Các hàm số sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản:

■ Hàm lũy thừa y = xa, a G R

Miền xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vào ữc Cụ thê:

• Nếu a E N thì miền xác định của hàm số là R.

• Nếu a là số nguyên âm thì miền xác định của hàm số là R \ {0}

• Nếu a — 2, p e z,í? G z,í? > 0 thì

— Nếu q lẻ và

* p > 0 thì rriiền xẩc định là R;

* p < 0 thì miền xác định là R \ {0}

Số a được gọi là cơ số của hàm số mũ Hàm y = ax có miền xác định là

R, tăng khi a > 1, và giảm khi a < 1

Hình 1.9: Đồ thị của hàm y — ax

■ Hàm logarỉt y — logđ X, 0 < a 7^ 1

Là hàm ngược của hàm y = ax số a được gọi là cơ số của hàm số logarit y = loga X Hàm số logarit y = loga X có miền xác định là (0; 4-oo)z tăng khi a > 1, và giảm khi a < 1

Hình 1.10: Đồ thị của hàm y = loga X

■ Các hàm lượng giác

Các hàm lượng giác y = sin X, cos X, tan X, cot X được định nghĩa như sau (Hình 1.11):

cosx = OM; sin X = ON; tan X = AP; cot X = BQ

1 Hàm y = sin X có miền xác định là R và miền giá trị là [—1; 1] Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2zr Đồ thị của hàm y — sin X trên

[ — 71; 7ĩ] được cho bởi hình 1.12.

Hình 1.12

2 Hàm y = cos X có miền xác định là R và miền giá trị là [—1; 1] Đó là

một hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2zr ĐỒ thị của hàm y = cos X trên [—tĩ ; 7 ĩ ] được cho bởi hình 1.12.

1.2 Hàm số 21

3 Hàm y — tanx xác định tại mọi X (2k + l)y,k € z, và miền giá

trị là R Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ TC Đồ thị của hàm

y = tan X trên ( — ậ; 2”) được cho bởi hình 1.13

4 Hàm y = cot X xác định tạỉ mọi X 7^ kĩĩ, k & z, và miền giá trị là R

Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 7T Đồ thị của hàm y = cot X trên (0; tt) được cho bởi hình 1.13

■ Các hàm lưựng giác ngược

1 Hàm arcsỉn Hàm số sin : R —> [—1; 1] không là hàm 1-1 nhưng khi

Hình 1.14: Đồ thị các hàm lượng giác ngược

ta hạn chế miền xác định thành [—yí ậ] thì sin : [— j] —> [—1; 1]

là hàm 1-1 Khi đó, tồn tại hàm so ngược của hàm sin, ký hiệu arcsin,

Ta có

arcsiWl;!]

Tính chất: Với mọi XE [—1; 1] ta có

(a) sin(arcsinx) = X

(b) arcsin( —x) = — arcsinx

Đồ thị: Hàm y — arcsin X có đồ thị như hình 1.14.a,

2 Hàm arccos Tương tự, hàm số cos : [0; 7t] —> [—1; 1] là hàm 1-1 nên

có hàm ngược, ký hiệu là arccos,

Định nghĩa 1.9 Cho hai hàm f và g có miền xác định lần lượt là Df và Dg

ta định nghĩa các hàm tổng, hiệu, tích và thương như sau:

• Tổng của f và g, ký hiệu là f -I- g, là hàm số xác định trên miền mà

• Thương của f và g, ký hiệu là là hàm số xác định trên miền mà cả

f và g cùng xác định, đồng thời g(x) phải khác không, và

(1) (x) = WxeD,

\gj g(x)

D = {x G Dy n Dg : g(x) 7 0}

Ví dụ 1.6 Hai hàm số

/(x) = y/x và g(x) — y/1 — X

CÓ miền xác định lần lượt là Df = [0; H-oo) và Dg = (—oo; 1] Phần chung của hai miền xác định này là Df n Dg — [0; 1] Bảng sau tổng hợp các công thức và miền xác định của các hàm tổng, hiệu, tích và thương được tạo thành từ/(x) và g(x)

■ Doanh thu, chi phí, và lợi nhuận

• Doanh thu Khi một doanh nghiệp bán được Q đơn vị hàng hóa với mức giá p, thỏa hàm giá - cầu p — E>-1 (Q), thì doanh thu của doanh nghiệp là

R(Q) = Q.p = Q.D~' (Q).

• Chỉ phí Để sản xuấí ra Q đơn vị hàng hóa trong mỗi đơn vị thời gian (Q được gọi là mức sản lượng), doanh nghiệp phải chi ra cho cả yếu tố sản xuất cố định và yếu tố sản xuất biến đổi Lượng tiền chi ra như vậy được gọi là tổng chi phí, đó là một hàm số theo Q, có dạng

trong đó, Co là chi phí cố định (không thay đổi theo mức sản xuất: tiền thuê mặt bằng, tiền khấu hao máy móc thiết bị và nhà xưởng, tiền lãi và tiền lương của các cán bộ quản lý, ), và f(Q) là chi phí biến đổi (thay đổi theo mức sản xuất của doanh nghiệp) Chẳng hạn,

1.3 Dãy số 25

• Lợi nhuận Khi doanh nghiệp sản xuất và bán ra được Q đơn vị hàng

hóa với giá p, trong mỗi đơn vị thời gian, thì lợi nhuận của doanh nghiệp là

n(Q) = R(Q)-C(Q)

Ví dụ 1.8 1 Một nhà sản xuất máy ảnh kỹ thuật số dân dụng bán sỉ máy ảnh cho các điểm bán lẻ trên khắp Hoa Kỳ Qua thống kê và xử lý số liệu thì thu được hàm giá - cầu

p = 94,8 - 5Q,

và hàm tổng chi phí là

C(Q) = 156+ 19,7Q,

trong đó, 1 < Q < 15, có đơn vị tính là triệu và p là giá một máy ảnh có

đơn vị tính là USD Hãy

a) Tìm hàm doanh thu của nhà sản xuất máy ảnh

b) Tìm hàm lợi nhuận của nhà sản xuất máy ảnh

Giải a) Doanh thu của nhà sản xuất là

Số Xi được gọi là số hạng thứ nhất, X2 được gọi là số hạng thứ hai, và tổng

quát Xn được gọi là số hạng thứ n Dãy số như vậy được ký hiệu là (x„).

xDựa theo [10]

Số tự nhiên n được gọi là chỉ số của xn Chỉ số này không nhất thiết bắt đầu tại n — 1, nó có thể bắt đầu tại n = 0, n = 2, hoặc một số nguyên

dương tùy ý

Không phải dãy số nào cũng được tạo ra từ một công thức Ví dụ, dãy các chữ số của số 7T :

3;1;4;1;5;9; 2; 6 ,không có công thức cho số hạng thứ n Khi xn có công thức, ta gọi xn là số

hạng tổng quát của dãy số (xn)

Ví dụ 1.9 Ta có ba dãy số sau:

Định nghĩa 1.12 Cho dãy số (xn).

Số hạng tổng quát Miền xác định Day số

• Dãy số (bn), với bn — 2, là dãy số hằng.

• Dãy (x„ ) được gọi là bi chặtUxên nếu tồn tại số M e R sao cho

xn < M,Vn e N.

Dãy (xn) được gọi là bi^ekăỊĩÃĩĩrrtà íLnếu tồn tại số m € R sao cho

xn > tn, Vn G N.

• Day (xM) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn

• Dãy mà tất cả các số hạng bằng nhau được gọi là dãy hằng

Ví dụ 1.10.

• Dãy số (x„), với x n = ỉ, là dãy số bị chặn do với mọi n e N,* ta có

0 < xn < 1.

• Dãy số (ứn), với an = n2, là dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên

do với mọi n e N, ta có 0 < xn và x„ rất lớn khi n lớn

13 Dãy số 27

1.3.1 Dãy hội tụ

Định nghĩa 1.13 Dãy số (xn) được gọi là hội tụ đến số X e R nếu với mọi

số e > 0, tồn tại số no thuộc N, sao cho với mọi n > no thì khoảng cách

giữa xn và X nhỏ hơn e Khi đó, X được gọi là giới hạn của dãy số (xM), và

ta viết

X = lim xn n—>4-00

n—>4-00 n

Định lý 1.1 Nếu dãy (xn) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.

Chúng minh Giả sử Xn —> X và Xn —4 y khi n —> 4-00- Ta chứng tỏ X — y Nếu ngược lại,

nghĩa là X 7^ y, thì với € — 1 2^1 > 0 tồn tại n\, «2 £ N sao cho

Vh > «1, |x„ - x| < I và Vn > n2, |x„ - yl < |

Đặt «3 = max(n1,«2)- Với mọi n > «3 ta có

, 1^1 , , e , e _ I

|x - y\ < |x„ - x| + |x„ - yj < ị 4- ị = e = —2^.

Định lý 1.2 Nếu dãy (xn) hội tụ thì nó bị chặn.

Chứng minh Giả sử Xn —> X khi n -> 4-00 Với e = 1 tồn tại «0 f N sao cho

Hệ quâ 1.1 Nếu dãy (x„) không bị chặn thì nó không hội tụ.

Ví dụ 1.12 Dãy (m2) là dãy không bị chặn (do không bị chặn trên) nên không hội tụ

Định lý 1.3 Nếu limn-,.4-00 xn — X và limn M oc yn = y thì

ĩ lim a.xn = ax,a G R

Định lý 1.4 Nếu (xn) hội tụ và xn > 0,Vn € N thì lim xn > 0 Suy ra, nếu

n—>oo

(rn), (y„) hội tụ và Xn > yn,Vn e N thì lim xn > lim yn

n—t+oữ n—>4-00 Chứng minh Đặt X = limM-4+oo xn Nếu X < 0 thì với € — — ị >0 tồn tại «0 € N sao cho

|xno — x\ < -ị,

suy ra

X X , „ x»n X 2 2 < 0'

{Xn <yn< zn,\/n € N lim xn = a = lim Zn, n—>4-00 rí—>4-00

thì lim yn = a.

Ngược lại, nếu lim xn = 0 thì với mọi e > 0, tồn tại «0 G N để cho

■ Mở rộng khái niệm hộỉ tụ của dãy số

Định nghĩa 1.14 Dãy (xn) được gọi là hội tụ về 4-00, khi n —> 4-00, ký hiệu lịm Xn = 4-00, nếu

1.3.2 Dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.15 Dãy số (x„) được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với mọi

n € N,x„ < X„+1 (xn > X„4-1) Một dãy hoặc tăng hoặc giảm được gọi là dãy đơn điệu.

Đinh lý 1.7 Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều là dãy hội tụ.

Chứng minh Xem trong [1]

Ví dụ 1.14 Xét tính hội tụ của dãy (xn) với xn = -Y n /

Suy ra (xn) tàng Ta sẽ chứng tỏ (xn) bị chặn trên và do đó dãy hội tụ Thật

vậy, với mọi n e N* ta có

/ 1X n ” k 1

I 1 4“ — } — Cn

được gọi là dãy con của dãy (x„) và được ký hiệu là (x„*).

Chú ý 1.1 Dãy (xn) là dãy con của chính nó Hơn nữa, từ định nghĩa, ta suy ra mọi dãy con của một dãy bị chặn thì bị chặn cũng như mọi dãy con của một dãy đơn điệu cũng là dãy đơn điệu

Định lý 1.8 Dãy (x„) hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều là dãy hội tụ

và có chung một giới hạn.

Ví dụ 1.15 Dãy số (xn) với x„ = ( — 1)” có hai dãy con (x2fc) và (x2jt+i) Vì

x2k — 1 —> 1 và X2fc+1 = — 1 —> — 1 nên (x„) không hội tụ

1.4 Giới hạn của hàm số

1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số

Định nghĩa 1.18 Cho hàm số /(x) xác định trên (đ;ỉ>) chứa OL, có thể không xác định tại a Ta nói số thực p là giới hạn của /(x) khi X tiến tới oc nếu

Ve > 0, > 0, Vx e (a;b), (0 < |x — ít| < <5 => |/(x) — p\ < e)

Khi đó, ta viết lim /(x) = ộ

Hình 1.15: Minh họa định nghĩa giới hạn.

Điều này đúng nếu ô = e hoặc ô là một số dương nhỏ hơn €

b) Với e > cho trước, ta cần tìm ô > 0 sao cho với mọi X,

ĩ.4 Giới hạn của hàm số 33

Định lý 1.9 Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) chứa ŨC, có thể không xác định tại oc Khi đó, số thực là giới hạn của f(x) khi X tiến tới OL nếu và chỉ nếu

V(x„) c ((ữ;b) \ {*}), (x„ ŨC => f(xn) -> P)

Ví dụ 1.18 Xét hàm y(x) = X2 4- 2x + 3 Miền xác định của /(x) là Df — R

lim(x2 — 3x 4- 4) = lim X2 — 3 lim X 4- lim 4

X—>a X—>a x-+a X—>a

= ữ2 — 3a 4- 4b) Ta có

Nhận xét 1.1 Ví dụ trên minh họa cho hai kết quả tổng quát hơn như sau:

• Nếu p(x) = anxn 4- «H-1X"-1 4- • • - 4- ữQ, đa thức bậc n, thì

xsin — < |x|,Vx G R \ {0},

X

suy ra

< X sin — < fx[, Vx G R \ {0}zmà

lim(— IxỊ) — 0 = lim |x x->0 7 x-»0 ‘nên

lirn X sin — = 0

X—>0 X

Ví dụ 1.22 Tim lim sin X

X—>0Giải Với mọi X G (—ị; ị) / ta có

|sinx| < |x|

suy ra

— IXI < sin X < |x|, mà

lxl) = 0 = lim |x|

X—>0 X-*0nên lim sin X = 0

X—>0

Ví dụ 1.23 Chứng tỏ lim sin X = sin OL, lim cos X = cos ũt, Voc G R

X—X—

X “o \ 2x2 + 1

/3

2 ■

1.4.5 Giới hạn một phía

Đinh nghĩa 1.19 Cho hàm số f(x) xác định trên (a; x) Ta nói số thực là

giới hạn bên trái của y(x) khi X tiến tới a nếu

Ve > 0, 3 ô > 0, Vx G D, (OCX — x<^=4> |/(x) — 01 < e)

Khi đó, ta viết limx_>a f(x) = hay /(x_) = /3.

Tương tự, cho hàm số y(x) xác định trên (x;b) Giới hạn bên phải của

/(x) khi X tiến tới ŨC bằng /3 nếu

1.4 Giới hạn của hàm số 37

Giải a) Với e > cho trước, ta cần tìm ô > 0 sao cho với mọi X,

0 < a — X < ỏo |x — a| < e

Điều này đúng nếu ô = e hoặc ổ là một số dương nhỏ hơn e

b) Với € > cho trước, ta cần tìm ỏ > 0 sao cho với mọi X,

>0-— í-1' * < 0;

/(x) — ~

J 1, X > 0nên lim /(x) = lim 1 = 1, lim /(x) = lim ( — 1) — —1

X—>04 X—>0+ X—>0 ■ X—>0“

Định lý 1.14 Hàm số f{x} có giới hạn tại oc khỉ và chỉ khi tồn tại giới hạn bên trái, giới hạn bên phải tại ữỉ và hai giới hạn này bằng nhau Vậy,

I lim /(x) = /3, lim fix} = Bo I X^K~ '

7 I lim /(x) = /3

k X—>a +

limxv 1 < /(x), limx_>i /(x), limx_>2/(x), limx >3- y(x)

Chú ý 1.2 Định lý kẹp 1.12 vẫn còn đúng khi các giới hạn trong định lý

được thay bởi các giới hạn một phía

1.4.6 Mở rộng khái niệm giới hạn

Bây giờ, ta mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: giới hạn hữu hạn tại

vô cùng, giói hạn tại điểm hữu hạn bằng vô cùng, và giới hạn tại vô cùng bằng vô cùng

■ Giới hạn hữu hạn ở vô cùng

Định nghĩa 1.20 Cho hàm số /(x) xác định trên (ữ; +oq). Ta nói

• số thực Ịỉ là giới hạn của /(x) khi X tiến tới +oo nếu

Ve > 0, > 0, Vx € (a; +oo), (x > ô => |/(x) — < e)

Khi đó, ta viết lim /(x) = ổ

X—>-t~oo

• số thực ệ> là giới hạn của /(x) khi X tiến tới — oo nếu

Ve > 0, > 0, Vx € («; +oo), (x < —& => |/(x) — Ịỉ\ < e)

Khi đó, ta viết lim /(x) — 8.

1.4 Giới hạn của hàm số 39

Giải, a) Ta chứng tỏ lim = 0, giới hạn còn lại được chứng tỏ tương

tự Với € > 0 cho trước, ta cần tìm ỏ > 0 sao cho với mọi X > 0,

Điều này đúng với mọi ỏ > 0

Chú ý 1.3 Định lý kẹp 1.12 vẫn còn đúng khi các giới hạn trong định lý được thay bởi các giới hạn hữu hạn ở vô cùng

X—

Các giới hạn lim /(x) — 4-00, lim — — ooz lim f(x) = 4-00, và

tương tự Cho M > 0, ta chứng tỏ có số ỏ > 0 sao cho