Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 1 - TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên, cung cấp cho người học những kiến thức như: Bổ túc về giải tích kết hợp; Biến cố ngẫu nhiên; Xác suất của biến cố ngẫu nhiên; Các định lý cơ bản của xác suất; Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes. Mời các bạn cùng tham khảo!

Trường Đại học Thương mại

Bộ môn Toán

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ

TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Email: tuyetmainguyen@tmu.edu.vn

1 Bổ túc về giải tích kết hợp

2 Biến cố ngẫu nhiên

3 Xác suất của biến cố ngẫu nhiên

4 Các định lý cơ bản của xác suất

5 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Chương 1

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Một nhóm có thứ tự gồm 𝑘 phần tử (không nhất thiết phải khác

nhau) của 𝑛 phần tử cho trước:

ሚ

𝐴𝑛𝑘 = 𝑛𝑘

𝐶𝑛𝑘 = 𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !

Ví dụ: Một hộp có 5 bi đỏ 8 bi xanh.

• Có bao nhiêu cách lấy được 3 viên bi?

• Có bao nhiêu cách lấy được 3 bi đều mầu xanh?

• Có bao nhiêu cách lấy được 3 bi cùng mầu?

• Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi đỏ và 2 bi xanh?

2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

2.1 Phép thử và biến cố

 Phép thử (hay thí nghiệm): việc thực hiện một tổ hợp

các hành động nào đó mà ta chưa biết trước được kết quả của nó

 Không gian mẫu: là tập hợp tất cả các kết quả có thể

xảy ra của phép thử

 Biến cố: là một tập con của không gian mẫu.

VÍ DỤ: TRONG HỘP CÓ 1 BI XANH, 1 BI ĐỎ VÀ 1

BI VÀNG HÃY XÁC ĐỊNH KHÔNG GIAN MẪU VÀ CÁC KẾT CỤC CỦA CÁC PHÉP THỬ SAU

a) Lấy ra ngẫu nhiên 1 bi từ hộp

b) Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 bi từ

hộp.

c) Lấy ra lần lượt 2 bi từ hộp.

d) Lấy ra ngẫu nhiên 1 bi từ hộp, xem

màu, trả lại hộp rồi lại lấy ra ngẫu nhiên

1 bi nữa.

Phân loại biến cố:

• Biến cố chắc chắn (U): là biến cố nhất định xảy ra

khi phép thử được thực hiện

• Biến cố không thể có (V): là biến cố không thể xảy

ra khi phép thử được thực hiện

• Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc

không xảy ra khi phép thử được thực hiện

(Biến cố ngẫu nhiên được kí hiệu bởi các chữ cái hoa

A, B, C…)

V Í DỤ : XÉT PHÉP THỬ GIEO HAI CON XÚC XẮC CÂN ĐỐI

BIỂU DIỄN CÁC BIẾN CỐ SAU DƯỚI DẠNG TẬP HỢP

a) A là biến cố xuất hiện hai mặt 1 chấm

b) B là biến cố xuất hiện hai mặt 4 chấm

c) C là biến cố xuất hiện hai mặt cùng chấm

d) D là biến cố tổng số chấm bằng 8

e) E là biến cố tích số chấm xuất hiện là số lẻ.

2.2 Mối quan hệ giữa các biến cố

a) Tổng các biến cố:

𝐴 + 𝐵Xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố xảy ra

Ví dụ 1: Xét phép thử: Hai người cùng bắn vào mục tiêu:

• A là biến cố: người thứ nhất bắn trúng

• B là biến cố: người thứ hai bắn trúng

• A+B: biến cố một trong hai người bắn trúng

⇒ Mục tiêu bị trúng đạn

Ví dụ 2: Tung con xúc xắc 6 chấm:

• 𝐴𝑖 là biến cố mặt thứ 𝑖 xuất hiện (𝑖 = 1, 6)

• 𝐴2 + 𝐴4 + 𝐴6: biến cố xuất hiện số chấm là chẵn

b) Tích các biến cố:

𝐴 𝐵 Xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố xảy ra.

Ví dụ: Học sinh đgl thi đỗ nếu cả hai môn Văn

và Toán cùng trên 5 điểm.

• A: Học sinh được trên 5 điểm Văn.

• B: Học sinh được trên 5 điểm Toán.

• 𝐴 𝐵: Học sinh thi đỗ

c) Các biến cố đồng khả năng:

Là các biến cố mà khả năng xảy ra hay không xảy ra của chúng đều như nhau.

Ví dụ: Gieo con xúc xắc cân đối, đồng chất thì

khả năng xuất hiện các mặt đều như nhau.

d) Các biến cố xung khắc:

• Hai biến cố 𝐴, 𝐵 đgl xung khắc nếu chúng

không thể cùng xảy ra trong một phép thử Tính chất: 𝐴, 𝐵 xung khắc thì 𝐴 𝐵 = 𝑉.

• Các biến cố 𝐴1, 𝐴2, , 𝐴𝑛 đgl xung khắc

từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong hệ

xung khắc với nhau ( 𝐴𝑖 𝐴𝑗 = V ∀𝑖, 𝑗).

Ví dụ: Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ, 5 bi

vàng Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi:

• 𝐴𝑖(i = 0,1,2) là biến cố trong 2 viên lấy

được có 𝑖 bi xanh

• 𝐴𝑖 là các biến cố xung khắc từng đôi.

f) Hai biến cố đối lập:

Hai biến cố 𝐴, 𝐵 đối lập nếu chúng lập nên một

hệ đầy đủ biến cố.

Kí hiệu: biến cố đối lập với 𝐴 kí hiệu là ҧ 𝐴.

Tính chất: ቊ 𝐴 𝐴 = 𝑉 ҧ

𝐴 + ҧ 𝐴 = 𝑈

3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

3.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Trong một phép thử có n kết cục đồng khả năng với m kết cục thuận lợi cho biến cố A Xác suất của biến cố A, kí kiệu P(A) là tỷ số:

Tính chất:

• 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1.

Ví dụ : Cho hộp có 10 chính phẩm và 5 phế

phẩm Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Tìm xác suất :

a, Lấy được 3 chính phẩm.

b, Lấy được 2 loại sản phẩm.

c, Lấy được 3 sản phẩm cùng loại.

Định nghĩa 1 Giả sử ta thực hiện phép thử nào đó n

lần Gọi nA là số lần biến cố A xuất hiện Khi đó tần

suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là:

n

n A

fn( ) = A

3.2 Định nghĩa thống kê về xác suất

Ví dụ: Tung 100 lần đồng xu thấy có 52 lần mặt sấp

xuất hiện, ta có fn(A) = 52/100

Số lần tung (n) Số lần xuất hiện

Nhận xét: Khi số phép thử n nhỏ thì f n (A) thay đổi rõ

rệt còn khi n khá lớn thì tần suất f n (A) càng dao động

ít đi và dao động xung quanh một vị trí cân bằng p

không đổi nào đó

Định nghĩa 2 Xác suất của biến cố A trong một phép

thử là giá trị cân bằng p không đổi khi số phép thử

tăng lên vô hạn

Khi n đủ lớn ta lấy: p = P(A) ≈ f n (A).

Nguyên lý xác suất nhỏ: nếu một biến cố có

xác suất rất nhỏ (gần 0), biến cố đó hầu không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.

3.3 Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ

Nguyên lý xác suất lớn: nếu một biến cố có

xác suất lớn (gần 1), biến cố đó hầu chắc chắn xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.

VÍ DỤ: NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT NHỎ

Một chiếc máy bay đều có một xác suất rất nhỏ đề xảy ra tai nan Nhưng trên thực tế ta vẫn không từ chối đi máy bay vì tin tưởng rằng trong chuyến bay

ta đi sự kiện máy bay rơi không xảy ra.

Hiển nhiên, việc quy định một mức xác suất thế nào được gọi là nhỏ sẽ tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.

Xác suất máy bay rơi là 0.001 => KHÔNG NHỎ!! Thực tế: Xác suất một chiếc máy bay gặp tai nạn là

0,00001%

4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

4.1 Xác suất có điều kiện

Định nghĩa: Xác suất có điều kiện 𝑃 𝐴 𝐵 là xác

suất của biến cố 𝐴 được tính sau khi biến cố 𝐵 đã xảy ra

Ví dụ: Một hộp đựng 12 sản phẩm tốt và 3 sản

phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại

ra 2 sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy ở lần 2

là tốt, biết rằng sản phẩm lấy ở lần 1 là tốt.

4.2 Tính độc lập của các biến cố

Định nghĩa 1: Hai biến cố 𝐴, 𝐵 đgl độc lập nếu sự

xuất hiện của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia và ngược lại

Tính chất: 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 ത𝐵 = 𝑃(𝐴)

Hoặc

𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 ҧ𝐴 = 𝑃(𝐵)

Ví dụ: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu.

𝐴𝑖: biến cố người i bắn trúng mục tiêu

Khi đó 𝐴1, 𝐴2 độc lập với nhau

Chú ý: Nếu 𝐴, 𝐵 độc lập thì ∶ ቐ

𝐴, ത𝐵

𝐴, 𝐵ഥ

𝐴, ത𝐵

cũng độc lập

4.3 Định lý nhân xác suất

Định lý:

𝑷 𝑨 𝑩 = 𝑷 𝑨 𝑷 𝑩 𝑨

= 𝑷 𝑩 𝑷(𝑨|𝑩)

Ví dụ: (Bài 1.27) Một công nhân kỹ thuật đứng 3 máy tiện tự động

hoạt động độc lập với nhau Xác suất để trong khoảng thời gian T các máy cần công nhân đến chăm sóc lần lượt là 0,1; 0,2; 0,3 Tìm xác suất sao cho trong khoảng thời gian T :

a Không máy nào cần công nhân đến chăm sóc.

b Có 2 máy cần công nhân đến chăm sóc.

c Ít nhất một máy cần công nhân đến chăm sóc.

d Máy thứ nhất cần công nhân đến chăm sóc biết rằng có hai máy cần công nhân đến chăm sóc.

Ví dụ: (Bài 1.32) Một đợt thi tuyển viên chức có 3 vòng thi Vòng

1 lấy 80% thí sinh dự thi, vòng 2 lấy 70% thí sinh đã qua vòng 1 và vòng 3 lấy 90% thí sinh đã qua vòng 2 Giả sử khả năng trúng tuyển của các thí sinh là như nhau.

a Tìm xác suất để một thí sinh bất kì trúng tuyển.

b Phỏng vấn ngẫu nhiên một thí sinh, biết thí sinh bị trượt Tìm xác suất để thí sinh bị trượt ở vòng 2.

4.4 Định lý cộng xác suất

Định lý:

𝑷 𝑨 + 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨𝑩)

Hệ quả 1 Nếu 𝐴, 𝐵 xung khắc thì:

Ví dụ: (Bài 1.23) Có hai hộp đựng bút chì:

Hộp I gồm 10 bút màu đỏ và 15 bút màu xanh

Hộp II gồm 8 bút màu đỏ và 9 bút màu xanh

Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút Tìm xác suất sao cho trong các bút lấy ra có:

a Ít nhất một bút màu đỏ

b Chỉ một bút màu đỏ

c Hai bút có màu giống nhau

5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES

5.1 Công thức xác suất đầy đủ

Cho {𝐻1, 𝐻2, , 𝐻𝑛} là một hệ đầy đủ các biến cố, và

𝐴 là một biến cố nào đó có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố 𝐻𝑖 Khi đó:

𝑷 𝑨 = ෍

𝒊=𝟏 𝒏

𝑷 𝑯𝒊 𝑷(𝑨|𝑯𝒊)

Chú ý: Chúng ta thường áp dụng Công thức xác suất

đầy đủ trong trường hợp: biến cố cần tìm phụ thuộc vào kết quả của phép thử trước đó

• Hệ đầy đủ được chọn là kết cục của phép thử thứ

nhất

• Lưu ý cách gọi tên biến cố: nên liệt kê theo thứ tự

tăng dần theo một đối tượng nào đó

5.1 Công thức Bayes

Cho {𝐻1, 𝐻2, , 𝐻𝑛} là một hệ đầy đủ các biến cố, và

𝐴 là một biến cố nào đó có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố 𝐻𝑖 Khi đó:

𝑷 𝑯𝒊|𝑨 = 𝑷 𝑯𝒊 𝑷(𝑨|𝑯𝒊)

σ𝒊=𝟏𝒏 𝑷 𝑯𝒊 𝑷(𝑨|𝑯𝒊)

Ví dụ: Hộp I có 8 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm lỗi.

Hộp II có 10 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm lỗi

Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp I bỏ sang hộp II Sau

đó từ hộp II lấy ra 1 sản phẩm

a)Tìm xác suất để sp lấy từ hộp II là sp tốt

b) Nếu sp lấy từ hộp II là lỗi thì xác suất để 2 sp lấy từhộp I đều là sp lỗi bằng bao nhiêu?

c) Nếu sp lấy từ hộp II là sp tốt thì xác suất để sp này làcủa hộp I bỏ sang bằng bao nhiêu?

Ví dụ: Một lô hàng chứa sản phẩm của 3 phân xưởng A,

B, C Trong đó tỉ lệ sản phẩm của phân xưởng A, B lầnlượt là 60% và 30% Tỉ lệ phế phẩm của mỗi phânxưởng lần lượt là 1%, 2% và 5%

a)Tìm tỉ lệ phế phẩm của lô hàng trên

b) Nếu khi lấy ra từ lô hàng 1 sp thấy đó là sản phẩm tốt thì xác suất để sản phẩm này là do phân xưởng C sản

xuất bằng bao nhiêu?

Giải: a) Gọi D là biến cố lấy ra được phế phẩm.

𝐻𝑖 là biến cố lấy được phế phẩm từ phân xưởng A, B, C

𝑃 𝐷 = ෍ 𝑃 𝐻𝑖 𝑃(𝐷|𝐻𝑖)b) ഥ𝐷 là biến cố lấy được sản phẩm tốt

𝑃 𝐻3 𝐷 =ഥ 𝑃 ഥ𝐷|𝐻3 𝑃(𝐻3)

𝑃(ഥ𝐷)