Bài toán min – max mũ và logarit

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pmin =... Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu 2 3..[r]

CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT

1 Công thức lôgarit

Giả sử a>0,a≠1 và các số A, B, N,… > 0 ta có các công thức sau đây:

• loga( )AB =loga A+logb B

Mở rộng loga(A A A1 2 N)=loga A1+loga A2+ + loga A N

• loga A loga A loga B

1loga logN

Công thức đổi cơ số: Giả sử a, b dương và khác 1; , 0 c x > ta có

• log loga b b c=loga c và log 1 ; log1 log

• Trường hợp 2:D a b∉[ ]; →Lập bảng biến thiên suy ra min, max

Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn điệu trên đoạn [ ]a b;

Nếu hàm số y f x= ( )đồng biến với [ ]; min[ ]; ( );max[ ]; ( )

Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương: a b c+ + ≥33 abc

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min ( ) 2 2 2 3 2 2

2

f x = f  + = +

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P = +min 3 2 2 Chọn B

Nhận xét Vì hàm số y=lnx đồng biến trên khoảng (0;+∞ nên )

( ) ( ) ln ( ) ln ( )

f x >g x ⇔ f x > g x

Ví dụ 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log(x+2y)=logx+logy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là P =min 2 3.Chọn C

Ví dụ 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Xét các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2+y2 >1 và logx y2+ 2(x+2y)≥1 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=2x y+ Tính M m+

A P = min 4 B P = min 4 C P =min 2 3 D min 10 3

3

Lời giải:

Vì x2+y2 >1 suy ra y=logx y2+ 2 f x( ) là hàm số đồng biến trên tập xác định

Khi đó logx y2+ 2(x+2y)≥logx y2+ 2(x2+y2)⇔ +x 2y x≥ 2+y2

t t

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là P =min 15 Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng f t( ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng f ( )2 =32⇒Pmin =36 Chọn A

Ví dụ 9: Cho hai số thực a b≥ >1 Biết rằng biểu thức 2 log

ab

a T

Xét biểu thức T, ta có T =2loga ab+ loga a−loga b=2loga b+ 1 log− a b+2

Đặt t=loga b với t ∈ −∞ , khi đó ( ;1] T f t= ( )= +2t 1− +t 2

+

=

+ đạt giá trị nhỏ

Xét biểu thức P, ta có log log log log log 1

loga a loga a logb b loga a logb b 1

M = b a= = ⇒ = a m →M m+ = + = Chọn C

Ví dụ 11: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn b2 =3ab+4a2 và a ∈ 4;232 Gọi M, m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

8

3log 4 log

min 4;34

3log

Do 1 log log 4log 4log 2 1 log( )

Ví dụ 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 1

4< < <a b Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min

a

b b

trị nhỏ nhất bằng m khi có số thực n sao cho b a= n Tính S m n= +

Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min ( )

22

Ví dụ 18: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 5 16.4+ x2 − 2y = +(5 16x2 − 2y).72y x− + 2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P 2xy 16

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P = Chọn D min 10

Ví dụ 19: Cho hai số thực a>1, 1b> thỏa mãn phương trình a b x x2 − 1=1 có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 2 ( )

• Bài toán áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương a b c+ + ≥33abc

• Với điều kiện a>1, 1b> →loga b>0 nên áp dụng được bất đẳng thức AM – GM

Ví dụ 22: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy≤4y−1

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 6 2( x y) lnx 2y

Câu 8: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ( )3 ( )3

Câu 12: Cho hai số thực x, y thỏa mãn xy≤4y−1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 6y ln x 2y

Câu 14: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn logx+logy≥log(x3+y) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

Câu 24: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2

Câu 27: Cho các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn log2a b log2b c loga c 2logb c 3

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có 3 ln 1 9 3 3 ln( 1 3) ( 1 ln 3) ( ) 9

Do đó hàm số f t đồng biến trên khoảng ( ) (0;+∞ )

Câu 10: Do a b >; 0nên a b+ >0 suy ra 2−ab>0

Ta có: log32 ab 3ab a b 7 log 23( ab) log3(a b) (3 ab 2) a b 1

t b

a a

b b

=



Câu 22: Đặt x=log ; log ; log ; a b y= b c z= c a x y z( ; 0> )

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 10. Chọn C

Câu 23: Ta có log2a≥ −(1 log log2b 2c)log 2bc ⇔log log2a 2( )bc ≥ −1 log log2b 2c

log loga b log c log logb c 1 log loga b log logb c log logc a 1

Đặt log ; log ; log2 2 2 2 12 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4. Chọn A

Câu 24: Đặt log ; log ; log2 2 2 5 2 16 2 27 2 1

Câu 25: Đặt x=log ; log ; log ; a b y= b c z= c a x y z( ; 0> )

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4 6 3+ Chọn C

Câu 26: Đặt x=log ; log ; log ; a b y= b c z= c a x y z( ; 0> )

a

a c

b

b a

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 6 8 2+ và logb( )ca =2 2. Chọn A

Câu 27: Giả thiết ⇔(loga b) (2+ logb c)2 =loga c−loga b−2logb c−5 *( )

Đặt x=log ; loga b y= b c⇒xy=loga c suy ra ( )* ⇔x2+y2 =xy x− −2y−1