Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI 1 Tích phân hai lớp 1.1. Định nghĩa và cách tính tích phân hai lớp 2 Tích phân 3 lớp 1.1. Định nghĩa và cách tính tích phân hai lớp File đầu đủ lý thuyết, bài tập và lời giải chi tiết
Trang 1Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI 2.1 Tích phân hai lớp
2.1.1 Định nghĩa và cách tính tích phân hai lớp
2.1.1.1 Định nghĩa
Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân hai lớp
Giả sử có một vật thể hình trụ, phía trên giới hạn bởi mặt cong được biểu diễn bằng phương trình z
= f(x,y), mặt xung quanh là mặt của hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, còn phía dưới giới hạn bởi hình phẳng đóng D nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy và được gọi là đáy của của hình trụ Yêu cầu tính thể tích V của vật thể hình trụ này với giả thiết f(x,y) là hàm không âm, xác định và liên tục trên miền đóng D
Bài giải Chia D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau (giao của 2 hai miền nhỏ bất kỳ bằng rỗng) Gọi diện tích của n miền nhỏ đó là S1, S2, …, Sn Lấy mỗi miền nhỏ là đáy của hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với trục Oz và phía trên giới hạn bởi mặt cong được biểu diễn bằng phương trình f(x,y)
Như vậy, vật thể hình trụ đã được chia thành n hình trụ nhỏ Trong mỗi miền nhỏ Si (1 i n) ta lấy một điểm tùy ý Mi(xi,yi) Ta có tích zi.Si = f(xi,yi).Si là thể tích hình trụ có diện tích đáy Si và chiều cao zi = f(xi,yi) Nếu miền nhỏ Si khá bé, thì do hàm f(x,y) liên tục trên
D nên giá trị của z = f(x,y) xấp xỉ bằng giá trị của zi = f(xi,yi) nên có thể coi thể tích của hình trụ nhỏ thứ i là Vi
f(xi,yi).Si Như vậy, nếu mọi miền nhỏ Si (1 i n) đều khá bé thì có thể coi thể tích của hình trụ là i
1 i
i
i,y ) Sx
i i 0
d (x ,y ) Slim
=
n i
maxd
= , trong đó di là đường kính của mỗi miền nhỏ Si (1 i n) (đường kính của một miền được định nghĩa là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên biên của miền ấy)
Định nghĩa tích phân hai lớp
Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng D Chia miền D một cách tùy ý thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau Gọi diện tích của n miền nhỏ đó là S1, S2, …, Sn Trên mỗi miền nhỏ Si (1 i n) ta lấy một điểm tùy ý Mi(xi,yi) và lập tổng n i
1 i
i i
=
(trong đó di là đường kính của miền nhỏ Si) mà In dần đến một giá trị hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mi(xi,yi) trên mỗi miền nhỏ Si, thì giá trị hữu hạn này được gọi là tích phân hai lớp của hàm số f(x,y) trên miền D và ký hiệu là
D
dS)y,
x
( , khi đó D, f(x,y), dS, x và y lần lượt được gọi là miền tính tích phân, hàm số dưới dấu tích phân, vi phân diện tích, các biến tính tích phân
Trang 2Như vậy, ta có i
1 i
i i 0
d max n n D
S.)y,x(limI
limdS)y,x(
i n i 0
nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, khi
đó ta nói rằng hàm số f(x,y) khả tích trên miền đóng D
Định lý Nếu hàm số f(x,y) liên tục trong miền đóng D thì nó khả tích trên đó
Vì tích phân hai lớp nếu tồn tại thì không phụ thuộc vào cách chia miền D, nên ta có thể chia D bởi lưới các đường thẳng song song với các trục tọa độ Ox, Oy Khi đó, mỗi miền nhỏ Si (1 i n) nói chung là hình chữ nhật, do đó dS = dxdy (x,y)dS (x,y)dxdy
D
Nhận xét Bản chất của phép tính tích phân là tính giới hạn, tuy nhiên việc tính tích phân bằng cách
dùng định nghĩa không phải đơn giản, do đó các nhà toán học đã dùng định nghĩa để đưa ra các công thức tích phân cơ bản để việc tính tích phân đơn giản hơn
Ý nghĩa hình học của tích phân hai lớp
Nếu hàm số z = f(x,y) > 0, xác định và liên tục với (x,y)D thì giá trị của tích phân hai lớp
Đặc biệt, nếu f(x,y) = 1 với (x,y)D thì giá trị của tích phân = =
D D
D
dxdydxdy
.1dxdy)y,x(
là diện tích S của miền D
Các tính chất của tích phân hai lớp
D D
D
dxdy)y,x(gdxdy)y,x(dxdy)y,x(g)y,x(
D D
dxdy)y,x(kdxdy)y,x(
dxdy)y,x(dxdy)y,x(dxdy
)y,x
2 1DD
DDD
D D
dxdy)y,x(gdxdy)y,x
D D
dxdy)y,x(dxdy
)y,x(
= và M max (x,y)
D ) y , x (
2.1.1.2 Cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Descartes
- Miền tính tích phân là hình chữ nhật D = {(x,y)R2a x b và c x d}
Trang 3x
a
dx)y,x( thì coi y là hằng số, khi
a D
dy)y(hdx)x(gdxdy)y,x(
1x0D
xdx2
xdx2
xyxydy
dxdxxydyxydxdy
I
1
0
2 1
0 1
0
2
1
2 1
0 2
1 1
0 2
1 D
14
44
ydy2
ydy2
yxxydx
dydyxydxxydxdy
I
1
0
2 2
1 2
1 1
0
2 2
1 1
0 2
1 1
0 D
3.2
12
12
4.2
12
y2
xydyxdx
xydxdyI
2
1
2 1
0
2 2
1 1
0 D
- Miền tính tích phân là không phải là hình chữ nhật
+ Trường hợp 1 Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy đồ thị của miền D có dạng
Chiếu miền D lên trục Ox thì D = {(x,y)R2a x b, y1(x) y y2(x)}
) x ( y D
2
1
dy)y,x(dxdxdy)y,x
+ Trường hợp 2 Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy đồ thị của miền D có dạng
Trang 4Chiếu miền D lên trục Oy thì D = {(x,y)R2c y d, x1(y) x x2(y)}
) y ( x D
2
1
dx)y,x(dydxdy)y,x
I trên miền D xác định bởi tam giác ABC với A(0,0), B(1,0), C(1,1)
1x0D
10
110
xx2
1dx2
yxydyxdxydxdyx
I
1
0
5 1
0 4 1
0
x
0
2 2 1
0 x
0 2 D
1y0D
10
15
y2
y3
1dy)yy(3
1dy3
xydxyxdyydxdyx
I
1
0
5 2 1
0
4 1
0
1
y
3 1
y 2 1
0 D
) x ( y D
2
1
dy)y,x(dxdxdy)y,x
) y ( x D
2
1
dx)y,x(dydxdy)y,x
Ví dụ 2.3 Tính tích phân =
D 2
2
dxdyy
x
I trên miền D giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, y = x và đường hypecbol
Trang 54
92
x4
xdx)xx(dxy
1xdy
y
xdxdxdyy
x
2
1
2 4 2
1 3 2
1
x
x 2 x
x 2
2 2
1 D
1y)21(
y
2y
1
D2
=+
=+
=
=
y 2
2 2
1 2
y 2
2 1
2 D
2 2
D 2 2
D
2
2
dxy
xdydxy
xdydxdy
y
xdxdyy
xdxdyy
xI
2 1
2
5 2 2
1
2
y
3 2 1
1dyy
1y
83
1dy3
xy
1dy3
xy
1
4
96
512
172
yy
83
1y
4
1y
) y ( x D
2
1
dx)y,x(dydxdy
) x ( y D
2
1
dy)y,x(dxdxdy)y,x
2 4
x2
dy)y,x(dxI
Trang 64
x 2
2 2
nên đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là
Đường thẳng y = 4 cắt đường parabol y = x2 tại 2 điểm (–2,4) và (2,4)
Chiếu miền D lên trục tung Oy thì miền D được mô tả bằng cách khác là
4y0
Ví dụ 2.5 Tính tích phân +
D
3y1
xdxdy trên miền đóng D = {(x,y)R2|0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}
Bài giải
Đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là
1
dyxdxy
1
xdydx
I1yx
1x0D
dyy
1
xdxdy
Iyx0
1y0D
Rõ ràng là, tính = +
y
0 1
0
3 xdxy1
dy
=+
=+
=+
0
3
3 1
0
3
2 1
0
y
0
2 3 y
0 1
0
3
y1
)y(d3
1.2
1y1
dyy2
1dy2
xy1
1xdx
y1
dyI
3
12y
13
1)
y1(1)21(
16
1)y1(dy16
0 3 1
0 1 ) 2 ( 3 1
0
3 2
1
=+
=+
+
−
=++
Ví dụ 2.6 Tính tích phân = 1
0 2
y
x
dxedy
Bài giải
Các nhà toán học đã chứng minh rằng, biểu thức dưới dấu tích phân trong tích phân ex2dx không
có nguyên hàm sơ cấp, tức là nguyên hàm của tích phânex2dxkhông thể biểu diễn qua các hàm số sơ cấp được, mặc dù về mặt lý thuyết thì tích phân x 2
Trang 7Từ các cận của tích phân =
1
0 2
y
x
dxedy
1y0
D nên đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là
Bây giờ, ta chiếu miền D lên trục Ox thì miền D được mô tả bằng cách khác là
2x0D
4
1ee
4
1)x(de4
1dxxe2
1dxyedyedxI
4 2 0 x 2
0
2 x 2
0 x 2
0
2 0 x 2
0
2 x
y
x
dxedy
I 2 theo thứ tự đã cho (tính theo biến x trước, tính theo
biến y sau) thì không tính được, nhưng nếu đổi thứ tự tính tích phân thành = 2
0
2 x
0
x
dyedx
I 2 (tính theo biến
y trước, tính theo biến x sau) thì tích phân này tính được
2.1.2 Phép đổi biến trong tích phân hai lớp
2.1.2.1 Công thức đổi biến trong tích phân hai lớp
Xét tích phân hai lớp
D
dxdy)y,x( , trong đó hàm số f(x,y) liên tục trên miền đóng D Giả sử ta
thực hiện phép đổi biến
)v,u(xx
thỏa mãn các điều kiện sau đây
)v,u(xx
là ánh xạ 1-1 từ miền D lên miền D’ (miền D’ là ảnh của miền D qua phép đổi biến này);
(2) Các hàm x(u,v), y(u,v) là các hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 1
,v
)v,u(x)v,u(x,u
)v,u(x
)v,u(y
v
)v,u(xu
)v,u(xdet)v,u(y)v,u(y
)v,u(x)v,u(xdet
v '
u
' v '
)v,u(xx
là nghịch đảo giá trị của định thức Jacobi của phép đổi biến ngược
Trang 81)
v,u(y)v,u(y
)v,u(x)v,u(xdetJ
' y '
x
' y '
x '
v '
u
' v '
)y,x(u)y,x(u
y '
x
' y '
I trên miền D là hình bình hành giới hạn bởi các đường thẳng {x + 2y = 2, x + 2y = 4, 3x – y = 0, 3x – y = 3}
=
3yx0
4y2x2
D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là
Nếu tính tích phân này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy thì việc chia miền D thành các miền nhỏ bởi các đường song song với các trục tọa độ là phức tạp (phải tìm tọa độ điểm giao của các đường thẳng chứa các cạnh của hình bình hành, sau đó chiếu miền D lên trục Ox hoặc trục Oy), dẫn đến việc tính toán cồng kềnh, do đó ta thực hiện đổi biến sao cho miền D là hình bình hành trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy chuyển thành miền D’ là hình chữ nhật trong hệ tọa độ Descartes vuông góc
Ouv bằng phép đổi biến
=
)v,u(yv7
1u7
3y
)v,u(xv7
2u7
1x
)y,x(vyxv
)y,x(uy2xu
4u2'
=
3yx
0
4yx
2
Để tìm định thức Jacobi J=detxy ((uu,,vv)) xy'((uu,,vv))
v '
u
' v '
y2xu
ta có thể thực hiện bằng hai cách sau đây
- Cách thứ nhất
71
7
1737
271
v
)v,u(yu
)v,u(y
v
)v,u(xu
)v,u(xdetJv7
1u7
3y
v7
2u7
1x
yxv
y2xu
1J713
21)y,x(v)y,x(v
)y,x(u)y,x(udety
xv
y2xu
' y '
x
' y '
2
dudvJ)v,u(y)v,u(x4)v,u(xdxdy
)xy4x(I
2
dv7
1v7
1u7
3v7
2u7
14v7
2u7
13du
Trang 93 3
0
2 2
vu32vu157
1dv)vuv32u15(du
=+
4
2 2 4
2
3
0
3 2 2
2
u1443
u45343
1du)36u144u
45(343
1du3
v4uv16vu15
7
1
343
1776)
u36u72u15
(
343
2 2
2.1.2.2 Tính tích phân hai lớp trong tọa độ cực
Tọa độ cực
Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều, trong đó mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được
biểu diễn duy nhất bằng hai thành phần: Khoảng cách từ điểm đó tới một điểm gốc O (được gọi là gốc
cực) gọi là bán kính r 0 (r = 0 khi điểm M trùng với điểm gốc O) và góc tạo bởi hướng gốc cho trước
(được gọi là trục cực) với đường thẳng chứa OM (gọi là đường thẳng OM) theo chiều dương (trục cực
quay quanh gốc cực theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, cho đến khi trùng với đường thẳng OM), trục cực thường được vẽ theo chiều ngang và hướng về bên phải
Hình sau đây thể hiện mối quan hệ giữa tọa độ Descartes (x,y) với tọa độ cực (r,) của cùng một
điểm trong mặt phẳng R2 trong trường hợp gốc của hai hệ tọa độ này trùng nhau và trục hoành Ox của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy trùng với trục cực của hệ tọa độ cực cả phương và hướng
Khi đó, phép biến đổi từ tọa độ Descartes (̣x,y) sang tọa độ cực (r,) là
cosr),rxx
0r
thì phép biến đổi này xác định một ánh xạ 1-1 giữa tọa độ Descarter (x,y) và tọa độ cực (r,) của cùng một điểm trong
mặt phẳng R2, riêng điểm gốc tọa độ O(0,0) tương ứng với r = 0 và tùy ý Còn phép biến đổi từ tọa độ cực (r,) sang tọa độ Descartes (x,y) là
y,x(
yx)y,x(
cũng xác định một ánh xạ 1-1 giữa tọa
độ cực (r,) và tọa độ Descartes (x,y) của cùng một điểm trong mặt phẳng R2
Nhận xét Hệ tọa độ cực có ích trong những trường hợp mà trong đó, quan hệ giữa hai điểm được
mô tả dưới dạng khoảng cách và góc Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy, quan hệ này được biểu diễn dưới dạng công thức lượng giác
Khi tính tích phân
D
dxdy)y,x( , nếu các hàm số mô tả biên của miền D là các hàm số của biến
Trang 10khác 1) thì nên đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) hoặc tọa độ cực (r,) mở rộng, khi
đó, việc tính tích phân này, nói chung sẽ đơn giản hơn
Đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,)
Công thức đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) của cùng một điểm M(x,y) là
+
=
=
+
=
=
sinry)
=
=
+
=
=
sinry),ryy
cosrx),rxx
−
=
=
)xx()yy(arctan)
y,x(
)yy()xx()y,x(r
0 0
2 0 2
=
=
+
=
=
sinry),ryy
cosrx),rxx
0
0
xác định một ánh xạ 1-1 giữa tọa độ Descarter (x,y) và tọa độ cực (r,), riêng điểm gốc cực có tọa độ (x0,y0) trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy, tương ứng với r = 0 và tùy ý
cosrsin
sinrcos)
sinry(r
)sinry(
)cosrx(r
)cosrx(
),ryr
),ry
),rxr
),rxdetJ
0 0
0 0
+
+
+
0 0
' D
0 0
D
drd)sinry,cosrx(rfdrd
J)sinry,cosrx(dxdy)y,x
trong hệ tọa độ cực (r,) là ảnh của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy
Để đơn giản, nhưng không mất tính tổng quát, các trình bày sau đây khi đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,), ta cho (x0,y0) = (0,0), tức là sử dụng công thức đổi biến
Có 3 trường hợp khác nhau sau đây, khi đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,)
Trường hợp 1 Điểm gốc cực của hệ tọa độ cực nằm ngoài miền D
) ( g D'
D 2
1
2
1
)drrsin,rf(rcosd
)drdrsin,rf(rcosy)dxdy
f(x,)
(gr)(g
'
Trường hợp 2 Điểm gốc cực của hệ tọa độ cực nằm trên biên của miền D
Trang 11)drrsin,rf(rcosd
)drdrsin,rf(rcosy)dxdy
f(x,)
(gr0
0 2
0 D'
D
)drrsin,rf(rcosd
)drdrsin,rf(rcosy)dxdy
f(x,)
(gr0
20
Đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là
Nếu đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) theo công thức
cosrx
2 1
cosrx
vào các bất đẳng thức –x ≤ y ≤ x –rcos ≤ rsin ≤ rcos –1 ≤ tan ≤ 1
arctan(–1) ≤ ≤ arctan(1) 4 3 4 = 4 và =3 4, hoặc bằng cách khác: đường thẳng y = x có hệ số góc tan=1=arctan1= 4, còn đường thẳng y = –x có hệ số góc
434
43)1arctan(
cosrx
vào các bất đẳng thức 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9 22 ≤ (rcos)2 + (rsin)2 ≤ 32
434
'D3)(g
2)(g
drdJ)sinrydxdyI
3
4 3
2 2 4
3
4
) ( g
) ( g 2 D'
drrdsindr
rdsindr
sinrddrdr(rsin
3
12
22
2)23(3
14
3cos4
cos3
Trang 12thì điểm gốc cực của hệ tọa độ cực nằm trên biên của miền D (Trường hợp 2), đồng thời trùng với điểm gốc của
hệ tọa độ Descartes, khi đó
cosrx
0sin
0cos0
sinr
0cosr0y
0x
cosrx
vào bất đẳng thức x2 + y2 ≤ R2 (rcos)2 + (rsin)2 ≤ R2 r2 ≤ R2 0 ≤ r ≤
20
'DR)(
Ta có |J| = r và vì f(x,y) = y nên f(rcos,rsin) = rsin = = =
' D D
drdJ)sinrydxdyI
0 R
0 2 2
0
) ( g
0 2 D'
drrdsindr
rdsindr
sinrddrdr(rsin
3
R3
R)10(3
rcos
3 3 R
0
3 2
I trên miền D = {(x,y)R2|x2 + y2 ≤ –2y, x ≤ 0, y ≤ 0} Bất đẳng thức x2 + y2 ≤ –2y x2 + y2 – 2y ≤ 0 x2 + y2 + 2y + 1 ≤ 1 x2 + (y + 1)2 ≤ 12 là hình tròn có tâm tại điểm (0,–1) và bán kính R = 1, do đó đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là
Trang 13Cách thứ nhất Nếu đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) theo công thức
thì điểm gốc cực của hệ tọa độ cực nằm trên biên của miền D (Trường hợp 2), đồng thời
trùng với điểm gốc của hệ tọa độ Descartes, khi đó
cosrx
0sin
0cos0
sinr
0cosr0y
0x
cosrx
vào bất đẳng thức x2 + y2 ≤ –2y (rcos)2 + (rsin)2 ≤ –2rsin r2 + 2rsin
≤ 0 r(r + 2sin) ≤ 0 0 ≤ r ≤ –2sin (vì r 0) g() = –2sin
2'
Dsin
2)(
=
+
=+
=
' D '
D D
rdrd)sinr3cosr2(drd
J)sinr3cosr2(3y)dxdy(2x
I
=
+
=
+
0
2 2
) (
g
0
2
drrsin3cos2(ddrrsin3cos2(d
=
+
8d
3
r)sin3cos2
4 3
d8
4cos32
2cos38
94
4sin2
2sin3
8d
)sin3sincos2(3
+
2cos4d4sin3
2d2sin3
4d
3
2 2
2 2
+
2)2(d2sin2.3
43
2 2
2 2
−
+
4sin4.4
12
sin24
cos6
12
cos3
22
2
33
40.16
10.20.6
1)2.(
3
22
thì điểm gốc cực của hệ tọa độ cực vẫn nằm trên biên của miền D (Trường hợp 2),
nhưng ở điểm (0,–1) trong hệ tọa độ Descartes, khi đó
Trang 14Để xác định các góc , (tạo bởi đường thẳng y = 1 với đường thẳng x = 0 tương ứng, với chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ) và hàm g() ta thực hiện như sau
- Thay x = rcos vào các bất đẳng thức x ≤ 0 rcos ≤ 0 cos ≤ 0 (vì r 0)
23
cosrx
vào bất đẳng thức x2 + y2 ≤ –2y (rcos)2 + (–1 + rsin)2 ≤ –2.(–1 + rsin) r2 – 1 ≤ 0 (r – 1)(r + 1) ≤ 0 0 ≤ r ≤ 1 (vì r + 1 0) g() = 1
232
'D1)(
+
−
=
+
+
−
=+
=
' D '
D D
rdrd)sinr3cosr23(drd
J)sinr3cosr23(3y)dxdy(2x
+
−
=
+
+
0
2 3
2
) (
g
0
drr)sin3cos2(rdr3drdr)sinr3cosr23(d
+
0
2
d3
sin3cos22
3d
3
r)sin3cos2(2
r3
2
33
4)00()11(3
222
32
3cos
sin3
22
dxdyyx4
I trên miền D = {(x,y)R2|x2 + y2 ≤ 4}
cosrx
20
cosrx
vào bất đẳng thức x2 + y2 ≤ 4 (rcos)2 + (rsin)2 ≤ 22
20
'D2)(
Ta có |J| = r và vì (x,y)= 4−x2 −y2 nên = − 2 − 2 =
)sinr)cosr4)sinr,cosrf
2 2
D
2 2 2
drdJ)sinr)cosr4dxdy
yx4I
r
4
Trang 152 0 2
0
2 2
0 2
0
2 2
0 D'
2
)r4d(
r42
1dr
r4rddrr4rddrdrr4
3
16)8.(
3
2)
r4(3
2)
r4(1)21(
1)
r4d(
)r4(2
1
2
2
0 2
3 2 2
0
1 2
1 2 2
0
2 2
Đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) mở rộng
Công thức đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) mở rộng của cùng một điểm M(x,y) là
+
=
=
+
=
=
sinqry),ryy
cosprx),rxx
0
0
, trong đó (x0,y0) là tọa độ (trong hệ tọa độ Descartes vuông góc
Oxy) của điểm gốc tọa độ của hệ tọa độ cực, đối với các tham số p 0 và q 0 phải có ít nhất một tham
số có giá trị khác 1 Khi đó
0pqrcos
qrsin
q
sinprcos
p)sinqry(r
)sinqry(
)cosprx(r
)cosprx(
),ryr
),ry
),rxr
),rx
det
J
0 0
0 0
+
+
+
=
=
+
=
=
sinqry),ryy
cosprx),rxx
−
=
=
)xx(q)yy(parctan)
y,x(
q)yy(p)xx()y,x(r
0 0
2 2 0 2
2 0
Đặc biệt, khi p = q = 1 thì công thức đổi biến trên trở lại công thức đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) và ngược lại
Ví dụ 2.12 Tính tích phân =
D
2
dxdyx
4
y9
xR)y,x(D
2 2 2
Bài giải
Đồ thị của miền D trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy là hình ellips 1
2
y3
x
2 2 2
2
+ có tâm tại gốc tọa độ O(0,0), hai bán trục có độ dài là 3 và 2
Nếu đổi biến từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) mở rộng theo công thức
cosr3x
thì điểm gốc của hệ tọa độ cực là điểm trong của miền D, khi đó
20
cosr3x
2
)sinr2(3
)cosr3(12
y3
x
2 2 2
2 2
2 2 2
1r01r1r1sinrcos
20
'
Vì |J| =|2.3r| = 6r và f(x,y) = x2 = 2 = 2 2
cosr9)cosr3()sinr2,cosr3(
0 2 '
D
2 2 '
D
2 2 D
2
drrdcos54rdrd6cosr9drd
Jcosr9dxdyxI
.2
272.4
272
2sin4
274
1.d)2cos1(274
rd2
2cos1
54
2
0 2
0 1
0
4 2
Trang 162.1.3 Ứng dụng hình học của tích phân hai lớp
S là diện tích của miền tính tích phân D
Ví dụ 2.13 Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = 2 – x2
1x2
D nên diện tích S của miền D là
2
92
x3
xx2dx)xx2(dxy
dydxdxdyS
1
2
3 1
2 2 1
2
x 2 x
x 2
x 1
2 D
2 2
)y,x(
liên tục trên miền D thì diện tích S của mặt cong z
= f(x,y) được tính bằng công thức
=
D
2 '
y 2 '
x D
2 2
dxdy)y,x(f)y,x(f1dxdy
y
)y,x(x
)y,x(1
)z,y(
=
D
2 '
z 2 '
y D
2 2
dydz)y,x(f)y,x(f1dydz
z
)y,x(y
)y,x(1
)z,x(
=
D
2 '
z 2 '
x D
2 2
dxdz)y,x(f)y,x(f1dxdz
z
)y,x(x
)y,x(1
2.1.3.3 Tính thể tích vật thể
Trang 17Trường hợp 1 Thể tích V của hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, có mặt đáy là hình
phẳng D trong mặt phẳng Oxy và mặt trên là mặt cong z = f(x,y) 0 liên tục trên miền D, được tính bằng công thức =
D
dxdy)y,x(
Trường hợp 2 Thể tích V của vật thể có đường sinh song song với trục Oz, còn mặt dưới và mặt
trên của vật thể tương ứng là mặt cong z z1(x,y) f1(x,y) và mặt cong z = z2(x,y) f2(x,y), trong đó f1(x,y) và f2(x,y) là các hàm số liên tục trên miền D, với D là hình chiếu vuông góc của vật thể lên mặt
D
1 2
D
1
2(x,y) z (x,y)dxdy f (x,y) f (x,y)dxdyz
(3) Vì vai trò của x, y và z là như nhau nên nếu hình trụ có các đường sinh song song với trục Ox hoặc Oy thì đổi vai trò x với z hoặc y với z trong các công thức trên
Ví dụ 2.14 Tính diện tích mặt cầu 2 2 2 2
Rzy
x + + = và thể tích của hình cầux2 +y2 +z2 R2bằng tích phân 2 lớp
Bài giải
Đồ thị của mặt cầu 2 2 2 2
Rzy
x + + = và đồ thị của hình cầu 2 2 2 2
Rzy
x + + có bán kính R và tâm tại gốc O(0,0,0) của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz là
Hình chiếu của hai nửa mặt cầu hoặc của hình cầu này lên mặt phẳng tọa độ Oxy là D =
{(x,y)R2|x2 + y2 ≤ R2} (tương ứng với z = 0)
+
0zkhiyxR
0zkhiy
xR)
y,x(zRzyx
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
tương ứng với nửa mặt cầu phía trên và nửa mặt cầu phía dưới mặt phẳng tọa độ Oxy
- Tính diện tích mặt cầu Hai nửa mặt cầu có diện tích bằng nhau nên diện tích của mặt cầu là
y 2 '
x(x,y) f (x,y) dxdyf
1
2
yxR)y,x
Trang 18xR
y22
1y
xR
x22
112S
Để tính tích phân − −
D
2 2 2
yxR
cosrx
từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa độ cực (r,) có định thức Jacobi J = r, khi đó miền D là hình tròn x2 + y2 ≤ R2 trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy trở thành miền
Rr0'
'
rdrd
R2rR
rdrdR
2)sinr)cosrR
drdJR
1 2 2 2
2 R
0
2
1 2 2 2
121
)rR(2
12.R2)rR(d)rR(2
1R
1
2 2 2 2
2
yxR)
y,x(f)y,x(z
yxR)y,x(f)y,x(z
1
2(x,y) f (x,y)dxdy 2 R x y dxdyf
V
Để tính tích phân − −
D
2 2 2
dxdyyx
cosrx
từ tọa độ Descartes (x,y) sang tọa
độ cực (r,) có định thức Jacobi J = r, khi đó miền D là hình tròn x2 + y2 ≤ R2 trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy trở thành miền
Rr0'
0 '
D
2 2 '
D
2 2
2
drrRrd2drdrRr2drdJ)sinr)cosrR2V
( )
3
R41
)21(
)rR(2
12.2)rR(d)rR(2
12
3 R
0
1 2
1 2 2 2
2 R
0
2
1 2 2 2
Cho hàm số f(x,y,z) xác định trong miền hữu hạn V của không gian R3 Chia miền V một cách tùy
ý thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau Gọi thể tích của n miền nhỏ đó là V1, V2, …, Vn Trong mỗi miền nhỏ Vi (1 i n) ta lấy một điểm tùy ý Mi(xi,yi,zi) và lập tổng n i
1 i
i i i
n (x ,y,z ) V
=
In được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x,y,z) trên miền V nếu khi n → sao cho d maxdi 0
n i
=
(trong đó di
là đường kính của miền nhỏ Vi) mà In dần đến một giá trị hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia miền
V và cách lấy điểm Mi(xi,yi,zi) trên mỗi miền nhỏ Vi, thì giá trị hữu hạn này được gọi là tích phân ba lớp của hàm số f(x,y,z) trên miền V và ký hiệu là
V
dV)z,y,x( ; khi đó V, f(x,y,z), dV, x, y và z lần lượt được gọi là miền lấy tích phân, hàm số dưới dấu tích phân, vi phân thể tích, các biến tính tích phân
Trang 19Như vậy, ta có i
1 i
i i i 0
d max n n V
V.)z,y,x(limI
limdV)z,y,x(
i n i 0
nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn
và khi đó ta nói rằng hàm số f(x,y,z) khả tích trên miền V
Nếu hàm số f(x,y,z) liên tục trong miền V thì nó khả tích trên miền V
Tích phân ba lớp có đầy đủ các tính chất của tích phân hai lớp
Vì tích phân ba lớp nếu tồn tại thì không phụ thuộc vào cách chia miền V, nên ta có thể chia V bởi lưới các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz Khi đó, mỗi miền nhỏ Vi (1 i
n) nói chung là hình hộp chữ nhật, do đó dV = dxdydz =
V V
dxdydz)
z,y,x(dV
)z,y,x
2.2.1.2 Cách tính tích phân ba lớp trong hệ tọa độ Descartes
Giả sử miền V giới hạn bởi các mặt có các phương trình z = z1(x,y), z = z2(x,y) tương ứng Gọi miền phẳng D là hình chiếu của V lên mặt phẳng tọa độ Oxy Giả sử z1(x,y), z2(x,y) là các hàm số liên tục và z1(x,y) z2(x,y) với (x,y)D
Nếu từ một điểm bất kỳ M(x,y)D vẽ một đường thẳng song song với trục tọa độ Oz, đường thẳng này sẽ cắt các mặt z = z1(x,y), z = z2(x,y) tại các điểm P1, P2 tương ứng; khi điểm M thay đổi trong miền
D thì các điểm P1, P2 thay đổi tương ứng với độ cao P1P2 = z với z1(x,y) z z2(x,y)
Nếu f(x,y,z) là hàm số liên tục với (x,y,z)V thì =
) y , x ( z
) y , x ( z D V
2
1
dz)z,y,x(dxdydxdydz
)z,y,x
) y , x ( z D
y,x(Fdz)z,y,x(
2
1 2
a f
e b
a f
e d
c f
e d
c b
a V
dy)z,y,x(dxdzdx)z,y,x(dzdydz)z,y,x(dydxdxdydz)
z,y,
x
(
Ví dụ 2.15 Tính tích phân =
Vzdxdydz
I , V = {(x,y,z)R3|x = 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1}
Bài giải
Đồ thị của miền V trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz là
Trang 20Ta có z = z1(x,y) = 0, z = z2(x,y) = 1 – x – y và nếu gọi D là hình chiếu của mặt phẳng x + y + z = 1
xuống mặt phẳng tọa độ Oxy thì D = {(x,y)R20 x 1, 0 y 1 – x}
y x 1
0
2 y
x 1
0 D
V
dxdy)yx1(2
1dxdy2
zzdz
dxdyzdxdydz
1
0
2 1
0
x 1
0
2 1
0
dx)yx1(3
12
1)yx1(d)yx1(dx2
1dy)yx1(dx
2
1
24
1)
x1(4
1.6
1)x1(d)x1
(
6
0 4 1
z,y,x( , trong đó hàm số f(x,y,z) liên tục trên miền đóng V Giả sử
ta thực hiện phép đổi biến
)w,v,u(yy
)w,v,u(xx
với các giả thiết (1) Các hàm x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) là các hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 1
,w
)w,v,u(x)w,v,u(x,v
)w,v,u(x)w,v,u(x,u
)w,v,u(x)w,v
)w,v,u(y)w,v,u(y,v
)w,v,u(y)w,v,u(y,u
)w,v,u(y)w,v
)w,v,u(z)w,v,u(z,u
)w,v,u(z)w,v
đóng V’ = {(u,v,w)R3} nào đấy;
)w,v,u(yy
)w,v,u(xx
là ánh xạ 1-1 từ miền V lên miền V’;
)w,v,u(z)w,v,u(z)w,v,u(z
)w,v,u(y)w,v,u(y)w,v,u(y
)w,v,u(x)w,v,u(x)w,v,u(xdetJ
' u '
u '
u
' u '
u '
u
' w '
v '
dudvdwJ
)w,v,u(z),w,v,u(y),w,v,u(xfdxdydz)
z,y,x(
Lưu ý
(1) Nếu phép đổi biến là ánh xạ 1-1 thì một điểm trong của miền V tương ứng với một điểm trong của miền V’ và ngược lại, một điểm trên biên của miền V tương ứng với một điểm trên biên của miền V’
và ngược lại
(2) Nhà toán học Carl Gustav Jacob Jacobi (người Đức) đã chứng minh: Giá trị của định thức
Jacobi của phép đổi biến
)w,v,u(yy
)w,v,u(xx
là nghịch đảo giá trị của định thức Jacobi của phép đổi biến
w
)w,y,x(v
v
)w,y,x(u
)w,v,u(y)w,v,u(y)w,v,u(y
)w,v,u(x)w,v,u(x)w,v,u(xdetJ
' u '
u '
u
' u '
u '
u
' w '
v '
u
Trang 21y '
x
' z '
y '
x
' z '
y '
x
và ngược lại
J1
)z,y,x(w)z,y,x(w)z,y,x(w
)z,y,x(v)z,y,x(v)z,y,x(v
)z,y,x(u)z,y,x(u)z,y,x(udet
' z '
y '
x
' z '
y '
x
' z '
y '
−
−+
−
++
−
=
2zy4x
2
1zyx
1
3zyx
+
=
)z,y,x(wzy
4
x
w
)z,y,x(vzy
2
x
v
)z,y,x(uz
1v1
3u3'
trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Ouvw
Để tìm định thức Jacobi, ta không cần phải tìm
)w,v,u(yy
)w,v,u(xx
từ phép đổi biến trên rồi suy ra
)w,v,u(y)w,v,u(y)w,v,u(y
)w,v,u(x)w,v,u(x)w,v,u(xdet
J
' u '
u '
u
' u '
u '
u
' w '
v '
=
−+
=
++
=
)z,y,x(wzy4xw
)z,y,x(vzy2xv
)z,y,x(uzyxu
ta tính được
6141
121
111
)z,y,x(w)z,y,x(w)z,y,x(w
)z,y,x(v)z,y,x(v)z,y,x(
v
)z,y,x(u)z,y,x(u)z,y,x(
u
det
' z '
y '
x
' z '
y '
x
' z '
y '
)z,y,x(w)z,y,x(w)z,y,x(w
)z,y,x(v)z,y,x(v)z,y,x(v
)z,y,x(u)z,y,x(u)z,y,x(udet
1J
' z '
y '
x
' z '
y '
x
' z '
y '
1 3
3 '
V '
V V
dwdv
du6
1dudvdw6
1dudvdw
Jdxdydz
V
( )( )( ) 6.2.4 8
6
1u
uu
6
2 1 1 3
2.2.1.4 Tính tích phân ba lớp trong tọa độ trụ
Trang 22Tọa độ trụ của một điểm M(x,y,z) trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz là bộ ba số (r,,z) trong đó (r,) là tọa độ cực của điểm M’(x,y) (là hình chiếu của điểm M xuống mặt phẳng tọa độ Oxy) Khi đó, ta có công thức liên hệ giữa tọa độ Descartes (x,y,z) và tọa độ trụ (r,,z) của cùng một điểm
sinry
cosrx
20
0r
, còn miền V trong hệ tọa độ Descartes (x,y,z) biến thành miền V’ trong hệ tọa độ trụ (r,,z)
100
0cosrsin
0sinrcos
zzz
yyy
xxxdetJ
, z , , r
, z , , r
, z , , r
, do đó theo công thức đổi
biến trong tích phân ba lớp từ trường hợp tổng quát áp dụng cho trường hợp này là
' V '
V V
dzdrd)z,sinr,cosrrfdz
drdJ)z,sinr,cosrfdxdydz
dxdydz)
yx(
I với V là miền giới hạn bởi mặt trụ x2 + y2 = 2x, y 0 và các mặt phẳng z = 0, z = 2
sinry
cosrx
từ tọa độ Descartes (x,y,z) sang tọa độ trụ (r,,z), định thức Jacobi J = r
Hình chiếu D của miền V xuống mặt phẳng tọa độ Oxy trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz
là nửa trên của hình tròn (x – 1)2 + y2 1 (y 0) có đồ thị là
cos2r0'
- Đối với tọa độ r: Thay
cosrx
vào phương trình hình tròn (x – 1)2 + y2 1 ta được
r2 – 2rcos 0 r(r – 2cos) 0 0 r 2cos (vì r 0)
- Đối với tọa độ : 0 /2
Còn đối với tọa độ z: 0 z 2
20
cos2r0
2z0
'D'
2 2 2
2
=
Trang 230 2
0 2
0 3 2
0
cos 2
0 2
0 2 '
D 2
0 ' D
drrddzdzrddrdz
rrdrddz
J)sinr,cosrfdrdI
0 2
0
2 2 2
0 2
0
4 2
0 2
0
cos 2
0
4 2
0
d2
2cos1z
4dcosdz
4dcos16dz4
1d4
rdz
0
2
d2
4cos12cos212d)2cos2
cos21(4
+
0 2
0 2
0
)4(d4cos8
1)2(d2cosd
2
32d2
4cos2
cos22
3
2
2
30.8
104
324
sin8
12
sin2
2.2.1.5 Tính tích phân ba lớp trong tọa độ cầu
Tọa độ cầu của một điểm M(x,y,z) trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz là bộ ba số (r,,) trong đó r = OM, là góc giữa trục Ox và OM' (M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng tọa độ Oxy), là góc giữa trục Oz và OM Khi đó, ta có công thức liên hệ giữa tọa độ Descartes (x,y,z) và tọa độ cầu
(r,,) của cùng một điểm M(x,y,z)R3 là
sinsinry
cossinrx
0
0r
, còn miền V trong hệ tọa độ
Descartes (x,y,z) biến thành miền V’ trong hệ tọa độ cầu (r,,)
0sin
rcos
cossinrsincosrsinsin
sinsinrcoscosrcossin
zzz
yyy
xxxdet
, , , r
, , , r
, , , r
ddrdJ)cosr,sinsinr,cossinrfdxdydz)
I với V là miền giới hạn bởi {1 x2 + y2 + z2 4, z 0}
Bài giải
x2 + y2 + z2 ≤ 12 và x2 + y2 + z2 ≤ 22 là phương trình của hai hình cầu cùng có tâm O(0,0,0) có bán kính tương ứng bằng R = 1 và R = 2, do đó đồ thị của miền V trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz
là
Trang 24cossinrx
từ tọa độ Descartes (x,y,z) sang tọa độ cầu (r,,), định thức Jacobi J =
2r1'
- Đối với tọa độ r: Thay
sinsinry
cossinrx
vào các bất đẳng thức 1 x2 + y2 + z2 4 ta được 1 r2
4 1 r 2 (vì r 0)
- Đối với tọa độ : 0 2
Còn đối với tọa độ : 0 /2 (vì z 0)
20
2r1
20
'D'
D 2
0
3 3 '
D
d)sinrcosrdrdd
JcosrdrdI
0 2
1 5 2
0
3 5 2
0
2
1
)(cosdcosd
drrd
sincosrd
dr
( )
4
214
10.2.6
124
cos6
0
4 2
0 2
2.2.2.2 Tính khối lượng của vật thể
Ý nghĩa vật lý của tích phân ba lớp Nếu hàm số f(x,y,z) > 0 xác định và liên tục với (x,y,z)V, là
khối lượng riêng của miền V tại điểm (x,y,z) thì
V
dxdydz)
z,y,x( là khối lượng của miền V
Ví dụ 2.19 Vật thể là hình chóp tam giác giới hạn bởi các mặt phẳng {x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z
= 1}
(a) Tính thể tích của vật thể;
Trang 25(b) Tính khối lượng m của vật thể nếu khối lượng riêng tại điểm (x,y,z) của vật thể là f(x,y,z) = xy
Bài giải
Đồ thị của vật thể trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz là
Dễ thấy rằng z1(x,y) = 0 và z2(x,y) = 1 – x – y tương ứng là phương trình của mặt dưới và mặt trên của hình chóp tam giác Hình chiếu của mặt phẳng x + y + z = 1 lên mặt phẳng tọa độ Oxy là miền D và nếu chiếu miền D lên trục Ox thì D = {(x,y)R20 x 1, 0 y 1 – x}
(a) Theo ý nghĩa hình học của tích phân 3 lớp thì thể tích của hình chóp tam giác là =
Vdxdydz
0
x 1
0
y x 1 0 1
0
y x 1
0
x 1
0 1
0
y x 1
0 D
) y , x ( z
) y , x ( z D
dy)yx1(dxdyz
dxdzdydxdzdxdydz
0
2 1
0
x 1
0
2 x
1
0 1
0
)x1(d)x1(2
1dx)x1(2
1dx2
)yx1()
yx1(d)yx1(dx
6
13
1.2
13
)x1
V
dzxydxdyxydxdydz
1
0
x 1
0 1
0 D
D
y x 1
0 dxdy xy(1 x y)dxdy dx xy(1 x y)dy dx (xy x y xy )dyz
2 2 1
0
x 1
0
3 2
2 2
dx3
)x1(x2
)x1(x2
)x1(xdx3
yx2
yx2
y
x
120
130
x8
x6
x12
x5
x4
x.33
x.32
x6
1dx)xxxx
0
5 4 3
2 1
0
4 3
−
=
−+
−
Ví dụ 2.20 Tính thể tích của hình cầu 2 2 2 2
Rzy
x + + bằng tích phân 3 lớp
Bài giải
Đồ thị của hình cầu 2 2 2 2
Rzy
x + + có bán kính R và tâm tại gốc O(0,0,0) của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz là
Hình chiếu của hình cầu lên mặt phẳng tọa độ Oxy là D = {(x,y)R2|x2 + y2 ≤ R2} (tương ứng với z