Giáo trình Hình học giải tích: Phần 2

Giáo trình Hình học giải tích (Giáo trình dùng cho các trường Cao đẳng Sư phạm): Phần 2 cung cấp các kiến thức về đường bậc hai và mặt bậc hai như: Đường bậc hai trong mặt phẳng, mặt bậc hai trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương II!

ĐƯỜNG.BẬC HAI - MẬT BÁC HAI

“Trong chương này, đường bậc hai và mặt bậc hai được nghiên cứu một cách hệ thống với phương trình tổng quát trong hệ toa do afin va hé toa do true chuẩn

Một số khái niệm được dé cập lần đầu, chưa có trong chương trình THỨ như: phương trình của đường trong toạ độ cực, hay phương trình của mật toạ độ trụ, toa độ cầu; khái niệm về tâm, phương tiệm cận, dường tiệm cận, tiếp tuyến, dường kính, mật kính liên hợp với một phương của đường bậc hai hoặc của mật bậc hai

Phân loại alïn và phân loại ơclit của dường bậc hai và của mặt bậc hai được trình bày kỹ, tuy chưa để cập đến các phép biến hình

Nhiều kiến thức mới của chương này dòi hỏi sinh viên nắm vững và biết vận

dụng vào các môn học khác, dặc biệt đối với các sinh viên học chương trình hai môn

Toán - Ly hay Todn—Tin cần chú trọng vận dụng trong học tập môn giải tích hơn là

đi sâu vào các chứng minh hay các vấn để mang tính lý thuyết

§1 ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG MẶT PHẲNG

1 Phương trình đường bậc hai trong hệ toạ độ afin

1.1 Đường bậc hai

Các dường clíp, hypebol, parabol đã biết trong chương trình THPT có phương trình là các phương trình bậc hai Ngược lại, cho phương trình bậc hai (đối với x và

y) dạng tổng quất:

Ax? 4 2Bxy + Cy’ + 2Dx + 2By +P = 0,

các hệ số A, B, C không đồng thời bang 0, ta xết xem đó là phương trình của những

đường nào

9Ị

Định nghĩa, Trong mặt phẳng với hệ mục tiêu afin Oxy, tập hợp (S) các điểm mà tọa độ của chúng thoả mãn phương trình bậc hai:

f(x, y) = Ax’+ 2Bxy + Cy’+2Dx + 2hy + =0,

với A, B, C Không đồng thời bằng O, được gọi là một dường bậc hai

Ta cũng nói: dường bậc hai (S) có phương trình f(x, y) = 0

Ví du.Đường bậc hai có phương trình x?+ y? + | = 0 là tập rỗng Đường bậc hai có

phương trình: xy = 0 gồm hai đường thẳng x =0 và y=0

Các đường clíp, ypebol và parabol dã biết ở phổ thông là những đường bậc hai Hai dường bậc hai chỉ xem là trùng nhau nếu các phương trình của chúng (trong cùng một hệ mục tiêu alin) có hệ số tương ứng tỉ lệ Ví dụ đường bậc hai (S)

có phương trình x” + yˆ = 0 và đường bậc hai (S') có phương trình 2x? + y? = 0 déu gầm chỉ một điểm duy nhất là O(0; 0), nhưng chúng xem là khác nhau vì các hệ số tương ứng không tỉ lệ Nếu chúng ta xét trong mặt phẳng phức thì phương trình (S)

có thể viết (x — iy)(x + iy) =0, đo đó (S) là tập hợp gồm hai đường thẳng x — iy =0

va x +iy = 0; trong lúc đó Ÿ là tập hợp gồm hai đường thẳng (ảo) có phương trình

v2x~iy=0và V2 x +iy =0 (ở dây ¡ là đơn vido: ? =)

1.2 Phương trình chính tắc của đường bậc hai

Giả sử đối với mục tiêu alin Oxy, cho dường bậc hai (S) có phương trình:

trong đó À, B, C không đồng thời bằng 0 Ta tìm một mục tiêu afin mới sao cho đối

với nó phương trình của (%) được đơn giản hơn

Trude het ta chimg minh rằng có thể chọn mục tiêu mới sao cho phương trình

của (5) không có số hạng chữ nhật xy

Trường hợp 1 Mot trong hai số A và C khác 0, chang han A # 0, thi:

Ax’ + 2Bxy y= AC = A(x’+2—xy) = A(x A y= AC + —y) A3) — ey, A»

92

Bởi vậy, đổi mục tiêu Qxy thành O'x'y' theo công thie: xX =x + Fy, y=y, + thi đối với mục tiêu O'x'y', phương trình của S sé không có số hạng X'y”

Trường hợp 2 Cả hai số A và C đều bằng 0 Khi đó B z 0 Phương trình (1) trở nên:

2Bxy + 2Dx + 2Ey +F = 0 Qua phép đổi mục tiêu Oxy thành mục tiêu O'x' yo x = xo ty, y=x’ oy’ phương trình đó trở thành: IBx” — WBy”? + 2D(x" + y’) + 2G’ - y') + F = 0 trong he toa do O'x'y’, phuong trình này không chứa số hạng chữ nhật x'y"

Vậy ta luôn luôn có thể chọn mục tiêu Oxy nào đó sao cho phương trình của (S) không chứa số hạng chữ nhật xy Do do, giả sử phương trình của (S) có dạng:

dưa phương trình của (5) thành dạng: Ax"? + Cy? =IL @®)

— Néu H¥ 0, ta chia ca hai vé cua (3) cho H: “x” + ¬ 1

Dùng phép đổi mục tiêu: X = x,Y= ,Í|—|y' ta đưa phương trình của

93

Đường bậc hai (S) có phương trình (D gọi là đường clip áo

Đường bậc hai (S) có phương trình (HT) gọi là đường hypebol

— Nếu II =0 và A, C khác đấu (có thể xem A > 0 và C < 0) Đổi mục tiêu O'x'y' thành QXY với N= VAx',Ÿ= V-Cy' Trong hé muc tidu O'XY phuong trình của (S) có dạng:

Vậy đường bậc hai (S) ld cấp hai đường thdng cdt nhau X + Y =OvaX-Y =0

— Nếu II = 0 và AÀ, C cùng đấu (dương chẳng hạn) Đổi mục tiêu O'x’y! thành

OXY:X= VAN", Y= VCy'ta dua phuong trinh ctia (S) vé dang:

X'+V?=0 (V)

Vậy, dường bậc hai (S) là cặp đường thẳng đo cắt nhau tạt điểm thực (0, 0)

Tuy nhiên, nếu xem mật phẳng có chứa những điểm có tọa độ phức thì có thể nói (S) gồm hai đường thẳng do liên hợp có phương trình: X +ïY = 0 và X —íY =0

bí Một trong hai so A va C bang 0, giả sử C =0, A #0,

TH cưới Pa viết phương trình (2) dudi dang: A(x’ + TT x) + 2Ey + F =0 hay: ¬ „ » wD › 3

é

I) AŒ&% +} +2ly+l— —— =0,

Đường bậc hai (S) là đường parabol

~ Nếu lš= 0 và II 0: chia cả hai vế của (4) cho H và dùng phép đổi mục tiêu:

(3) có phương trình (VID là cấp đường thẳng song song: X = I và X=~]

(3) có phương trình (VHD là cấp đường thẳng đo song song: Ä = Ì Và X = —I

~ Nếu F‡ = II = 0: đưa phương trình về dạng:

(S) 66 phuong trinh (IX) la cép diong thẳng trùng nhau

Dang phuong trình chính tác của dường bác hai,

Tóm lại, bằng cách chọn một mục tiêu afin thích hợp ta có thể dựa phương

trình của đường bậc hai về một trong 9 đạng phương trình trên, gọi là các dạng

phương trình chính tắc của đường bậc hai lĨơn nữa có thể chứng mính được rằng

mỗi đường bậc hai (S) có một và chỉ một dạng phương trình chính tắc:

() x*+y°= 1 (dường elp)

UD) x”+y°=—l (đường clíp áo)

(HH) x?~ y”= 1 (đường hepebol)

(IV) x°+y”= 0 (cập đường thắng ảo cắt nhau)

(V) x”~y°=0 (cập đường thẳng cắt nhau)

(VD_ x”~ 2y =0 (đường parabol)

(VI) x = 1 (cập đường thẳng song song)

(VIID x? = -1 (cặp dường thẳng ảo song song)

(IX) x?=0 (cap dudng thang tring nhau)

1.3 Giao của đường bậc hai và đường thẳng

Trong mật phẳng với mục tiêu aflin Oxy, cho đường bậc hai (S) có phương trình:

Í&, y)= Ax?+ 2Bxy + Cy? + 2Dx + 2Ey +F =0, voi A? +B’ + Œz0 ()

và cho đường thẳng (d) c6 phuong trinh tham s6: x =X) Fal, y= Yotbl (2)

Giao điểm của (S) và (đ) là điểm mà tọa độ của nó là nghiệm của hệ gồm

phương trình (1) và các phương trình tham số (2)

Thay các phương trình của (2) vào (1) ta được :

A( + a0” + 20, + a0, + bD) + CÓ, + bÙ” + 212, + a0) + 250 + bt) + P= 0,

hay PU +2QU+R=0 @)

Trong đó: P = Aa’+ 2Bab + Cb’

Q = a(A x, + Byy +D) + b(Bx, 4Cy, +E) (*)

R = AX,’ + 2Bxoyy +Cyy? + 2Dx, + 2y, + 1

Giải phương trình (3) đối với t, rồi thay vào (2) ta được tọa độ các giao điểm,

~ Nếu P # Ú: Phương trình (3) có thể có hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm trùng nhau, hoặc vô nghiệm (còn nói là có hai nghiệm phức liên hợp) tuỳ theo đấu của

A’= Q’- PR Nhu vay dutng thẳng (đ) có thể cất (S) tại hai điểm phân biệt, tại hai

điểm trùng nhau hoặc không cát (5) (còn nói là d cất (%) tại 2 điểm ảo liên hợp) ứng

96

với trường hợp phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt, hoặc trùng nhau, hoặc vô nghiệm (tức là chỉ có nghiệm phức)

— Néu P = 0:

Néu Q # 0 thi phuong trình (3) có nghiệm duy nhất: (d) cất (S) tai một điểm duy nhất

Nếu Q =0, R z0 thì (3) vô nghiệm: đường thẳng (d) khong cat (S)

Néu Q = R = Othi (3) có vô số nghiệm: đường thang (d) nam trén (S)

Chú ý Có thể viết Œ*) cho gọn như sau:

R= Ax,?+ 2Bx,y, + Cy,” + 2Dx, + 2Eyo + F = to, Yo )

Neoai ra viz (((x, y) = 2(Ax + By + D), f(x, y) = 2(Cy + Bx + §), nén:

2Q= ao, Yo) t BL (Xp, Yo)-

(ky higu: (0%, yo) IA dao ham tai (Xo; Yo) theo biến x khi coi y là hàng số; cồn 1%, Yo) 1 dao ham tại @„; Yu) theo biến y khi coi x 1 hang sd)

1.4 Tâm của đường bậc hai

Định nghĩa Điểm T được gọi là tâm của dường bậc hai (S) nếu đối với một mục

tiêu afin mà I là gốc, phương trình (S) có dang: Ax’ + 2Bxy + Cy’ + =0

'Từ dó suy ra nếu M(%; y) nằm trên (5) thì điểm Mf(—x; ~y) cũng nằm trên (®), như vậy thì tâm I cua dường bậc hai (S) chính là tâm đối xứng của nó

Một dường bậc hai gọi là đường bậc hai có tâm nếu nó có duy nhất một tâm

Ví dụ Đối với đường bậc hai có dạng chính tắc thì theo định nghĩa ta có ngay: clÍp, clip ảo, hypebol, cập đường thẳng cất nhau (ảo hoặc thực) là những đường nhận gốc toa độ O(0; 0) lầm tâm (tâm đó là duy nhấu

Cách tìm tạm của dường bác lai

Giá sử đối với một mục tiêu an (O,; i; J) nào đó, đường bậc hai (S) cé phương trình:

f(x, y) = Ax?+ 2Bxy +Cỷ+21x + 2lšy+Ƒ=0, với A”+B?+C!#+0 ()

Với điểm Ï(x„; y„) ta xét mục tiêu mới (; i; Ds tức là dùng phép tịnh tiến mục tiêu:

X=x'+xX, ysý+y, Trong mục tiêu mới phương trình của (S) là :

Ắ + xu}? +2B(X' + Xu)(y! + Vụ) + CỚ + và)” + 2DÓGU + x;) + 2BÓy + yu) + F = 0

Điểm T là tâm của (S) khi và chỉ trong phương trình trên hệ số của x” và ý bằng 0, tức là:

Ax, + By, + C= 0 và Bx,+ Cya + D = 0

Như vậy toa độ tâm của (S) là nghiệm của hệ phương trình:

Bx +Cy+H=0 I(x, y) =0

Điền kiện đẻ dường bạc hai có tám

Tam I của (S) tổn tại khí và chỉ khi hệ phương trình bậc nhất nói trên có nghiệm

Néu 5 # e thì hệ có nghiệm duy nhất: (S) là một đường bậc hai có tâm

Nếu a e # 1 thì hệ vô nghiệm: đường (S) không có tâm

Ví dụ Nếu xét các đường bậc hai dưới dạng chính tắc thì: clíp; elíp ảo, hypebol, cập

dường tháng cát nhau là đường bậc hai có tâm Cập dường thẳng song song hoặc

trùng nhau là đường bậc hai có vô số tâm Đường parabol là đường bậc hai không

có tâm

1.5 Tiếp tuyến của đường bậc hai

Định nghĩạ Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (S) nếu hoặc nó cất (S) tại hai điểm trùng nhau, hoặc (d) năm trên (S) Khi dó điểm chung của (d) và (Š) gọi là

98

tiếp diểm

Phương trinh tiep tuyen

Trong mặt phẳng với mục tiêu afin Oxy, cho đường bậc hai (S) có phương trình: `

{(x, y) = Ax?+ 2Bxy + Cy? + 2Dx + 2Ey + F=0, voi A°+ B+ C40 (1)

Cho M,,(x,3 yn) thuộc (S) Đường thẳng d qua Mụ với vecto chỉ phương 0(a;b) # 0, 6 phuong trinh tham s6 x = X)+ at, y = y,+ bt tigp xtc voi (S) tai M,

“Trở lại phương trình PỬ + 2Q1+R=0 (3) dé tim giao điểm của (đ) và (S) Vì

M, nằm trên (S) nên l =0 Vậy: PỬ + 2Qt = 0

Nếu Q =0 thì phương trình có hai nghiệm trùng nhau t= 0 Do dé (d) là tiếp tuyến với (S) tại Mụ,

Ngược lại, nếu (d) là tiếp tuyến với (S) tại Mụ, thì nếu P = 0, ta cũng có Q =0

Vì nếu Q # 0 thì phương trình trên chỉ có một nghiệm duy nhất Phương trình nghiệm đúng với mọi t, tức (d) lì đường thẳng nằm trên (S) Còn nếu D z 0 thì để phương trình trên có hai nghiệm trùng nhau (là t= 0) ta phải có Q = 0

Vậy (d) là tiếp tuyến khi và chỉ khi Q = 0 hay là:

a(Ax, + By, + D) + b(BX, + Cy, + Ld) = 0

Nếu hai giá trị Ax, + By, + D va Bx, + Cy, +E đểu bằng Ó (tức M, là tâm của (8) thì a và b có thể chọn tuỳ ý

Khi dé, moi đường thang di qua M(x,; y,) ¢6 vecto chi phuong u(a;b) # 0 déu

là tiếp tuyến của (S)

Néu hai gid tri Ax, + By, + D va Bx, + Cy, + E khéng déng thoi bang 0 thi ta

có thể lấy:

a = Xu + Cy, + Po va b = -(AXy + By, + D)

Vậy phương trình tiếp tuyến (d) tại MỊ, là a(x — xu ) + b(y - y,) = 0, hay:

(2, + lầy, + D)(x — Xu) + 3x, + Cyu +Í))(y — vụ) = 0

cũng 6 thé viet gon: 1.0%), Vu)(X — XJ) + PM, Va)(Oy — Và) = Ó,

99

1.6 Phương tiệm cận và đường tiệm cận

Giả sử dối với một mục tiêu afin (O; i; j) nào đó, cho dường bậc hai (5) có phương trình:

(x, y) = Ax?+ 2Bxy + Cy’+ 2Dx + 2Ey + F =0, voi A? +B’ +C'4#0 ()

Vinh nghia Vecto u = (a; b) # (0; 0) goi 1d vecto chi phuong tiém cận hay đơn giản là phương tiệm cận của (S) néu P = Aa’+ 2Bab + Cb’ = 0

Hién nhién 1a néu @ 1A phuong tiệm cận của (%) thì k với mọi số thực k # 0 cũng là phương tiệm cận của (5)

Theo mục trên ta có: Nếu vectơ chỉ phương ứ_= (a; b) của đường thẳng (d) là phương tiệm cận của (S), thì (đ) không cất (S), hoặc (đ) cất (S) tại một điểm, hoặc (d)

là một bộ phận của (5) Khi đó ta nói (đ) là một đường thẳng có phương tiệm cận đối

với (9)

Định nghĩa, Cho đường bậc hai (S) có tâm duy nhất, một đường thẳng (đ) có phương tiệm cận, di qua tâm Ï của (S) và d không cất (9) được gọi là đường tiệm cán của (8S)

Ví dụ 1.;Xét dường bypebol (II) có phương trình: x?— y' =l, ở đây À =l, B= 0,

C=~I1 nên ú =(a; b) z (0; Ø) là phương tiệm cận khi và chỉ khi a? - b = 0 Vậy (1)

có hai phương tiệm cận là ứ, =(l; l) và ú; =(1; —I) Tâm của D là O(Ó; Ô) nên hai đường thẳng di qua Ó có phương tiệm cận là x — y =0 và x+y = 0 Dễ thấy rằng

chúng không cất (1l), nên chúng là hai đường tiệm cận của (LD

Ví dụ 2, Xét đường bậc hai (5) có phuong trinh x? — y? = 0 (cặp dường thắng) Nó có

tâm là O(Ø; 0) và có hai phương tiệm cận là ủ,=(l; và ủy =( —Ú) Nhưng hai

dường thẳng x = y = Ö và x + y = Ø không phải là các dường tiệm cận của (S) vì cả hai dường thẳng đó dểu năm trên (5)

1.7 Đường kính liên hợp

Đối với một mục tiêu alin (O; i; i) nào đó, cho đường bậc hai (S) có

phương trình:

100

f(x, y) = Ax?+ 2Bxy + Ấy?+ 2Dx + 2y +EF=0, với A”+ B'+C?#0 (1)

'Fa biếu Vectơ ú(p; q) khác Ö và không phải là phương tiệm cận của (S) nếu

P= Ap’+ 2Bpg + Cy’# 0

"theo trên, ta biết néu P = Ap’ + 2Bpq + Cq? # 0 thì các đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương ú cắt (5) tại 2 điểm M¡,M; (1à hai điểm phân biệt, trùng nhau hoặc

2 điểm ảo liên hợp)

Định nghĩa Đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương ú cất (S) tại hai điểm MỊ, M,

dược gọi là đường kính liên hợp với phương ũ(p; q) (không phải là phương tiệm cân) của dường bậc hai (5)

Định lí Cho ủ(p; g) khác Ó và không phải là phương tiệm cận của đường bậc hai (S) dã cho Một đường thẳng (d) thay đổi có vectơ chỉ phương ñ (p; q) cắt (5) tại

hai diém MỊ, và Mẹ Khi đó trung điểm I ca đoạn thẳng M,M; luôn nằm trên một

dường thẳng (đ) đí qua tâm (nếu có) cla (S)

Chứng mình

Giả sử trong hệ toa độ afin di cho I c6 toa dd (Xo; yo) Phương trình tham số của dường thẳng (d) qua I va có phương ú (p; q) là:

(2) y=y, tt

Ta chứng mình rằng đó là phương trình của đường thẳng, tức là:

(Ap + Bqy’ + (Bp + Cqy’# 0

101

Thue vay, néu Ap + Bq = 0 và Bp + Ca = 0 thì do (p; q) # (0; 0) ta gia sit p #0,

có „ = =-4 do đó Ap = =Bq và Bp = -Cq, tức là:

sop

B

Ap’ + Bpq = 0 và Bpq + Cq?= 0

Từ dây, có P=0, trái với giả thiết: P z 0

Nhu vay, cho ii (p; q) # Okhong phải là phương tiệm cận của (S), tức là:

P=Ap?+2Bpq + Cq’# 0

Đường kính liên hợp với phương ủ(p; q) của (S) là một dường thẳng có phương trình:

(Ap + Bq)x + (Bp + Cq)y + Dp + Bq =0 (*) Hơn nữa, tâm I (nếu có) của dường bậc hai (S) có toạ độ (x; y) là nghiệm của

hệ phương trình:

Ax+By+D=0 và Bx + Cy + l = 0

Từ dó suy ra (x, y) là nghiệm của (®) Vậy đường kính liên hợp với phương

U (p; q) cla (S) di qua tâm của (S)

Vi du 1 Cho dutng elip (3) c6 phuong trinh x’+ y= 1 O day c6: A= C= 1,B=D

=f = 0, F =~ Khi dé, không có vectơ ti (p; q) # Q nao thod man digu kién P=p’+q’=0 Vay moi veeto ti (p; q)# 0 đều không phải là phương tiệm cận, do

đó dường kính liên hợp với phương ủ (p; q) # 0 là dường thẳng:

px +qy =0

Ví dụ 2, Cho hypebol ŒI) có phương trình x? - y’ = 0 N6 có hai phương tiệm cận là

uy =(1; 1) va u, =(1; -1) Vay moi vector u (p; q) voi p # tq va p.q# O, déu khong phai 1a phương tiệm cận Đường kính liên hợp với phương đó của hypebol là dường thẳng: px - qy=0

Ví dụ 3 Cho parabol x°~ 2y =0 Ta có: A =l,B=C=lD)=F=<0,;=—l Phương tiệm cận ú(p; g) # 0 thoả mãn diểu kiện P = ƒ= Ö, vậy có duy nhất một phương tiệm cận, đó là u = (0; l)

102

Vậy mọi vectơ ú =(1; g) đều không phải là phương tiệm cận Đường kính liên hợp với nhương đó của parabol là dường thắng: x — q=0

2 Phương trình dường bậc hai trong hệ tọa độ trực chuẩn

2.1 Khử số hạng chữ nhật

Trong mục này ta chỉ xét mặt nhẳng với hệ tọa độ trực chuẩn

Giả sử dối với mục tiêu trực chuẩn (0; i; j), dường bậc hai (S) có phương trình:

Ax?+2Bxy + Cy? +2Dx + 2Ey +F=0 Œ) Trước hết, gid st B ¥ 0, ta sé tim mot muc tidu truc chuẩn mới sao cho phương trình của (S) không chứa số hạng chữ nhật xy

Dùng phép dối mục tiêu trực chuẩn:

X=X/cosŒ— y sinœ

Ũ = X'sinœ + y“cosœ sao cho phương trình của (5) trong hệ mới O'x⁄y' là phương trình bậc hai dối với x’

và y' Không có hệ số của x/y”, tite BY = 0

BU =-A sina.cosa + Beos’a — Bsin’a + C sind.cosœ

=! (C — A)sin2a + Beos2a = 0

Do B 4 0 nén c6 cotg2a = = do d6 ta ludn chon duge a sao cho phuong

trình của (S) có dạng: A'x 2+ Cly” + 2D'x' + 2B'y +1" = 0 @)

Nhu vậy, dối với đường bậc hai (S) đã cho, luôn chọn được mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của (S) không có số hạng chữ nhật

2.2 Phương trình chính tắc của đường bậc hai trong hệ trực chuẩn

"Theo mục trên, giả sử đã dua phương trình của (S) về dang:

Ax'+Cy?2+2Dx+2ly+'=0 (3)

103

Tiếp tục đơn giần phương trình của (S) trong các trường hợp có thể được a/ A #0 và C+0: Đổi mục tiêu trực chuẩn theo công thức;

IP X=x+ A ;Y=Y+—

Nếu a = b thì (S8) là đường tròn tâm là gốc toa độ mới, bán kính lR =a: X? +Y” = R?,

x + x =-L(D, (S) là đường elip áo 2 2

Nếu a = b, thì (S) là đường tròn ảo: X) + Y? = -R’

xv Ly hoặc _x a 2 2 sl (IID, (S) 1a ding hypebol

~ Nếu I” = 01a có AX? + CY? =0, data’ = |—

é ta dua phương trình của

va b? = + B (S) vé mot trong hai dang (TV) va (V) sau day:

bí Một trong hai số A và C bằng 0, piả sử C = 0

~ Nếu A#0,C=0,Ez 0, (S) 66 phuong trinh Ax?+ 2Dx + 2Ky +h =0 (4)

104

Ta viết lại phương trình (4) như sau;

Alx'+2Dx| +2E yet =0

Y=y+—-

2E 2AE

phương trình (5) trở thành:

AX? +2l:Y =0, (5) là đường parabol có phương trình là X?=2pY (VD

— Nếu ¿\ #0 còn C =l‡ <0, (S) có phương trình: Ax? +2Dx + =0 (5), hay:

Xx~a=0và X-a=0(VID, (5S) là cập dường thẳng song song

Nếu ]”= 0 thì (5S) có phương trình:

X/=0(VII), (%) là cập dường thẳng trùng nhau

Nếu ]” <0, ta dat [ = =a” thì (S) có phương trình:

X+ia=0và X—ia =0(1X), (5) là cập dường thẳng ảo song song

Vậy, ta chọn được hệ toa độ trực chuẩn thích hợp sao cho ta có thể đưa phương trình của đường bậc hai về một trong Ø dạng phương trình trên, gọi là các dang phương trình chính tắc của đường bậc hai trong hệ toa độ trực chuẩn Ilơn nữa có thể chứng mính được rằng mỗi đường bậc hai (S) có một và chỉ một dạng phương trình chính tắc

105

Tyre 1 (ID, (S) la dudng hypebol

are 0V), ($) là cặp dường thẳng cất nhau

yt ae O(V), (S) Li cap dudng thang ảo cắt nhau

X}= 2pY (VD, (S)là đường parabol

X °=„?=0(VI), (S) là cập đường thẳng song song

X”=0(VII), (S) là cập dường thang trùng nhau,

X? ¢a’=0 (IX), (S)IA cập dường thang ảo song song

3 Ba dường cônic

3.1 Đường cônic

Các dường clip, hypebol, parabol còn có tên gọi chung là các đường cônic Nguồn gốc của chữ “cônic” là khi cắt mỘt mặt nón tròn xoay ( “nón” dịch từ chữ “cone”, đọc là “côn”) bởi một mặt phẳng không đi qua dinh của mật nón thì giao tuyến sẽ là:

~ Đường clíp nếu mặt cất khong song song với một đường sinh nào của mật nón (đặc biệt: clíp là đường tròn nếu mật cất vuông góc với trục của mặt nón) (h.52)

= Đường parabol nếu mặt cất song song với một đường sinh của mặt

nón (h.33)

106

Khi a = b: Đường bậc hai (S) là dường tron có tâm tại gốc tọa do và bán kính

R =a (ta luon qui ude a> Ovi b> 0) Ta biết rằng dường bậc hai (5) là đường tròn khí và chỉ khi trong một mục tiêu trực chuẩn bất kỳ phương trình của nó có dạng:

x'+y °+2Dx +2l2y+ =0,

trong d6 1’ + 1°- F > 0

Khi đó tâm của nó là điểm 1 = (-D, -E.) va ban kinh 1a R = VIP 41-8

Sau day ta xét elip (E) voi a > b (Vì trong trường hợp b > a, ta chỉ cần đổi vai trò của x và y)

107

~ ) là dường bậc hai có tâm, đó chính là gốc toạ độ Ö

— (1) c6 hai trục đối xứng là hai truc toa do True Ox cat (E) tại hai điểm A,(-a; 0) và A,(a; 0), truc Oy cat (4) tai hai diém 1,(0; -b) va B,(0; b) Bon diém dé gọi là bốn đỉnh của (Œ), độ dài A¡A; = 2a gọi là trục lớn và l3,B; = 2b gọi là trục bé

là một đường thẳng qua gốc toạ độ O và có phương trình là

~ Hai diém F, = (~c; 0) va F, = (; 0), với c= và? — bŸ, gọi là các tiêu điển

Đường clíp với phương trình (1) là tập hợp những điểm M mà tỉ số khoảng

cách từ nó tới một tiêu điểm và tới đường chuẩn tương ứng bằng số e không đổi

X=acos1 y=bsint

“Thật vậy, khử t ta có ngày phương trình (1)

Ngược lại, nếu đặt x = acost thi tir (1) ta suy ra y = bsint

Tink 55

Y nghĩa của tham số t được thể hiện trên hình vẽ Trên hình dó ta có elfp IIDR đường tròn (O; a) và đường tròn (O; b) Với mỗi gid tri (eR ta ve tia OT sao cho góc XƠT = 1 (adlan), ta gọi P, Q là giao điểm của tỉa ỚT với các dường tròn (Õ, a)

và (O, b) Khi đó tì có:

P = (acost; asint) va Q = (beost; bsint)

Lấy M là điểm sao cho PM/OY và QM/Ox thì toa độ của M là M = (acost bsint)

Vậy M thuộc clíp (12)

Tĩnh chát quang học của dường chp,

Định lí Cho dường clíp (l2) có hai tiêu điểm F; và E„ Khi đó tiếp tuyến d ta điểm M trên (1?) tạo với các dường thắng MĨ?, vii MP, các góc bảng nhau

Chứng mình, Trong hệ tọa độ trực chuẩn cho clfp () có phương trình chính tac:

109

Suy ra Te = Mn hay (d) 1a phan gide ngodi cla géc 1 MF,

~ Trường hợp nếu x„= 0, thì (d) / Ox và dịnh lý là hiển nhiên

Hi

3.3 Đường Hypebol

Cho hypebot (H) ¢6 phuong trình chính tắc:

2 3

~ (ID là dường bậc hai có tâm, đó là điểm gốc toa độ O

~ đŨ có hai trục dối xứng, đó là hai trục toa độ

~ Truc Ox cit tại hai điểm ACa; 0), A,(a; 0) goi 1a hai dỉnh của (ED Truc Ox poi 1A trục thực

~ Truc Oy Không cất (1D), gọi là là true do cha (ID

~ Mai diém FP, = (-e; Ø) và Pc; 0), trong dé c = và? th, gọi là các Hiệu điển của Tlypebol, độ đài 2e gọi là tiêu cự

Ở bậc phổ thông ta đã biết: Đường 1Iypebol (11) là tập hợp những diểm M s vài

% 1t, =2e<2a,

cho: [MI - ME = 2a, trong dé F,, 1¢, 6 dinh cho trude, FE, = 2e < 2a

trình

Đổi với dường Ilynebol, hai dường thang (A)) va (A,) lần lượt có phương trì

X=—S,x=Š, (rong đố e = “ gọi là tâm sai) gọi là hai đường chuẩn LHƯƠNg ứng nh e a với hại tiêu điểm ly E,

Ilypebol la qui tich cdc điểm mà tỉ số khoảng cách từ nó đến tiêu điểm và dường chuẩn tương ứng bằng số e không đổi với e> 1

Tính chát quang học của dường hypebol

Định lí Pascal Cho đường hypebol (1) có hai tiêu điểm E¡ và E„ Khi đó tiếp

tuyến (d) tại điểm M trên (1l) tạo với các đường thang FM và E,M các góc

~ Parabol không có tâm đối xứng Có trục đối xứng là Öx

— Diém F = cf; ©) gọi là rêu điển, đường thẳng (d): x= -š gọi là đường chuẩn của parabol

— Ở bậc phổ thông tà dã biết: Đường Parabol (P) la tập hợp các điểm cách déu tiéu điểm và đường chuẩn

— Phương trình tiếp tuyến tại điểm M,@¿; Yo) € (P) 18 yyy = p(X +Xy)

— Parabol có phương tiệm cận duy nhất là vectd j=Œ; 0), nhưng không có đường tiệm cận, Mọi vectơ ú (4; 1) đều có đường kính liên hợp với nó, đó là đường thẳng song song với Óx có phương trình là y = px

Định lí Pascal Cho đường parabol (Ð) có tiêu điểm F Khi đó tiếp tuyến A tại điểm M trên (P) tạo với các đường thẳng EM và MT song song với Ox các góc bằng

nhau (h.S7)

3.5 Phương trình của đường cônie trong toa độ cực

Theo trên các đường conic clip, hypebol, parabol déu có tiêu điểm F và đường chuẩn d tương ứng với tiêu điểm đó Tà có định nghĩa chung cho ba dường conic:

14

Định nghĩ Đường cônic là quỹ tích các điểm M sao cho tỉ số Khoảng cách từ

Mi dến tiêu diểm Ï? và khoảng cách từ M đến dường chuẩn d tương ứng là một hằng

số e >0 không dổi Số e gọi là tâm sai của đường cônic

Nếu c < 1 thì dường cônic là đường clíp

Nếu e = I thì dường cônic là đường parabol

Nếu e > I thì đường cônic là đường hypebol

Lấy hệ toa độ trực chuẩn có gốc l, có trục hoành vuông góc với dường chuẩn A Đặt khoảng cách từ F tới A là FH = p, khi dé dường thắng Acó phương trình x=p, với điểm M= Œ; y), ta có: MỸ = jJx?+yˆ và khoảng cách từ Mới À là:

MK = [x - P|

R3 x+y v2

———=t Nếu M thuộc dương cônic thì MẸ _ e hay =

Chuyển sang toa độ cực: x = pcos9, y = psin8, phương trình trên trở thành

Ca |pcos® ~ p| “e hay p=elpeo6=p| Như vậy hoặc p=c(@eosÐ=p) hoặc

=ec(-pcosÐ+p) hay p=———— hoặc p=—————— )

Đối với clíp hoặc parabol (trường hợp 0 < e <1) thì phương trình thứ nhất

e không thoả mãn vì Khi đó p <0, vậy chỉ còn phương trình: p= —-

§2 MAT BAC HAI TRONG KHONG GIAN

1 Phương trình mặt bậc hai trong hệ toa dé afin

1.1 Phuong trinh bac hai va mat bac hat

Phương trinh bdc hai d6i v6i x, y, z là phương trình có dạng sau dây:

POY y, 2) =a x? tay’ tae? t Qa xy + 2a,yz + 2ayxz + 2ayx

1.2 Phương trình chính tắc của mặt bậc hai

Giá sử đối với hệ toa độ alin OxyZ, cho mặt bậc hai (S) có phương trình:

2 ^ > ^ 4 a

Bởi vậy, khi đổi mục tiêu toa do Oxyz thành Ox'y”2 theo công thức: x' = x+y,

y’=y, # = 71a duge phuong trinh cha (S) đối với mục tiéu Ox’y’z’ mới sẽ không có

sO hang x’y’ Tip tuc déi muc tiéu nhu vay, cudi cing ta sé duge mot phuong tinh

không cồn chứa các số hạng chữ nhật y2, zx

Trường hợp 2 Các hệ số ay, a, a3, du bang 0 Khi dé cdc s6 hang aj), a),, a4,

khong déng thoi bang 0, piả sử a,, #0

Khi dó bằng cách đổi mục tiêu Oxyz thành mục tiêu Ox'y*Z theo công thức:

X=X+VY,y=X-V,z=/,

Ta có số hạng 2a,;xy tro thanh: 2a,(x’ + y)(x' — y’) = 2a x” — 2ai¿y 2 nên

phương trình của (S) trong hé toa dé méi c6 hé sé cla x” Way,’ = 2a,, # 0 Tite là đã

đưa trở về trường hợp I

Vậy, ta luôn luôn có thể chọn mục tiêu alin nào đó Ôxyz sao cho phương trình

của (5S) không chứa các số hạng chữ nhật xy, yz va zx Do dé gia sử phương trình của

(8) có dạng:

VQ, y, 2) = ax’ tayy tae? + 2ax+2ayt2azta,=0 2)

Ta xét dạng của mật bậc hai (S) có phương trình 2) trong mọi trường hợp

X'+Y ?+⁄2= 1), khi đĩ (S) gọi là mặt elipxơw thực

X '+VY?2+2= —1 (1D, khi đĩ (5) gọi là mật epAớ do

X?+Y?~⁄2= 1q), khi đĩ (5) gọi là mặt hypeboldit mor tầng

X’- Y= 7’ = 1 CIV), Khi đĩ (S) gọi là mặt hypeboldit hai tang

— Nếu a“, = 0, dùng cơng thức đổi mục tiêu X = + fay fx Y=, la„|y? 12 Yule’ thì tuỳ theo diu cla ay, ay, ay ta dua phuong trinh cia (S) vé mot trong cdc dang sau:

X74 Y= 7’ = 0 (V), khi do (S) gọi là mặt nĩn thực

X )+Y2+Z2=0(VD, khi đĩ (S) gọi là mặt nĩn do

ban =0, a,, # Ơ và au= Ư,

“Tịnh tiến mục tiêu Oxyz thành Ox'y' Z theo cơng thức:

ra va extol yysyt— _ as, 77

tạ được phương trình: auX? + 8u, v + 2a tay = 0 voi ay’ = ay,

119

— Nếu a,#0, bằng cách đổi mục tiêu theo công thức:

al

ay yl Ụ

X= laa xs Y= larsly’s ⁄=u# +

thì tuỳ theo dấu của a¿¡, a„; Vd a, ta dua phương trình của (S) về một trong các dang

sau:

X?+ Y? +27, =: 0 (VID, khi đó (S) là mat Paraboléit eliptic

X?-Y?+2Z.=0(VIID, khi d6 (S) goi Ia mat Paraboloit hypebolic

— Néwa,=0, phuong trinh con: ax” + ayy’ +a,’ = 0

+ Néu a’ #0 thi bang cdéch déi muc tiêu theo công thức:

X= Sux Y= Say! Lear

ta dưa phương trình (S) về một trong ba dang:

X ”+Y*= I (X), khi đó (S) gọi là mật /rụ clip

X ?+Y”=-~1 @), khi dó (5) gọi là mặt trụ clip áo

X?~Y?*=#I (XD, khi đó (3) gọi là mặt rự hypebôl

+ Nếu a„' = 0 thì phương trình còn: a,;x'?+ ayy” = 0

Đằng cách dối mục tiêu theo công thức:

X= lay, {x's =địa,,|y Z=7,

ta dua phuong trinh (S) vé một trong hai dang:

X?- Y*=0 (XI), khi đó (S) là cập mật phẳng cắt nhan

X?+Y”= 0 (XI), khi dó (S) gọi là cập mặt phẳng do

cf ay, = 0, a,,4 Ova ay = 0, Phương trình (2) còn:

apy’ + 2a,x + ayy + 2ayz+a,=0

Y'+ 2X =0(AXIV), Khi dó (S) gọi là mật trụ parabot,

~ Nếu a¡=a, =0, và an # 0 thì đổi mục tiêu theo công thức :

ta dưa phương trình (S) về một trong hai dạng:

Y”—1 =0(XV), khi đó (§) là cập mật pháng song song,

Y”+1=0(XVJ), khi đó (8) là cập mật pháng do song song

—Néua, =a,= a) = 0 thì đối mục tiệu theo công thức

1a được:

Y”=0(XVII), khi đó (§) tà cáp mật pháng trùng nhau

Dang phuong trink chink tac cia mat bac hat

Tóm lai, bang cdch chon mot muc uéu atin thich hop ta c6 thé dua phuong trình của mặt bậc hai về một trong T7 dạng phương trình dưới dây, được gọi là các

đạng phương trình chính tắc của mật bậc hai Hơn nữa có thể chứng minh được rằng

mỗi mặt bậc hai (S) có một và chỉ một dạng phương trình chính tắc

1.3 Giao của mặt bậc hai và đường thẳng

Trong không gian có mục tiêu afin Oxy2, cho mặt bậc hai (Š) có phương trình:

PO, y, 2) Say x’ Fay’ + ay2? + 2ayxy + ayyz + 2a Xz

+ 2ajX + 2ay+2azta,=0 (1)

trong đó các hệ số của các số hạng bậc hai ai, gà, duu ty, a2 a¿, không đồng thời

bang 0 ya cho dường thang (d) di qua diém M(X„; v„; Z4) và có vectơ chỉ phương

122

Ee ene

U (a; bj c) # 0 Giao điểm cita (S) va (d) LA điểm mà tọa độ của nó là nghiệm của hệ

gồm phương trình (1) và các phương trình tham số của (d):

‘Yhay cdc phuong trình của (2) vao (1) ta được:

Fox, y, 7) Say x’ + ayy’ tage’ + la xy + aysys + 2x7 + 2ax + ayy + 2a +a,

= 8/0 + at)’ + ayy, t+ bÙ + 2a,,(x,, + ADC, + bỤ + 2a, 0à + BỘ, + CŨ

+ 2a, + €ÖŒ + a0 + 2áiŒ,+ a0 + 24,9, + BÚ) + 2á + cŨ + Aj= 0

Viết gọn lại:

ID + 2QL+ R=0 (3) trong dé: P= aya’ +ayb’ + a,c’ + 2a,,ab + 2a),be + 2a,.ca

2Q = al, (Xiig Vụ Z4) + BỮT (Xu, Yụy Z4) + CŨ (Xu Yo, Z6}: (*) R= PO, Yn 4)

(ký hiệu I,là dạo hàm của I4, y, 2) theo biến x khi coi y, z là hằng số, tương tự l”y,

Ilan lượt là các dạo hàm theo y và đạo hầm theo z khỉ coi các biến kia 1a hằng số)

Giải phương trình (3) đối với t, rồi thay vào (2) tà được tọa độ các giao điểm

Boi vay:

~ Nếu Ð # 0: Phương trình (3) có thể có hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm trùng

nhau, hoặc vô nghiệm (còn nói là có hai nghiệm phức liên hợp) tuy theo dấu của

A'=Q —DPR

“Tức là dường thắng (d) có thể cất (5) tại hai điểm phân biệt, tại hai điểm trùng nhau hoặc không cất (S) (còn nói (d) cát ($) tại 2 điểm ảo liên hợp)

~ Nếu P = 0: phương trình (3) có thể có một nghiệm duy nhất (nếu Q # 0), võ

nghiệm (nếu Q = 0, l # 0) hoặc vô số nghiệm (nếu Q = R = 0) Vậy (d) có thể cất

(S) tai một điểm duy nhất, không cất (S) hoặc là hộ phận của (S)

Định ghia Vecto U (a; by ¢) £O gọi là phương tiệm cận của mặt bạc hai (S)

néuP saya’ +a, tac? + 2aab + 2a,be + 2a jac = 0

123

1.4 Tâm của mặt bậc hai

Định nghĩa, Điểm T được gọi là râm của mặt bậc hai (S) nếu trong mục tiêu afin

mà Ilà gốc toạ độ, phương trình (8) có dạng:

Ix, y, 2) sax’ tayy’ tac + 2apxy + 2aye+ 2a xzta, = 0

Từ định nghĩa ta suy ra nếu diểm M thude (S) thi diém M' déi xứng với nó qua

T cũng thuộc (S), vậy tâm của mặt bậc hai chính là tâm đối xứng của nó

Mot mat bậc hai gọi là mặt bậc hai có tâm nếu nó có duy nhất một tâm,

Cach tuna tam ea mat bac hai

Giả sử đối với một mực tiêu afin (O; i: j; K) nào đó, mat bac hai (S ) có phương trình:

TÍN, V, 2) = Ai0X + duy + A22 + 204 XY + 28, V2 + 2a 2

+2u,x+2a,y+21⁄+au=0 (1) vot a, (i, =1, 2, 3) không đồng thời bằng 0

Ta hãy dùng phép tịnh tiến mục tiêu từ (0; í; ] ; K) thành (ls i: j : K) với

Ï= (Xu; Z2), tức là theo công thức đổi mục tiêu:

8u +új¿V„ +¿Z4 tay =O hay P(x yur 4) = 0

ayjXi Fay tat +a, = Ô hay EU Yoh 4) = 0,

dey Xe FayV tat +a, = 0 hay POX v3 4) = 0

(tronp cách viết tren day, ta quy woe a, = aj, vot, j = t, 2, 3)

Như vậy tầm của mật bậc hai (3) cho bởi phuong trinh (1) 1a diém Ted toa do

là nghiệm của hệ phương trình nói trên

124

Điển kien dé mat (S) la mat bde hai cé tam

Mặt (9) là mật bậc hai có tâm khi và chỉ khi hệ phương trình bậc nhất nói trên

có nghiệm duy nhất Xét ma trận cấp 3:

(ai) =

gồm các hệ số của nhương trình mật bậc hai với quy ước a; =a, VOL, j= 1, 2, 3

Ta thừa nhận: Nếu det(a,) # 0 thì hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất và (S) la một mặt bậc hai có tâm

1.5 Giao của mặt bậc hai và mặt phằng

Định lí Giao của một mật bậc hai và một mặt nhẳng là một dường bậc hai, hoặc

một dường thẳng, hoặc một mặt phẳng

Ching mink, Gia sit cho mat bac hai (S) va mat phang (P) Ta hãy chọn một hệ toa

độ Oxyz sao cho mặt phẳng Oxy là mặt phẳng (P) Khi đó phương trình cla (P) đối với hệ tọa độ đó là z = 0 Giá sử đối với hệ tọa độ đó, phương trình của S có dạng (Ú) thì giao của (S) và (P) gồm những điểm có tọa độ thoả mãn hệ phương trình sau:

T(x, ¥, 2) = ayx?t ayy? + aye? t 2a xy + 2a yz + 2a, Xz

+ 2a)xX + Jay + 2a.z7 +4, = 0

với au(, j= 1, 2, 3) không đồng thời bằng không

'Ta đã biết: Nếu ú (p; q; r) Không phải là phương tiệm cận của mật bậc hai (S), tức là D = ay p? + ay q? + agar? + 2aypq + 2a,.qr + 2a, rp # 0 thi đường thẳng đ có vectơ

chi phuong ii (p; g; r) cất mật bậc hai (S) tai 2 diém M, vi M, phan biét, trùng nhau

hoặc là 2 điểm ảo liên hợp

Định lí và định nghĩa, Cho ủ (p; q; r) không phải là phương tiệm cận của mặt bậc hai (S) đã cho, tức là P = airp” + ag? + aye’ + 2ai,pq + 2a,;qr + 2a, rp #0

Tập hợp các trung diém I của các doạn thang M, M, voi M,, M, IA hai giao điểm của mặt (S) và các dường thẳng (đ) có vectơ chỉ phương ú (p; q; r) nằm trên một mặt phẳng, được gọi là mặt kính liên hợp với phương ủ (p; q; r) của mật bậc

hai (5)

Giả sử trong hệ toa dé afin da cho I c6 toa dé (X, Y, Z)

Phương trình tham số của đường thẳng d qua Ï và có phương ủ (p; q; r) là:

x=X+pt y=Y+qt (2) Z=⁄=t

Các điểm M¡, Mạ được xác dịnh bởi 2 nghiệm tị, ty của phương trình:

Điểm Ï là trung điểm của M, M; khi và chỉ khi t, + ty = 0 tức Q =0

Theo trên ta c6: Q = pl',(X, Y,Z) + qh CX, Y, Z) + PK, Y, 2 Œ9)

Do đó:

Q= up + ajq +a,g)X + (iạp + aạg + a;)Y + (up + auq + a,)

+ (pa, + qa,+ra,) = 0Ô

Ta chứng mình rằng phương trình đó là phương trình của một mật phẳng, tức

fa chang minh cdc hé s6 (ap + a).q +a,r), (@,p tang + ayer), ap + ag + age)

khong déng thoi bang 0

[26

"Thực vậy, nếu a¡¡p + aịạq + a¡¿r =0, ap t+apg tar =0, agp tag tayr=0

thì sau khi nhân lần lượt các dẳng thức trên với p, q, r (do p, q, r không dồng thời

bằng 0) rồi cong lại ta có D = ap’ +a,,q° + aur? + 2a,pq + 2a,.qr + 2a, rp = 0, trái

với giả thiết: P 4 0

Vậy: cho ú(p; gq; 1) # O không phải là phương tiệm cận của (S) Mặt kính liên hợp với phương d (p; q; r) của mặt bạc hai (S) là một mãi phẳng có phương trình:

Q= (i¡p + ai, +ai )X + Giáp + a,¿g + ayry + Gap +anq + ary

+ (pa, + qa, + ra,) = 0

Nhan xét Néu (S) là mặt bậc hai có tâm thì mặt kính phải di qua tim vì tam I cting

xác định bởi Q = 0 đối với mọi đường thẳng qua I

2 Phương trình mặt bậc hai trong hệ tọa độ trực chuẩn

2.4 Khử số hạng chữ nhật

"Trong mục này ta chỉ xét các hệ tọa độ trực chuẩn

Giả sử đối với hệ toa độ trực chuẩn Oxyz, mật bậc hai (S) có phương trình:

F(x, y, 2) = ay x?t ayy’ tags? + 2a xy + 2a,;y2 + 2a 4X7

+ 24/X + 2a¿V +21, + dạ =0 với aụ (, j= l, 2, 3) không đồng thời bằng không

“Trước hết, ta sẽ tìm một mục tiêu trực chuẩn mới sao cho phương trình của (S) không có số hạng chữ nhật

Gia sta, #0

Đổi mục tiêu trực chuẩn: phép quay các trục Ox và Oy của hệ toạ độ trực

chuẩn quanh trục 2 một góc a@ (4.60), theo công thức:

X=X'cosŒ — Vsind y=x'sina + y'cosa

2=7

Ta chứng minh rang tìm được góc quay œ sao cho phương trình của (S) trong

hệ mới Oƒx/v'2 là phương trình bậc hai không chứa số hạng chữ nhật dối với x' và y’, tức là có hệ số của x/v' bằng 0: a',; = 0

Thực vậy, ta viết:

Hình o0

ay Xx’ +a,’ + Qa, xy = a,,(x’cosa — y’sina)? + a,(x/sina + y’cosct)”

+ 2a,,(x’cosa ~ y’sina)(x’sina + y‘cosa)

SUY Tả:

2a’), = 2a, ,cosasina + 2a,sinacosa + 2a, (cos’a — sin’a)

a’), = —acosasina + a,sinacosa + a,)(cos’a — sin’a)

'Tiếp tục như vậy, dùng cách đổi hệ toa độ trực chuẩn để lần lượt làm mất số hạng chứa y'Z, rồi Zx', cuối cùng chọn được mục tiêu trực chuẩn sao cho phương

trình của (5) không có số hạng chữ nhật nào

Do dé, có thể giả sử trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz ta có phương trình của (S) không chứa số hạng chữ nhật:

FO, y, 2) say x? + ayy? + a2? + 2a,x + 2ay + 2az+a,=0 (2) với a, G =I, 2, 3) khéng déng théi bang khong

2.2 Phuong trình chính tắc của mặt bậc hai trong hệ trực chuẩn

"Theo trên, piá sử trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz ta có phương trình của (S):

VO, y, 2) Say x? tayy’ tayz? + 2ax+2ayt2azta,=0 (2) voi a, (i= 1, 2, 3) khong déng thoi bằng không

'Ta tiến tục đơn piẩn phương trình của (S)

a/ a, # 0 (= 1,2, 3) Đổi mục tiêu trực chuẩn theo công thức:

tạ dựa phương trình của (S) về dạng:

aX! +ayY’ tayZ? +a = 0

—!, b= hỊ,c?= || thì tuỳ theo dấu của a¡ và a4,

~ Nếu a',# 0, ta dat a’ =

phương trình cửa (S) có một trong bốn dạng sau:

x bã + “ = 11), (8) là mật Eipxôn,

am bh

3

c Đặc biệt nếu a =b =c ta có (S) là một mặt cầu tâm là gốc toa độ mới, bán Kính là = a:

b/ai #0, a,,# Ö và a= 0, Phương trình (9):

tị X + A,V ` +2a4X +2ayt2az4a,=0 (2)

có thể viết dưới dang: