Giai tích 2 Chương 1: Hàm số nhiều biến

Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 1.1. Các khái niệm cơ bản 1.2. Giới hạn và tính liên tục 1.2. Giới hạn và tính liên tục 1.4. Cực trị của hàm nhiều biến 1.5. Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học Đầy đủ lý thuyết, bài tập và lời giải chi tiết

Chương 1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Không gian Rn

1.1.1.1 Định nghĩa Không gian Euclide n chiều Rn (nN*) là tập hợp các bộ có thứ tự của n số

thực x1, x2, …, xn tức là Rn = {(x1,x2, …,xn) | xiR}

Khi n = 1 thì R1 là tập hợp các số thực R

Khi n = 2 thì R2 là tập hợp các cặp số thực (x1,x2) hay tập hợp các điểm của mặt phẳng Theo thói

quen từ trước, các điểm của R2 thường được ký hiệu là (x,y) thay cho (x1,x2)

Khi n = 3 thì R3 là tập hợp các bộ ba số thực (x1,x2,x3) hay tập hợp các điểm của không gian Theo

thói quen từ trước, các điểm của R3 thường được ký hiệu là (x,y,z) thay cho (x1,x2,x3)

Vì R1 là tập hợp các điểm của trục số, R2 là tập hợp các điểm của mặt phẳng, R3 là tập hợp các

điểm của không gian thực nên R1, R2 và R3 được gọi lần lượt là “không gian Euclide 1 chiều”, “không

gian Euclide 2 chiều” và “không gian Euclide 3 chiều” Tổng quát, Rn được gọi là “không gian Euclide n

chiều” hay ngắn gọn “không gian Rn” và mỗi phần tử của nó được gọi là một điểm, còn (x1,x2,…,xn)

được gọi là tọa độ của một điểm của không gian Rn

1.1.1.2 Khoảng cách trong Rn

Khoảng cách giữa hai điểm M1(x1) và M2(x2) trên trục số (R1) được định nghĩa là

.)xx(xx

Theo định nghĩa, khoảng cách giữa hai điểm trong Rn là ánh xạ từ Rn vào R + (Rn  R +)

Khoảng cách giữa hai điểm được định nghĩa như trên được gọi là khoảng cách Euclide Cũng như

trên trục số, trong mặt phẳng và trong không gian thực, khoảng cách Euclide trong Rn có các tính chất: (1) d(M1,M2)  0 và d(M1,M2) = 0  M1  M2

(2) d(M1,M2) = d(M2,M1)

(3) d(M1,M2)  d(M1,M3) + d(M3,M2) – bất đẳng thức tam giác

với M1, M2, M3 là 3 điểm bất kỳ của Rn

1.1.1.3 Lân cận, tập mở, tập đóng và tập bị chặn trong Rn

Giả sử Mo là một điểm của không gian Rn,  là một số thực dương, khi đó tập hợp tất cả các điểm

MRn sao cho d(M0,M) <  được gọi là -lân cận của điểm M0 Mọi tập hợp chứa một -lân cận nào đó của điểm M0 được gọi là lân cận của điểm M0

Giả sử tập hợp E  Rn, điểm ME được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một -lân cận nào đó của điểm M nằm hoàn toàn trong E Tập hợp E được gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong

Giả sử tập hợp E  Rn, điểm NRn được gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi -lân cận của điểm N vừa chứa những điểm thuộc E vừa chứa những điểm không thuộc E Điểm biên của tập hợp E có thể thuộc E cũng có thể không thuộc E Tập hợp tất cả các điểm biên của E được gọi là biên của nó

Tập hợp E  Rn được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó

Ví dụ 1.1 Giả sử E là tập hợp tất cả các điểm MRn sao cho d(M0,M) < r với M0Rn là một điểm

cố định và r là một số thực dương, là một tập hợp mở

Chứng minh Giả sử M là một điểm bất kỳ của E, do đó d(Mo,M) < r Đặt  = r – d(M0,M), khi đó

-lân cận của M nằm hoàn toàn trong E vì nếu P là một điểm của lân cận ấy thì ta có d(M,P) < , do đó theo bất đẳng thức tam giác d(M0,P)  d(M0,M) + d(M,P) < d(M0,M) +  = r

Tập hợp E nói trong Ví dụ 1.1 được gọi là quả cầu mở tâm M0 bán kính r Biên của tập hợp E này gồm các điểm M sao cho d(M0,M) = r được gọi là mặt cầu tâm M0 bán kính r Tập hợp các điểm M sao cho d(M0,M)  r là một tập hợp đóng, được gọi là quả cầu đóng tâm M0 bán kính r

Tập hợp E  Rn được gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó

Tập hợp E  Rn được gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kỳ của nó bởi một đường liên tục nằm hoàn toàn trong E Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín, được gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau từng đôi một

1.1.2 Hàm số nhiều biến, hàm véc tơ

1.1.2.1 Hàm số nhiều biến

Xét không gian Euclide n chiều Rn, giả sử D  Rn Khi đó ánh xạ f: D  R được xác định bởi {x =

(x1,x2, …,xn)D}  {y = f(x)  f(x1,x2, …,xn)R} được gọi là hàm số n biến xác định trên D; D được

gọi là tập xác định của hàm số f, ký hiệu là D(f); còn x1, x2, …, xn được gọi là các biến số độc lập Tập tất

cả các giá trị của hàm số y = f(x1,x2, …,xn) trên tập xác định D(f) được gọi là tập giá trị của hàm số f, ký

hiệu là R(f)

Như vậy, hàm số y = f(x1,x2, …,xn) là ánh xạ f: D(f)  R(f)

Theo thói quen từ trước, với n = 1 người ta dùng ký hiệu y = f(x) đối với hàm số 1 biến, với n = 2 người ta dùng ký kiệu z = f(x,y) đối với hàm số 2 biến và với n = 3 người ta dùng ký hiệu u = f(x,y,z) đối với hàm số 3 biến

Cũng như đối với hàm số 1 biến, hàm số 2 biến và hàm số 3 biến, tập xác định D(f) của hàm số n

biến là tập hợp tất cả các điểm xRn sao cho biểu thức của hàm số y = f(x)  f(x1,x2, …,xn) có nghĩa, tức

là biểu thức này phải xác định được

Từ đây về sau (trong Bài giảng học phần này), các vấn đề liên quan đến hàm số nhiều biến được trình bày cho trường hợp n = 2 (hàm số 2 biến) hoặc n = 3 (hàm số 3 biến) Các vấn đề ấy được mở rộng hoàn toàn tương tự đối với số nguyên dương n ≥ 4 (hàm số n biến) bất kỳ, nếu không lưu ý gì thêm

Ví dụ 1.2 Tìm và vẽ tập xác định của các hàm số sau đây

(a) z (x,y) 4x2 y2 (b)

1y

1yx)y,x(z

zyx1

x)

z,y,x(u

(b) Đối với hàm số

1y

1yx)y,x(

1yx





, để biểu thức này có nghĩa hay xác định được thì biểu thức dưới căn bậc hai ở tử số phải không âm (x + y + 1 ≥ 0) và biểu thức ở mẫu số

phải khác không (y – 1 ≠ 0), nên tập xác định D(f) = {(x,y)R2| x + y +1 ≥ 0 và y – 1 ≠ 0} Trên mặt phẳng tọa độ của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy thì D(f) là các điểm thuộc nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng y = – x – 1 (kể cả các điểm nằm trên đường thẳng này), nhưng không nằm trên đường thẳng

zyx1

x)

z,y,x(

zyx1

x





 , để biểu thức này có nghĩa hay xác định được thì biểu thức trong căn bậc hai ở mẫu số phải dương, tức là 1 – x2 – y2 –

z2 > 0, nên tập xác định D(f) = {(x,y,z)R3|x2 + y2 + z2 < 12} Trong không gian tọa độ của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz thì D(f) là các điểm thuộc quả cầu mở tâm O(0,0,0) có bán kính r = 1

Cũng như hàm số 1 biến, một hàm số nhiều biến thường được mô tả bằng 4 cách: (1) bằng công thức, (2) bằng đồ thị, (3) bằng lời, (4) bằng bảng các giá trị

1.1.2.2 Hàm véc tơ

Giả sử Rn, Rm tương ứng là không gian Euclide n, m chiều Ánh xạ f: D  Rm, trong đó D  Rn

được gọi là hàm véc tơ n biến Giá trị của hàm véc tơ f có m thành phần f = (f1,f2, …,fm-1,fm)  Rm

Trường hợp riêng, khi n = 1 và m = 1, hàm véc tơ chính là hàm số 1 biến đã được nghiên cứu trong học phần Giải tích 1; khi n > 1 và m = 1, hàm véc tơ chính là hàm số nhiều biến vừa được định nghĩa ở trên và sẽ được nghiên cứu trong học phần Giải tích 2 này

0 n n 0

0 n n n n

0

xxlim)

y,x()y,x(lim0

)M,M

(

d

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M0(x0,y0) (có thể không xác định tại M0) Ta nói rằng hàm số f(x,y) có giới hạn L (L là số thực hữu hạn) khi điểm M(x,y) tiến đến điểm M0(x0,y0) (M  M0) và viết lim (x,y) L

) y , x ( ) y , x

Nói cách khác (bằng ngôn ngữ “-”): Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào

đó của điểm M0(x0,y0) (có thể không xác định tại điểm M0) Ta nói rằng hàm số f(x,y) có giới hạn L khi điểm M(x,y) tiến đến điểm M0(x0,y0) (M  M0) và viết lim (x,y) L

) y , x ( ) y , x

 nếu với  > 0 bé tùy ý cho trước,  = () > 0 sao cho với (x,y)V thỏa mãn      2 

0 2

0

M,M(d

0) (y y )x

x

cách giữa điểm (x,y) và điểm (x0,y0); do đó, định nghĩa giới hạn bằng ngôn ngữ “-” nói lên rằng: Khoảng cách giữa f(x,y) và L có thể được làm nhỏ tùy ý bằng cách làm cho khoảng cách từ điểm (x,y) đến điểm (x0,y0) đủ nhỏ (nhưng không bằng không)

Lưu ý

1 Giá trị của x0, y0 có thể nhận các giá trị thuộc tập {-, <hữu hạn>, +}

2 Các định lý về giới hạn của tổng/hiệu, tích, thương, lũy thừa, căn đối với hàm số một biến (n = 1)

trong học phần Giải tích 1 vẫn đúng đối với hàm số nhiều biến (n > 1) Cụ thể là:

Cho các hàm số f(x,y), g(x,y) và giả sử lim (x,y) L

) y , x ( ) y , x



) y , x ( ) y , x

)y,x(lim

) y , x ( )



) y , x ( )



 (nN*, nếu n là số chẵn thì thêm giả thuyết lim (x,y) 0)

) y , x ( ) y , x



3 Nguyên lý kẹp vẫn đúng đối với hàm số nhiều biến Cụ thể là:

Cho các hàm số h(x,y), f(x,y), g(x,y); giả sử h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y) với mọi điểm (x,y) trong một lân cận nào đó của điểm (x0,y0) và lim h(x,y) lim g(x,y) L

) y , x ( ) y , x ( )

y , x ( ) y , x

4 Tích của một vô cùng bé (VCB) với một hàm số/biểu thức giới nội là một VCB

5 Theo định nghĩa giới hạn của hàm số nhiều biến thì giá trị giới hạn L không phụ thuộc vào cách

thức của điểm M tiến đến điểm M0 Do đó, nếu M  M0 theo các cách thức khác nhau mà hàm số tiến đến các giá trị khác nhau thì hàm số không tồn tại giới hạn tại điểm M0 khi M  M0

Do đó, đối với hàm số 2 biến f(x,y), để chứng minh hàm số này không tồn tại giới hạn tại điểm M0

(1) Nếu chỉ ra được hai dãy điểm  ( 1 )

n ) 1 (

n ,y

x ,  ( 2 )

n ) 2 (

(2) Nếu chỉ ra được hai đường (thẳng/cong) và nếu M(x,y)  M0(x0,y0) dọc trên hai đường này

x x x

xlim g(x) lim h(x) y

0 0

có vai trò như nhau

(3) Nếu đổi từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,)

cosrxx

y , x ( ) y , x

Ví dụ 1.3 Tìm các giới hạn sau đây

4 4

) 0 , 1 ( )

2 2

e)yx(

ysinx

) 6 , 1 ( )

yx

yxyxx2)y,x(

) 0 , 1 ( ) y , x



31

3)

yx(lim

)yxyxx(limy

x

)yxyxx2lim)

y,x(

) 0 , 1 ( ) y , x (

4 4

) 0 , 1 ( ) y , x ( 2

2

4 4

) 0 , 1 ( ) y , x ( )

0 , 1 ( )

ye

yye

0

xkhi0e

xe

xxe

0

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

y y x ) y x (

x y x ) y x (

000ye

limxe

lime

)yx(lim)

y,x(

) , ( ) y , x ( ) y x ( ) , ( ) y , x ( ) y x ( )

, ( ) y , x ( )

, ( )

2 2

ysinx)y,x

1.16sin.1ysinxlim

) 6 , 1 ( ) y , x



) 6 , 1 ( ) y , x

21)1x(lim

ysinxlim1

x

ysinxlim)

y,x(

) 6 , 1 ( ) y , x (

) 6 , 1 ( ) y , x ( 2

) 6 , 1 ( ) y , x ( )

6 , 1 ( )

Ta có lim e xy e 1.( 1) e

) 1 , 1 ( ) y , x



) 1 , 1 ( ) y , x





e1.e)yxcos(

lim.elim)

yxcos(

elim)

y,x(lim

) 1 , 1 ( ) y , x ( xy ) 1 , 1 ( ) y , x ( xy

) 1 , 1 ( ) y , x ( )

1 , 1 ( )

11yx

yx)

y,x

(

2 2

2 2

yx

xy)

y,x(





y2x

y2xcos)yx()y,x

yx

)ysin(

)xsin(

)y,x(

yx)

y,x(

2 2

2 2

0y()0x

11dd1

1d

d1

yx

yx)y

,

x

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

0 d )

0 , 0 ( )

yx

xy)

y,x(

xy

xx

2 2 2

x)

y,x(

y2x

y2xcos)y2x()y,x(

y2xcosyxy2x

y2xcos)y2x()y,x

)y,x(

 khi (x,y)  (0,0) Theo nguyên lý kẹp thì lim (x,y) 0

) 0 , 0 ( ) y , x

3 3

yx

)ysin(

)xsin(

)y,x(

3 3 3

yy)ysin(

xx)xsin(

khi (x,y)  (0,0)

yx

xyx

yy

x

xy

x

yx

2 2 2 2 2 2 2

2 2

yx

yx)y,x(z

yx)y,x(z

yx

yx)y,x(

1,n

2)y,x( n n với nN*, khi đó (xn,yn)(0,0)n

5

35

3lim)y,x(lim)y,x(lim5

3n5n3

n

1n

2

n

1n

2)y,x

(

n n n n

) 0 , 0 ( ) y , x ( 2

2 2 2

2 2

2,n

1)y,x( ,n ,n với nN*, khi đó (x,n,y,n)(0,0)n

5

35

3lim)y,x(lim)y,x(lim5

3n

5n3

n

2n

1

n

2n

1)y,x

(

n n n n

) 0 , 0 ( ) y , x ( 2

2 2

2

2 2

yxlim

0x)0,x

2 2 2

2 2

x

yx

lim

0 x 2 2

2 2

yy

0

y0

2

2 2

yxlim

0 x 2 2

2 2 ) 0 , 0 ( ) y , x

yxlim

cosrcosr0x

cosrx

vào biểu thức của hàm số f(x,y) thì ta được

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

sincos

)sin(cos

r

)sin(cos

r)sinr)cosr

)sinr)cosryx

yx)

y

,

x

(

2 2

0 r )

0 , 0 ( )

yxlim

yx2)y,x(

n

1,n

1)y,x( với nN*, khi đó (xn,yn)(0,0)n

11lim)y,x(lim)y,x(lim1

n2n2

n

1n

1

n

1.n

12)y,x

(

n n n n

) 0 , 0 ( ) y , x ( 4

4 2 2 4 2 2

n

1,n

1)y,x( với nN*, khi đó (x,n,y,n)(0,0)n

1)1(lim)y,x(lim)y,x(lim1

n2n2

n

1n

1

n

1.n

12)y,x

(

n

, n , n n

) 0 , 0 ( ) y , x ( 4

4 2

2 4

2 2

, n ,

yx2lim

2 4

2 2 2

k1

k2k

1

klim)kx,x(lim)y,x(limk

1

kx

k1

kx2)

kx(x

)kx(x2

) 0 , 0 ( ) y , x

theo định nghĩa thì 4 2

2 ) 0 , 0 ( ) y , x

yxlim

yx)y,x(



 với x > 0 và tham số m > 0 Tìm lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x





- Trường hợp 0 < m ≤ 1:

Nếu cho (x,y)  (0+,0) dọc theo đường thẳng/cong y = kxm với tham số k ≠ 0 thì

2 ) m 1 ( 2 m 2 2 2

m 2 2

m 2

m m m

kx

2

kx

kx

kx)

kx(x

)kx(x)kx

2 ) m 1 ( 2 0 x

1 0

x )

0 , 0 ( ) y , x

kk

1.2

kk

xlim2

k)

kx,x(lim)y,x(lim

k

 thay đổi khi k thay đổi, theo định nghĩa thì( x , ylim)  ( 0, 0 ) (x,y) không tồn tại

+ Khi 0 < m < 1  0 < 2(1–m) < 2 thì lim x2(1 m) 0

0 x

kk

xlim2

k)

kx,x(lim)y,x(

0 x

m 0

x )

0 , 0 ( ) y , x

) 0 , 0 ( ) y , x (   không tồn tại

cos2

rx

0r

,0rR)

1cos0

Đồng thời (x,y)(0,0)r0 vì

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

ryx21r

yx2r

yxsin

cosr

ysin

xr

2cos

sin

r

y

cos2

cos2

rx

vào biểu thức của hàm số f(x,y) ta được

2

r2

sinrcos2ry

x2

yx)y

,

x

2 2

m

2 2 m

0 , 0 ( )

) 0 , 0 ( ) y , x

1 m 0 r )

0 , 0 ( ) y , x (

, giá trị này thay đổi khi  thay đổi, theo định nghĩa thì lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x (   không tồn tại

lim , mặt khác cosmsin 1 nên

khi

0khi

0

02

khisin

cos

r

lim m 1 m

0

thay đổi, theo định nghĩa thì   

) 0 , 0 ( ) y , x

 khi m > 1 và lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x (   không tồn tại khi 0 < m ≤ 1

1.2.2 Tính liên tục

1.2.2.1 Định nghĩa

Cho hàm số hai biến z = f(x,y) có tập xác định D(f)R2, ta nói hàm số f(x,y) liên tục tại điểm

M0(x0,y0)D(f) nếu tồn tại giới hạn lim (x,y)

) y , x ( ) y , x (  0 0 và giá trị của giới hạn này bằng giá trị của hàm số f(x,y) tại điểm (x0,y0), tức là lim (x,y) (x0,y0)

) 0 , 0 ( ) y , x

Lưu ý Các tính chất liên tục đối với hàm số một biến (n = 1) đã học trong học phần Giải tích 1 vẫn

đúng đối với hàm số nhiều biến (n > 1)

Ví dụ 1.7 Xét tính liên tục của các hàm số f(x,y) sau đây, trên tập xác định D(f) của nó

)0,0()y,x(khiyx

yx)y,x(

2 2

)0,0()y,x(khiyx

xy)

y,x(

)0,0()y,x(khiyx

yx)y,x

2 2

là D(f) = R2

yx

yxyx

yxlim)

y,x(

0 2 0

2 0 2 0 2 2

2 2 ) y , x ( ) y , x ( )

y , x ( ) y , x

liên tục tại mọi điểm (x0,y0) ≠ (0,0)

- Tại điểm O(0,0) ta có f(0,0) = 0 nhưng lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x (  không tồn tại

Thật vậy, nếu chọn dãy điểmMn(xn,yn)với

npx

0y

0x

n n n n

0 , 0 ( ) y , x

qp)y,x(lim







 nhận các giá trị khác nhau, suy ra lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x

(  không tồn tại, theo định nghĩa, hàm số f(x,y) không liên tục tại điểm O(0,0)

)0,0()y,x(khiyx

xy)

y,x

yxy

2 2 2 2

xyy

,x(

) 0 , 0 ( ) y , x

 mà f(0,0) = 0 lim (x,y) (0,0)

) 0 , 0 ( ) y , x



số f(x,y) liên tục tại điểm O(0,0)

1

yx

xyy

x

xy)

y,x(

k)

k1(x

xkx

kx

xk)

kx(x

kx.x)

kx,x()y,x

2 2

2 2 2 2





2 0

x )

(  nên theo định nghĩa, hàm số f(x,y) không liên tục tại điểm O(0,0)

+ Nếu  – 1 < 0  1 –  > 0, bây giờ cho (x,y)  (0,0) dọc theo đường thẳng y = x thì

x )

0 , 0 ( ) y , x ( ) 1 ( 2 2

2 2 2

x

1lim2

1)x,x(lim)y,x(limx

1.2

1x

xxx

x.x)x,

yx

yxyx

xylim

)y,x(

0 2 0

0 0 2 2 ) y , x ( ) y , x ( )

y , x ( ) y , x

định nghĩa, hàm số f(x,y) liên tục tại mọi điểm (x0,y0) ≠ (0,0)

1.2.2.2 Điểm gián đoạn của hàm số

Hàm số f(x,y) được gọi là gián đoạn tại điểm M0(x0,y0) nếu nó không liên tục tại điểm đó và điểm

M0(x0,y0) được gọi là điểm gián đoạn của hàm số

Như vậy, khái niệm hàm số gián đoạn tại một điểm là phủ định khái niệm hàm số liên tục tại điểm

đó, tức là hàm số f(x,y) gián đoạn tại điểm M0(x0,y0) nếu:

(1) hoặc nó không xác định tại điểm M0(x0,y0);

(2) hoặc nó xác định tại điểm M0(x0,y0) nhưng không tồn tại giới hạn lim (x,y)

) y , x ( ) y , x

(3) hoặc nó xác định tại điểm M0(x0,y0) và tồn tại giới hạn lim (x,y)

) y , x ( ) y , x (  0 0 nhưng hai giá trị này không bằng nhau, tức là lim (x,y) (x0,y0)

) y , x ( ) y , x



Ví dụ 1.8 Xác định các điểm gián đoạn và các điểm liên tục của các hàm số sau đây

(a)

1x2y

5xy2x)y,x(

5xy2x)y,x

yx

yxR)y,x()(

D

2 2

Trên mặt phẳng tọa độ của hệ tọa độ Descartes vuông góc

Oxy thì D(f) là các điểm trừ các điểm nằm trên đường parabol

2

12

yx

2



 Theo định nghĩa, các điểm

(x,y)R2 nằm trên đường parabol

2

12

yx

2



 là các điểm gián đoạn của nó

Tại điểm (x0,y0) không nằm trên đường parabol

2

12

yx

)y,x(1x2y

5yxx1x2y

5xy2x

0 2 0

0 0 2 0 2

yx

5xy2x)y,x

)0,0()y,x(khiyx

yx)y,x(

2 2

)0,0()y,x(khiyx

yx)y,x

2 2

là D(f) = R2

Hàm số f(x,y) đang xét xác định tại điểm (0,0), tức là f(0,0) = 0 Tuy nhiên, như đã chứng minh ở

Ví dụ 1.5 (a), hàm số này không tồn tại giới hạn khi (x,y)  (0,0), nên điểm (0,0) là điểm gián đoạn của

)0,0()y,x(khiyx

yx)y,x

2 2

, điểm gián đoạn duy nhất của nó

là điểm gốc tọa độ O(0,0) Điểm gián đoạn này thuộc trường hợp (2)

)0,0()y,x(khi11yx

yx)

y,x(

2 2





y

x2 2

Hàm số f(x,y) đang xét xác định tại điểm (0,0), tức là f(0,0) = 0; tuy nhiên, như đã chứng minh ở Ví

dụ 1.4.(a), hàm số này có lim (x,y) 2

) 0 , 0 ( ) y , x

 , do đó lim (x,y) (0,0)

) 0 , 0 ( ) y , x

yx1

1yx

yxlim

)y,

x

(

2 0 2 0

2 0 2 0 2

2

2 2 ) y , x ( ) y , x ( )

)0,0()y,x(khi11yx

yx)

y,x

2 2

có điểm gián đoạn duy nhất của

nó là điểm gốc tọa độ O(0,0), điểm gián đoạn này thuộc trường hợp (3)

1.3 Phép tính vi phân

1.3.1 Định nghĩa đạo hàm riêng, đạo hàm riêng của hàm hợp

1.3.1.1 Đạo hàm riêng

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở D(f)R2, giả sử điểm M0(x0,y0)D(f)

Cho y = y0 thì hàm số hai biến z = f(x,y0)  g(x) trở thành hàm số một biến đối với x, khi đó nếu hàm số g(x) có đạo hàm tại x = x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f(x,y) tại điểm M0(x0,y0) và ký hiệu là z'x(x0,y0) hoặc (x ,y )

x

z

0 0





tùy từng trường hợp, nếu không gây ra bất kỳ sự hiểu nhầm nào

Như vậy,

0

0 0 0

x x 0

0 x

x 0 0 ' x

xx

)y,x()y,x(limx

x

)x(g)x(glim)y,x(f

x0 + x và gọi x là số gia của đối số x thì x  0 khi x  x0

Suy ra hiệu g(x)g(x0) (x,y0) (x0,y0) (x0 x,y0) (x0,y0)được gọi là số gia riêng của hàm số f(x,y) theo biến x tại điểm M0(x0,y0) và ký hiệu là xf(x0,y0)

Do đó ta có thể viết

x

)y,x()y,xx(limx

)y,x(lim)y,x(

0 x 0 0 x 0 x 0 0 '

)y,x(limy

y

)y,x()y,x(lim)y

0 0 0

y y 0 0

(1) Định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến f(x1,x2,…,xn) theo một biến xi (1 ≤ i ≤ n) chính

là định nghĩa đạo hàm của hàm số một biến, khi coi các biến x1,x2,…,xi-1,xi+1,…,xn là các hằng số Do đó, khi tính đạo hàm riêng của một hàm số nhiều biến theo một biến nào đấy, ta coi các biến còn lại là hằng

số và tính đạo hàm thông thường như đối với hàm số một biến

(2) Vì (x0,y0) là một điểm bất kỳ thuộc tập xác định D(f) nên ta có thể dùng (x,y) thay cho (x0,y0)

và để tiện sử dụng, người ta thường ký hiệu đạo hàm riêng của hàm số f(x,y) tại điểm (x,y) bằng một trong các biểu thức z' (x,y)

0 0 0

0 ' y

) y , x ( ) y , x (

0 0 0

0 ' x

0 0

y

)y,x(y

)y,x()y,x(f

x

)y,x(x

)y,x()y,x(f

Nếu dùng định nghĩa để tính các đạo hàm riêng

x

)y,x(





, y

)y,x(

yyy

)y,x()y,xx()y,x(

xxx

0 0 0

0 0

0 y

0

0 0 0

0 0

0 x

)y,x()yy,x(limy

)y,x(lim

)y,x(fx

)y,x()y,xx(limx

)y,x(lim

0 0 ' y 0 0 0

0 0 y 0 0 y 0 y

0 0 ' x 0 0 0

0 0 x 0 0 x 0 x

Nếu dùng định nghĩa để tính các đạo hàm riêng

x

)y,x(





, y

)y,x(

)y,x()y,xx()y,x(

y x

)y,x()yy,x(limy

)y,x(lim

)y,x(fx

)y,x()y,xx(limx

)y,x(lim

' y 0

y y

0 y

' x 0

x x

0 x

Bước 3 Các đạo hàm riêng

x

)y,x(





, y

)y,x(

' x 0 0 ' y 0

0

) y , x ( ) y , x (

' x 0 0 ' x 0

0

0 0

0 0

)y,x(f)y,x(fy





, y

)y,x(

- Dễ thấy rằng, tập xác định của hàm số f(x,y) = x3 – 2xy2 + y là D(f) = R2

- Điểm cần tính đạo hàm riêng có hoành độ x0 = 1 và tung độ y0 = 2 và là một điểm thuộc D(f)

x

)2,1()2,x1(lim)2,1(f

y

)y,x()yy,x(lim)y,

x

(

f

0 y

' y

0 x

' x

0 0 0

0 0 y 0 0

'

y

0 0 0

0 0 x 0 0

1.21)y2,1(

)x()x(3x.5522)

x1(2)x1()2,x1(

2 2

3

3 2

2 3

x

)5()x()x(3x.55limx

)2,1()2,x1(lim)2,1(f

2 0

y 0

y

'

y

3 2

0 x 0

500.35)x(x.35lim

0

y

2 2

)yxy2x(y

)y,x()y

)yxy2x(x

)y,x()y

'

y

2 2 2

2 2

3 '

xy4y

)y,x()2,1

(

f

52.21.3y

2xx

)y,x()2,1

(

f

) 2 , 1 ( ) y , x ( )

2 , 1 ( ) y , x (

'

y

2 2 ) 2 , 1 ( ) y , x ( 2 2 ) 2 , 1 ( ) y , x (

(2) Qua Ví dụ 1.9 ta thấy rằng việc tính đạo hàm riêng bằng cách dùng các công thức tính đạo hàm

đã biết đơn giản hơn rất nhiều so với việc tính nó bằng cách dùng định nghĩa

Ví dụ 1.10 Tính các đạo hàm riêng

x

)y,x(





, y

)y,x(

)y,x(z





, y

)y,x(





của hàm số f(x,y) bằng cách dùng các công thức tính đạo hàm đã biết tại điểm bất kỳ (x,y) thuộc tập xác định D(f), và sau đó thay giá trị cụ thể tại điểm yêu cầu tính đạo hàm riêng

Hàm số

x

)ycos(

)y,x(

2

 xác định được khi x 0 nên tập xác định của nó là }

xR)

y2)ysin(

y2x

1dy

)ycos(

dx

1y

x

)ycos(

y

)y,x()y

x

1)ycos(

x

1dx

d)

ycos(

xx

)ycos(

x

)y,x()y

2 2

'

y

2 2 2

2 2

2

'

x

)ycos(

y2y

)y,x(,

1f

11

cosx

)ycos(

x

)y,x(,

1f

, 1 ) y , x ( 2

, 1 ) y , x (

'

y

2 ,

1 ) y , x ( 2 2

, 1 ) y , x (

'

x

1.3.1.2 Đạo hàm riêng của hàm hợp

Cho z = f(x,y) trong đó x, y là các hàm số của hai biến độc lập u, v:

)v,u(xx

, khi đó

x(u,v),y(u,v)

f

z  được gọi là hàm hợp của hai biến độc lập u, v

Giả sử các hàm số x(u,v), y(u,v) có các đạo hàm riêng

u

)v,u(x





, v

)v,u(x





,u

)v,u(y





, v

)v,u(y





, y

)y,x(

)y,x(v

)v,u(xx

)y,x(v

)v,u(

u

)v,u(yy

)y,x(u

)v,u(xx

)y,x(u

)v,u(

Ví dụ 1.11 Tính các đạo hàm riêng  

u

)v,u(y),v,u(xf

vuln)v,u(yy

vu)v,u(xx

Bài giải

Hàm số f(x,y) = xlny xác định được khi y > 0 nên tập xác định của nó là D( ){(x,y)R2 y } Trên mặt phẳng tọa độ của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy thì D(f) là các điểm thuộc nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành Ox và không kể các điểm thuộc trục hoành Ox

Sử dụng công thức trên ta tính được

y

)ylnx(u

)vu(x

)ylnx(u

)v,u(yy

)y,x(u

)v,u(xx

)y,x(u

)v,

u

)vuln(

)vu(

u)vu(2v

uln(

ln3vu

uy

xyln3u2vu

1y

x3)

y

)ylnx(v

)vu(x

)ylnx(v

)v,u(yy

)y,x(v

)v,u(xx

)y,x(v

)v,

u

)vuln(

)vu(

v)vu(2v

uln(

lnv

u

v2y

xylnv2vu

1y

x)1).(

x)v,u(xx

)y,x()x('yy

)y,x('xx

)y,x(dx

)x(y,xdf)x(y,x'f)x('y)y,x(

Dễ thấy rằng, tập xác định của hàm số f(x,y) = xey là D(f) = R2, còn tập xác định của hàm số y(x) =

2x là D(y) = R

- Nếu tính đạo hàm theo biến x của hàm số y

xe)y,x(  với yy(x) x theo công thức

y y

e)x1(e)x1(2.xee)'x.(

y

)xe(x

)xe()x('y.y

)y,x(x

)y,x()

x

e)x21(ex2e)'x(xee.1)'e(xe'xdx

)xe(d)x

)t(xx

thì nó là hàm hợp của biến t, tức là z fx(t),y(t), khi đó

y

)y,x()t('xx

)y,x(dt

dyy

)y,x(dt

dxx

)y,x(dt

)t(y),t(xdf)t(y),

e)t(yy

te)t(xx

Bài giải

Dễ thấy rằng tập xác định của hàm số f(x,y) là D(f) = R2, còn tập xác định của các hàm số x(t) và

y(t) tương ứng là D(x) = R và D(y) = R

y

)y,x()t('xx

)y,x()t(y),t(x'

e)t(yy

te)t(xx

te1

)e(

e.te1y

xy1

y

y22

1xy

1yxy

)y,x(

1e1)e(1yx

1yxx

)y,x(

t 2 t 2

t

t t 2 2

2 2

t 2 2

t 2

tee

)1t2(1e)t(y),t(x'fe

)'e()

t t

2 t

2 t

t

t 2 t

2 t 2 t 2

1e

t)1e)(

1t2(1

e

)e(tee)1t2)(

1e(

t 2

t 2 t

2

t t t 2 t

)y,x(dxx

)y,x(dy)y,x(fdx)y

phần của hàm số f(x,y) tại điểm M0

Ta có thể dùng điểm M(x,y)D(f) thay cho điểm M0(x0,y0)D(f) nếu hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng tại điểm M, khi đó biểu thức

dyy

)y,x(dxx

)y,x(dy)y,x(fdx)y,x(f)

hàm số f(x,y) tại điểm M

)y,x(dx

x

)y,x()

y,x

(

df

) y , x ( ) y , x ( )

y , x ( ) y , x ( 0

0

0 0 0

)v,u(xx

)v,u(y),v,u(xf)v,u(y),v,u

)y,x(v

)v,u(xx

)y,x(v

)v,u(y),v,u(xf

u

)v,u(yy

)y,x(u

)v,u(xx

)y,x(u

)v,u(y),v,u(xf

)y,x(u

)v,u(xx

)y,x()

v,u(y),v,u(xdf

)v,u(yy

)y,x(v

)v,u(xx

)y,x(

)v,u(yy

)y,x(duu

)v,u(yy

)y,x(dv

v

)v,u(xx

)y,x(duu

)v,u(xx

)y,x(

)v,u(yduu

)v,u(yy

)y,x(dv

v

)v,u(xduu

)v,u(xx

)y,x

(

)y,x(dfdyy

)y,x(dxx

)y,x

)v,u(yduu

)v,u(y

dxdvv

)v,u(xduu

)v,u(x

Như vậy dfx(u,v),y(u,v)df(x,y), đẳng thức này chứng tỏ dạng vi phân toàn phần của hàm số f(x,y) không thay đổi khi x và y là các biến độc lập hay là các biến phụ thuộc, điều này được gọi là tính

bất biến của dạng vi phân toàn phần

)y,x(i

jlà các véc tơ đơn vị tương ứng với các trục tọa độ Ox, Oy của hệ tọa độ

Descartes vuông góc Oxy) được gọi là gradient của hàm số z = f(x,y) tại điểm M0, tức là véc tơ đi qua điểm M0 và có các tọa độ là các đạo hàm riêng của hàm số f(x,y) tại điểm M0 và được ký hiệu là gradf(x0,y0)

Ta có thể dùng điểm M(x,y)D(f) thay cho điểm M0(x0,y0)D(f) và khi đó gradient của hàm số

)y,x()y,x(gradf nếu hàm số f(x,y) có các đạo riêng tại điểm M

Ox, Oy, Oz của hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz) được gọi là gradient của hàm số u = f(x,y,z) tại điểm M0(x0,y0,z0), tức là véc tơ đi qua điểm M0 và có các tọa độ là các đạo hàm riêng của hàm số f(x,y,z) tại điểm M0 và được ký hiệu là gradf(x0,y0,z0)

Ta có thể dùng điểm M(x,y,z)D(f) thay cho điểm M0(x0,y0,z0)D(f) và khi đó gradient của hàm

)z,y,x(ix

)z,y,x()z,y,x(

)z,y,x(ix

)z,y,x()

z,y

z , y , x ( ) z , y , x ( )

z , y , x ( ) z , y , x ( 0

0

0

0 0 0 0

0 0 0

0 0

Ví dụ 1.14 Cho u = f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 + 3xyz, tính gradf(1,2,-1)

x

)z,y,x

)z,y,x(ix

)z,y,x()z,y,x(gradf

(

) 1 , 2 , 1 ( ) z , y , x ( 2

) 1 , 2 , 1 ( z , y , x ( 2

) 1 , 2 , 1 ( ) z , y , x ( 2

1.3.3 Định nghĩa đạo hàm theo hướng, ý nghĩa và công thức tính

1.3.3.1 Định nghĩa

Cho hàm số 2 biến z = f(x,y) xác định trên tập mở D(f)R2, giả sử điểm M0(x0,y0)D(f) Từ điểm

M0 vẽ một đường thẳng định hướng có véc tơ đơn vị là

xxx

0

0

, do đó M0M e. với

2 2

2 0 2

đường thẳng định hướng trên thì

0x

0 khi đó, nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

2 2

0 0 0

0 ) 0 , 0 ( ) y , z ( 0 0 0

0

)y()x(

)y,x()yy,xx(lim)

y,x()y,x(lim

đạo hàm của hàm số f(x,y) theo hướng của véc tơ M0M tại điểm M0 và ký hiệu là 



e

)y,x( 0 0

Tương tự, đối với hàm số 3 biến u = f(x,y,z) xác định trên tập mở D(f)R3, giả sử điểm

M0(x0,y0,z0)D(f) Từ điểm M0 vẽ một đường thẳng định hướng có véc tơ đơn vị là

yyy

xxx

0 0

0

,

0 2

0 2

0

M(



giờ, cho M(x,y,z)  M0(x0,y0,z0) dọc theo đường thẳng định hướng trên thì

0y

0x

nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

2 2

2

0 0 0 0

0 0

) 0 , 0 , 0 ( ) z , y , z ( 0 0 0 0

0

)z()y()x(

)z,y,x()zz,yy,xx(lim

)z,y,x()z,y,x(lim

flim

Nhận xét Việc tính đạo hàm theo hướng của một hàm số bằng cách dùng định nghĩa là không đơn

giản

1.3.3.2 Ý nghĩa và công thức tính

Ý nghĩa Đạo hàm của hàm số f theo hướng của véc tơ M0M biểu thị tốc độ biến thiên của hàm số

đó theo hướng của véc tơ M0M

Công thức tính Nếu hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở D(f) có các đạo hàm riêng tại điểm

M0(x0,y0)D(f) thì tại điểm ấy nó có đạo hàm theo mọi hướng M0M và được tính bằng công thức

x

)y,x(e

)y,x(ix

)y,x()y,x(gradf

j)(cosi)(cose

0 0 0

0 0

)y,x(.j)(cosi)(cos)

y,x(gradf

0 0

)y,x()(cos)j.i(y

)y,x()(cos)i.i(x

)y,x

y

)y,x(cos

x

)y,x

vì các tích vô hướngi i 1, i.j j i 0 vàj.j 1

)y,x( 0 0

đạt giá trị lớn nhất và bằng gradf(x0,y0) khi véc tơ

)y,x(

2 0 0 2

0 0 0

0

y

)y,x(x

)y,x()

y,x(gradf        Kết quả tương tự cũng đúng đối với hàm số 3 biến trở lên

Đối với hàm số n biến cũng có ý nghĩa, công thức tính, nhận xét và kết quả tương tự Chẳng hạn, đối với hàm số 3 biến, nếu hàm số z = f(x,y,z) xác định trên tập mở D(f) có các đạo hàm riêng tại điểm

M0(x0,y0,z0)D(f) thì tại điểm ấy nó có đạo hàm theo mọi hướng

y

)y,x(cos

x

)y,x(e

(cos )i (cos ) j (cos )k

e Người ta gọi cos, cos và cos là các cosin chỉ phương của véc tơ đơn vị e, các cosin chỉ phương có tính chất: Tổng các bình phương của cosin chỉ phương là bằng 1, tức là cos2α + cos2β + cos2 = 1

)M( 0 nếu

(a) Tập xác định của hàm số f(x,y) = x2 – y2 là D(f) = R2

Nếuelập với hướng dương của trục Ox một góc  = 60o thì

2160cos

2y

)1,1(

21.2x

x

)1,1(

y2y

)yx(y

)y,x(

xx

)yx(x

)y,x(

) 1 , 1 ( ) y , x (

) 1 , 1 ( ) y , x ( 2

2

2 2

312

3)

2(2

1.2cosy

)1,1(cos

x

)1,1(e

)1,1

- Xác định véc tơ đơn vị



ecủa véc tơ M0M và các cosin chỉ phương của nó:

Vì điểm M có tọa độ (5,4,2) và điểm M0 có tọa độ (3,2,1) nên véc tơ M0M có các thành phần

2i3

23

kj2i2MM

MMe

0

0 , mặt khác e(cos)i(cos)j(cos)k với

cos, cos, cos là các cosin chỉ phương của véc tơ đơn vị

32cos

32cosk

3

1j3

2i3

2k)(cosj)(cosi)(cos

xy3z

1,2,2f

121.2.3.2xyz

2y

1,2,2f

41.2z

yx

1,2,2f

zxy3z

)zxy(z

)z,y,x(

xyz2y

)zxy(y

)z,y,x(

zyx

)zxy(x

)z,y,x(

2 2 )

1 , 2 , 3 ( ) z , y , x ( 2 2

3 )

1 , 2 , 3 ( ) z , y , x ( 3

3 2 ) 1 , 2 , 3 ( ) z , y , x ( 3 2

2 2 3

2

3 3

2

3 2 3 2

3

2223

1.363

2.123

2.4cosz

)1,2,3(cos

y

)1,2,3(cos

x

)1,2,3(e

)1,2,3

ecủa véc tơ M0M và các cosin chỉ phương của nó:

Vì điểm M có tọa độ (2,0,1) và điểm M0 có tọa độ (1,2,–1) nên véc tơ M0M có các thành phần

2i3

13

k2j2iMM

MMe

0

0 , mặt khác e(cos)i(cos)j(cos)k với

cos, cos, cos là các cosin chỉ phương của véc tơ đơn vị

32cos

31cosk

3

2j3

2i3

1k)(cosj)(cosi)(cos

)3xyzz

yx(z

)z,y,x(

xz3y3y

)3xyzz

yx(y

)z,y,x(

yz3xx

)3xyzz

yx(x

)z,y,x(

2 3

3 3

2 3

3 3

2 3

3 3

xy3z3(z

)1,2,1(

9)1.(

1.32.3)

xz3y(y

)1,2,1(

3)1.(

2.31.3)

yz3x(x

)1,2,1(

2 )

1 , 2 , 1 ( ) z , y , x ( 2

2 ) 1 , 2 , 1 ( z , y , x ( 2

2 ) 1 , 2 , 1 ( z , y , x ( 2

13

2.93

2.93

1.3cosz

)1,2,1(cos

y

)1,2,1(cos

x

)1,2,1(e

)1,2,1(

4.2y

x

y2y

)4,3(

25

643

3.2y

x

xx

)4,3(

yx

y2y

)yxln(

y

)y,x(

yx

xx

)yxln(

x

)y,x(

2 2 ) 4 , 3 ( ) y , x 2 2

2 2 ) 4 , 3 ( y , x ( 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

)4,3( đạt cực đại và

5

225

825

6y

)4,3(x

)4,3()

4,3(gradfe

)4,3

2)k1(x0

2)k1(xR)z,y,x()(

sin

11z

)zcotzysinysin3xx(tanz

)z,y,x(

ycos3ycosysin3ycos3y

)zcotzysinysin3xx(tany

)y,x(

xtan1xcos

1x

)zcotzysinysin3xx(tanx

)z,y,x(

2 2

3

3 2

3

2 2

cotz

cotz

)2,3,4(

8

32

1.33cos3y

cos3y

)2,3,4(

114tanx

tanx

)2,3,4(

2 2

2 , 3 , 4 ) z , y , x ( 2

3 3

2 , 3 , 4 ) z , y , x ( 3

2 2

2 , 3 , 4 ) z , y , x ( 2

2,3,4fjy

2,3,4fix

2,3,4f2,3,4

)2,3,4(y

)2,3,4(x

)2,3,4()

2,3,4(gradf

8

730

8873

j8

3i)2,3,4(gradf

)2,3,4(gradfe

Suy ra hướng của véc tơ gradf 4, 3, 2 được xác định bởi các cosin chỉ phương

733cos

738cos

1.3.4 Đạo hàm riêng cấp cao, vi phân toàn phần cấp cao, công thức Taylor

1.3.4.1 Đạo hàm riêng cấp cao

Giả sử hàm số 2 biến z = f(x,y) có tập xác định D(f)R2, có các đạo hàm riêng

y

)y,x(,x

)y,x(







các đạo hàm riêng này được gọi là các đạo hàm riêng cấp một của hàm số f(x,y)

Nói chung, các đạo hàm riêng

y

)y,x(,x

)y,x(

y tương ứng được ký hiệu là

)y,x(fyx

)y,x(x

)y,x(y),y,x(f)y,x(fx

)y,x(x

)y,x(x

)y,x(y

)y,x(y),y,x(fxy

)y,x(y

)y,x(x

"

y

"

yy 2

2

"

yx 2

3 2 '

y

3 3 4

3 2 '

x

yxy

)xyx(y

)y,x()y,x(f

xxy2x

)xyx(x

)y,x()y,x(f

Bước 2 Tính các đạo hàm riêng cấp hai

)y,x(y)y,x(f

xy6x

)yx(y

)y,x(x)y,x(f

xy6y

)x4xy2(x

)y,x(y)y,x(f

x12y2x

)x4xy2(x

)y,x(x)y,x(f

2 2

2

"

yy

2 2

2

"

yx

2 3

3

"

xy

2 3

3 3

"

xx

Nhận xét Trong ví dụ này, ta thấy fxy" (x,y)fyx" (x,y), liệu điều này có luôn luôn đúng với mọi hàm số 2 biến không? Trả lời cho câu hỏi này, nhà toán học Schwarz đã chứng minh định lý sau đây

Định lý Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M(x,y)D(f) mà hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm

riêng đến cấp hai fxy" (x,y), fyx" (x,y); đồng thời các đạo hàm riêng này liên tục tại điểm M thì

)y,x(

Tiếp tục định nghĩa tương tự, nếu đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai tồn tại thì được gọi

là các đạo hàm riêng cấp ba, …

1.3.4.2 Vi phân toàn phần cấp cao

Xét hàm số 2 biến z = f(x,y) có tập xác định D(f)R2 và (x,y) là các biến độc lập, vi phân toàn phần của hàm số f(x,y) tại điểm M(x,y)D(f) là

dyy

)y,x(dxx

)y,x(dy)y,x(fdx)y,x(f)y,x(

)y,x(

)y,x(

)y,x(d)

)y,x(dxx

)y,x(ydxdyy

)y,x(dxx

)y,x(x

)y,x(dx

yx

)y,x(dx

dyxy

)y,x(dx

xx

)y,x

2 2 2

)dy(yy

)y,x(dxdyy

x

)y,x(dydx

xy

)y,x()

dx(xx

)y,x(

2 2 2

2

dyy

)y,x(dxdyy

x

)y,x(dxdy

xy

)y,x(dx

x

)y,x(

2 2

2 2

2 2 2

2

dyy

)y,x(dxdyy

x

)y,x(dxdyx

y

)y,x(dx

x

)y,x(

Nếu các đạo hàm riêng cấp hai

yx

)y,x(,xy

)y,x

)y,x(x

y

)y,x

2 2

2 2

dyy

)y,x(dxdyy

x

)y,x(2dxx

)y,x()

y,x(dfd)y,x(d

2 2

2 2

dyy

)y,x(dxdyy

x

)y,x(2dxx

)y,x()

y,x(d

phần cấp hai của hàm số f(x,y) tại điểm M(x,y)D(f)

Tương tự, ta định nghĩa vi phần toàn phần cấp ba của hàm số f(x,y) tại điểm M(x,y)D(f) là

d3f(x,y) = d(d2f(x,y)), … và để cho tiện khi viết công thức đối với vi phân toàn phần cấp n trong trường hợp (x,y) là các biến độc lập ta dùng ký hiệu tượng trưng dy (x,y)

y

dxx)y,x(d

n n

)y,x(d)y,

)y,x(dyy

)y,x(d)dx(dx

)y,x(dxx

)y,x(d

)y,x(dydyy

)y,x(dx

xy

)y,x(x

dx

)y,x(dxdyyx

)y,x(dx

x

)y,x

2

2 2

2 2

2 2

)y,x(dy

y

)y,x(dxdyx

y

)y,x(xdx

)y,x(dydxy

x

)y,x(dx

x

)y,x

2

2 2

2 2

2 2 2

ydy

)y,x(xdx

)y,x(dy

y

)y,x(dxdyx

y

)y,x(y

x

)y,x(dx

x

)y,x

2

2 2

2 2 2

n n

không phải là các biến độc lập

Vi phân toàn phần cấp hai trở lên của hàm số nhiều biến số không có dạng bất biến

Ví dụ 1.18 Tính vi phân toàn phần cấp một và vi phân toàn phần cấp hai của hàm số z = f(x,y) =

sinxsiny tại điểm ( 4, 4)

Bài giải

Tập xác định của hàm số f(x,y) = sinxsiny là D(f) = R2

- Tính vi phân toàn phần cấp một của hàm số f(x,y) = sinxsiny tại điểm ( 4, 4)

ysinxcos)ysinx(sin)

y,x(

4 , 4 ) y , x ( 4

, 4 ) y , x (

dy2

1dx2

1dy2

2.2

2dx2

2.2

2dy4

cos4sindx4

)ycosx(siny

)y,x(yy

)y,x(

ycosxcosy

)ysinx(cosx

)y,x(yy

x

)y,x(

ycosxcosx

)ycosx(siny

)y,x(xx

y

)y,x(

ysinxsinx

)ysinx(cosx

)y,x(xx

)y,x(

ycosxsiny

)y,x(

ysinxcosx

)y,x(

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

dyy

)y,x(dxdyy

x

)y,x(2dxx

)y,x()

y,x(dyy

dxx)y,x

(

d

2 2

ydysinxsinydxdycosxcos2ydxsinx

4 , 4 ) y , x ( 2

4

sin4sindxdy4

cos4cos2dx4

sin4sindy

)ysinxsin

(

2 2

2 2

dy2

1dxdydx

2

1dy2

2.2

2dxdy2

2.2

2.2dx2

2

2



1.3.4.3 Công thức Taylor

Công thức Taylor đối với hàm số một biến cũng được mở rộng cho hàm số nhiều biến, chẳng hạn

đối với hàm số 2 biến: Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở D(f)R2 và có các đạo hàm riêng đến cấp (n + 1) liên tục trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0,y0)D(f) Nếu điểm M(x,y)D(f) nằm trong lân cận này, tức là x = x0 + x và y = y0 + y thì ta có

)y,x(yy

xx)!

1n(

1)y,x(yy

xx

!k

1)y,x()

1 k

0 0 k 0

21y

)2,1(

06)2(1.4x

)2,1(

3y2xy

)5yxyxyx2(y

)y,

x

(

6yx4x

)5yxyxyx2(x

)y,

x

(

2 2

2 2

suy ra các đạo hàm riêng cấp hai là

)2,1(

1x

y

)2,1(y

x

)2,1(

4x

)2,1(

2y

)3y2x(y

)y,x(yy

)y,x

(

1y

)6yx4(x

)y,x(yx

y

)y,x(y

x

)y,x

(

4x

)6yx4(x

)y,x(xx

)y,x

(

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

)2,1(x.x

)2,1(

!1

1)2,1()2,1(yy

xx

!k

1)

2,1()

1 k

2 2

2

)y.(

y

)2,1(y

.x.yx

)2,1(2)x.(

x

)2,1(

!21

2 2

2 2

)y(yx)x(252

)y(2yx)1.(

2)x(4y.0x.0

với x = x – x0 = x – 1 và y = y – y0 = y – (–2) = y + 2

5)2y()2y)(

1x()1x(2)y,

y

)1,1()1x.(

x

)1,1()1,1()1,1(yy

xx

!k

1)1,1()

2 2

2

)1y.(

y

)1,1()1y)(

1x.(

yx

)1,1(2)1x.(

x

)1,1(

3 2

2

3 3 3

3

)1y.(

y

)1,1()

1y)(

1x.(

yx

)1,1(3)1y()1x.(

yx

)1,1(3)1x.(

x

)1,1(

)y,x(

11.1x

)1,1(

xlnxy

)x(y

)y,x(

yxx

)x(x

)y,x(

1

1 1

y y

1 y y

y 1 y 1 y 2

2 y 1

y 2

2

)xlny1(xxlnyxx

yx)

y,x()

y,x(

x)1y(yx

yxx

)y,x(xx

)y,x(

)1,1(

1)1ln.11(1)

xlny1(xyx

)1,1(

01)

11.(

1x

)1y(yx

)1,1(

2 1 ) 1 , 1 ( ) y , x ( 2 y 2

2

1 1 ) 1 , 1 ( ) y , x ( 1

y 2

2 1 )

1 , 1 ( ) y , x ( 2 y 2

2 3

3

1 y 1

y 2

2 3

2 y 2

y 2

2 2

3

3 y 2

y 2

2 3

3

)x(lnxy

)x(lnxy

)y,x(yy

)y,x(

xlnx)xlny2(y

)xlny1(xy

x

)y,x(yy

x

)y,x(

xxln)1y(y1y2y

x)1y(yx

)y,x(yyx

)y,x(

x)2y)(

1y(yx

x)1y(yx

)y,x(xx

)y,x(

x(lnxy

)1,1(

01ln.1)

1ln.12(x

lnx)xlny2(yx

)1,1(

111ln)11.(

111.2x

xln)1y(y1y2yx

)1,1(

01)

21)(

11(1x

)2y)(

1y(yx

)1,1(

3 1 ) 1 , 1 ( ) y , x ( 3 y 3

3

1 1 )

1 , 1 ( ) y , x ( 1 y 2

3

2 1 )

1 , 1 ( ) y , x ( 2 y 2

3

3 1 )

1 , 1 ( ) y , x ( 3 y 3

3

Thay các giá trị trên vào công thức khai triển Taylor của hàm số f(x,y) = xy (x > 0) trong lân cận điểm (1,1) đến các số hạng bậc ba đã viết ở trên ta được

)1y()1x(2

1y)1x(1)1y()1x(2

1)1y)(

1x()1x(1x)

x)y,x(

2 2

của biến xI = [–a,a]R Trong trường hợp này, ta đã tìm được hai biểu thức tường minh của y theo x

Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng thực hiện được! Chẳng hạn, từ phương trình F(x,y) = xy –

yx = 0 (với x > 0, y > 0) không thể tìm được biểu thức tường minh y theo x

Tương tự, đối với trường hợp hàm số 3 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0, trong đó ánh xạ F: U

 R là một hàm số xác định trên tập hợp mở UR3 Nếu với mỗi giá trị (x,y) = (x0,y0)I (I là một tập

mở nào đó thuộc R2), có một hay nhiều giá trị z0 sao cho F(x0,y0,z0) = 0, thì ta nói rằng phương trình F(x,y,z) = 0 xác định một hay nhiều hàm ẩn z theo các biến x,y trong tập mở I

Định lý

Đối với hàm số 2 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0, trong đó ánh xạ F: U  R là hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở UR2, giả sử (x0,y0)U và F(x0,y0) = 0 Nếu Fy'(x0,y0)0thì phương trình F(x,y) = 0 xác định trong một lân cận nào đó của x0 một hàm ẩn y = f(x) duy nhất, hàm số này có giá trị bằng y0 khi x = x0, liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận nói trên

Đối với hàm số 3 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0, trong đó ánh xạ F: U  R là hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở UR3 Giả sử (x0,y0,z0)U và F(x0,y0,z0) = 0 Nếu

0)

1.3.5.2 Đạo hàm riêng của hàm ẩn

Đối với hàm số 2 biến F(x,y)Fx,y(x)0:

)y,x(F

)y,x(Fdx

)x(dy)x('

y

' x

)z,y,x(Fy

)y,x(z)y,x(z

)z,y,x(F

)z,y,x(Fx

)y,x(z)y,x(z

' z

' y '

y

' z

' x '

x)y,x(

2 2

y2axF

F)x('y

b

yy

1b

yaxy

)y,x(FF

a

xx

1b

yaxx

)y,x(FF

2 2

2

2 '

y

' x

2 2

2 2 2

'

y

2 2

2 2 2

z

' y '

x

2 z '

z

' x '

x

2 z 3

2 z

'

z

3 2 z

'

y

3 2 z

'

x

z3e

xF

F)y,x(z

z3e

yxF

F)y,x(z

z3ez

1zxxyez

)y,x(FF

xy

1zxxyey

)y,x(FF

yxx

1zxxyex

)y,x(FF

1.4 Cực trị của hàm nhiều biến

1.4.1 Cực trị địa phương, phương pháp tìm cực trị địa phương

Định nghĩa Cho hàm số n biến fx1,x2, ,xn xác định trên tập mở D(f)Rn, điểm

x ,x , ,x  D( )

M0 1(0) (20) (n0)  Ta nói rằng hàm số fx1,x2, ,xn có cực trị địa phương tại điểm M0 nếu

Ví dụ 1.22 Tìm cực trị của các hàm số sau đây

(a) z = f(x,y) = –x2 – 2x + 14 + 6y – y2

(b) u = f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 + 2x – 4z + 8

Bài giải

(a) Tập xác định của hàm số f(x,y) = –x2 – 2x + 14 + 6y – y2 là D(f) = R2

Vì f(x,y) = –x2 – 2x + 14 + 6y – y2 = – (x + 1)2 – (y – 3)2 + 4 < 4 = f(–1,3) với (x,y) ≠ (–1,3) nên theo định nghĩa thì hàm số f(x,y) = –x2 – 2x + 14 + 6y – y2 có cực đại địa phương tại điểm (–1,3) và giá trị cực đại này là fcđ = f(–1,3) = 4

(b) Tập xác định của hàm số f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 + 2x – 4z + 8 là D(f) = R3

Vì f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 + 2x – 4z + 8 = (x + 1)2 + y2 + (z – 2)2 + 3 > 3 = f(–1,0,2) với (x,y,z) ≠ (–1,0,2) nên theo định nghĩa thì hàm số f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 + 2x – 4z + 8 có cực tiểu địa phương tại điểm (–1,0,2) và giá trị cực tiểu này là fct = f(–1,0,2) = 3

Nhận xét Không phải bài toán tìm cực trị của hàm số nào cũng giải được đơn giản như đối với các

hàm số trong Ví dụ 1.22

Điều kiện cần của cực trị địa phương Nếu hàm số fx1,x2, ,xn có cực trị địa phương tại điểm

n )

x, ,

f , bằng 0 được gọi là điểm tới hạn hay điểm dừng

Đối với hàm số 2 biến z = f(x,y), khi đó (x1,x2)  (x,y), điều kiện cần của cực trị địa phương là: Nếu hàm số f(x,y) có cực trị địa phương tại điểm M0(x0,y0) thì các đạo hàm riêng cấp một của nó bằng 0 tại

)y,x(y

)y,x()y,x(f

0x

)y,x(x

)y,x()y,x(f

) y , x ( ) y , x (

0 0 0

0 ' y

) y , x ( ) y , x (

0 0 0

0 ' x

0 0

0 0

Các điểm mà tại đó các đạo hàm riêng

bậc nhất của hàm số f(x,y) bằng 0 được gọi là điểm tới hạn hay điểm dừng

Trước khi nêu điều kiện đủ của cực trị địa phương, ta định nghĩa Dạng toàn phương và phát biểu Định lý Sylvester trong môn học Đại số

2 1

n 33

32 31

n 23

22 21

n 13

12 11

aa

aa

aaa

a

aaa

a

aaa

(nn) đối xứng (aij = aji với i,j)

Biểu thức (x1,x2, …,xn) = xAxt (xt là ma trận chuyển vị của ma trận x) được gọi là dạng toàn phương của n biến x1,x2, …,xn; còn ma trận đối xứng A được gọi là ma trận tương ứng của dạng toàn phương (x1,x2, …,xn)

Vì ma trận A là ma trận đối xứng nên sau khi thực hiện phép nhân 3 ma trận trên ta được

j i ij n

1 i

2 i ii n

1 i n

1 j

j i ij n

2

1,x , ,x ) a x x a x 2a xx

x

Như vậy, nếu cho ma trận

n n

n 33

23 13

n 23

22 12

n 13

12 11

aa

aa

aaa

a

aaa

a

aaa

thì ta xác định được một dạng toàn phương (x1,x2, …,xn) bằng công thức trên; ngược lại, nếu cho một dạng toàn phương thì ta xác định được một ma trận A tương ứng là ma trận đối xứng cấp (nn)

Ví dụ về việc xác định dạng toàn phương nếu biết ma trận tương ứng của nó

(a) Xác định dạng toàn phương (x1,x2) có ma trận A63 62 tương ứng

504

342

6a

3aa

a

aa26

63A

22 12 11

22 12

12 11

2 1 2

2 2 1 2 1 2

2 2 1 2

j i 1

j i ij 2

1 i

2 i ii 2

0a

2a

aaa

aaa

aaa

153

504

342A

33 22 11

33 23 13

23 22 12

13 12 11

3a

4a

23 13 12

j i 1

j i ij 3

1 i

2 i ii 3

1 2 1 2 3 2

Ví dụ về việc xác định ma trận tương ứng của dạng toàn phương đã biết

(a) Xác định ma trận A tương ứng của dạng toàn phương 2

2 2 1 2 1 2

215Axxx2

1.2xxxxx)x,x

2 2 1 3 2

2341

2511Axx2

3.2xx2

5.2xx.1.2x.0x4

Dạng toàn phương được gọi là:

(4) suy biến nếu (x1,x2,…,xn) = 0 khi (x1,x2,…,xn)  (0,0,…,0)

j i ij n

1 i

2 i ii n

2

1,x , ,x ) a x 2a xxx

n n

n 33

23 13

n 23

22 12

n 13

12 11

aa

aa

aaa

a

aaa

a

aaa

Ký hiệu

kk k

k k

n 33

23 13

n 23

22 12

n 13

12 11

kk k

k k

n 33

23 13

n 23

22 12

n 13

12 11

k

aa

aa

aaa

a

aaa

a

aaa

aa

aa

aaa

a

aaa

a

aaa

thức con chính của ma trận A Khi đó

(1) (x1,x2, …,xn) xác định dương  Ak > 0 với 1  k  n;

(2) (x1,x2, …,xn) xác định âm  Ak < 0 với k lẻ và Ak > 0 với k chẵn (1  k  n)

Định lý Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính của ma trận của dạng toàn phương đều dương; dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính của

ma trận của dạng toàn phương: có cấp lẻ đều âm và có cấp chẵn đều dương.

Điều kiện đủ của cực trị địa phương Giả sử hàm số fx1,x2, ,xn có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng  ( 0 )

n ) 0 ( 2 ) 0 ( 1

2 1 1

) 0 ( n ) 0 ( 2 )

dx.xdx.xx

, ,x,x

j i j

i

) 0 ( n ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 2 n

1 i

2 i 2

i

) 0 ( n ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 2 n

i

) 0 ( n ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 2

dxdxx

x

x, ,x,xf2dx

x

x, ,x,xfdx

dxx

x

x, ,x,x

f

là dạng toàn phương của các biến dx1, dx2, , dxn thì:

(1) Khi  ( 0 )

n ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 2

x, ,x,xf

d xác định âm thì hàm số fx1,x2, ,xn có cực đại địa phương tại điểm M0; còn khi  ( 0 )

n ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 2

x, ,x,xf

d xác định dương thì hàm số fx1,x2, ,xn có cực tiểu địa phương tại điểm M0;

(2) Khi  ( 0 )

n ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 2

x, ,x,xf

d không xác định dấu thì hàm số fx1,x2, ,xn không có cực trị tại điểm M0;

n ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 2

x, ,x,xf

d suy biến, tức là tồn tại dx1, dx2, , dxn không đồng thời bằng 0 nhưng

x ,x , ,x  0

f

d2 1(0) (20) (n0)  , thì chưa thể kết luận được hàm sốfx1,x2, ,xn có cực trị địa phương tại điểm

M0 hay không, mà phải xét bằng phương pháp khác (trường hợp nghi ngờ)

Đối với hàm số 2 biến z = f(x,y), khi đó (x1,x2)  (x,y) và nếu đặt 02 0

2 0

)y,x(f)y

0 0 2 0 0 2 0

0

2

dyy

y,xfy

x

y,xf2dxx

y,xfy

,xfdy.ydx.xy

,

x

f

d

Adx2 + 2Bdxdy + Cdy2 và có ma trận tương ứng là AB CB

Ma trận AB CB có hai định thức con chính là det(A) A A và

2

BACCB

BAC

(1) Khi   B2 – AC < 0 thì hàm số f(x,y) có cực tiểu địa phương tại điểm (x0,y0) nếu A > 0, hoặc

có cực đại địa phương tại điểm (x0,y0) nếu A < 0

(2) Khi   B2 – AC > 0 thì hàm số f(x,y) không có cực trị tại điểm (x0,y0)

(3) Khi   B2 – AC = 0 thì hàm số f(x,y) có thể có cực trị tại điểm (x0,y0) hoặc cũng có thể không

có cực trị tại điểm (x0,y0), tức là chưa thể kết luận được hàm số f(x,y) có cực trị tại điểm (x0,y0) hay không, mà phải xét bằng phương pháp khác (trường hợp nghi ngờ)

Đối với các hàm số 2 biến z = f(x,y), căn cứ vào điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số nhiều biến có cực trị địa phương đã trình bày ở trên, ta thực hiện các bước sau đây

0)y,x(f

0)y,x(f

' y

' x

Bước 3 Tính (x,y) B (x,y) A(x,y)C(x,y)

)y,x(f)y,x(C

)y,x(f)y,x(B

)y,x(f)y,x(A

< 0 > 0 Điểm (x*,y*) là điểm cực tiểu địa phương và fct = f(x*,y*)

< 0 Điểm (x*,y*) là điểm cực đại địa phương và fcđ = f(x*,y*)

> 0 Điểm (x*,y*) không phải là điểm cực trị

= 0 Chưa biết điểm (x*,y*) là điểm cực trị hay không, mà phải

)y,x(

3yxx

)y6xyxyx(x

)y,x(

2 2

2 2

nên điểm dừng là nghiệm của hệ

3y

0x6y2x

3yx0

6y2x

03yx

)3,0(fC

1yx

)3,0(fB

2x

)3,0(fA

2y

)6y2x(y

)y,x(yy

)y,x(f

1y

)3yx(x

)y,x(yy

x

)y,x(f

2x

)3yx2(x

)y,x(xx

)y,x(f

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

32.21AC

03 nên hàm số f(x,y) = x2 + xy + y2 – 3x – 6y có cực tiểu địa

phương tại đây và f (0,3) (x xy y x 6y) 02 0.3 32 3.0 6.3 9

) 3 , 0 ( ) y , x ( 2

học 2020-2021)

Bài giải

)yx(y2yx)y,x

Viết lại biểu thức của hàm số f(x,y) để thuận lợi khi tính đạo hàm

4 3 2 2

2 3

4 2

yy2yxy2x)yx(y2yx2)y,x

)yyyxy2x(y

)y,x(

)yx(2y2xx

)yyyxy2x(x

)y,x(

2 3 3

2 4

3 2 2

4 3 2 2

nên các điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình

0yx0)xyyy2(2

0)yx(2

2 3 2

)0,0()y,x(

)2,2()y,x(

3 3

2 2

1 1

)yyy2x(y

)y,x(yy

)y,x(f)y,x(C

2y

)yx(x

)y,x(yy

x

)y,x(f)y,x(B

2x

)y2x2(x

)y,x(xx

)y,x(f)y,x(A

2 3

2 2

2

2 2 2

)yy1(8)1y6y6(2.2)2()y,x(C)

y,x(A)y,x(B)y,x

2)2,2(

2)2,2(A

402

.3)2.(

31.8)2,2(

2 3

4 2

12

12

1.22

12

1.221,21f

221,21A

102

1.32

1.31.821,21

2 3

4 2

2

TT Điểm dừng ( x*,y*) A(x*,y*) Kết luận

1 M1(–2,–2) –40 < 0 2 > 0 Hàm số f(x,y) có cực tiểu địa phương tại

0)z,y,x(f

0)z,y,x(f

0)z,y,x(f

' z

' y

' x

*, y

*, x ( ) z , y , x (

*, y

*, x ( ) z , y , x (

*, y

*, x ( ) z , y , x (

*, y

*, x ( ) z , y , x (

*, y

*, x ( ) z , y , x (

*, y

*, x ( ) z , y , x (

)z,y,x(f)z,y,x(f

)z,y,x(f)z,y,x(f

)z,y,x(f)z,y,x(f

)z,y,x(f)z,y,x(f

)z,y,x(f)z,y,x(f

2 2

2 2

2 2

*

*

* 2 2 2

*

*

* 2

dzz

)z,y,x(dy

y

)z,y,x(dx

x

)z,y,x(

(2) Khi d2f(x*,y*,z*) không xác định dấu thì hàm số f(x,y,z) không có cực trị tại điểm (x*,y*,z*) (3) Khi d2f(x*,y*,z*) suy biến, tức là tồn tại dx, dy, dz không đồng thời bằng 0 nhưng d2f(x*,y*,z*) =

0, thì chưa thể kết luận được hàm số f(x,y,z) có cực trị tại điểm (x*,y*,z*) hay không, mà phải xét bằng phương pháp khác (trường hợp nghi ngờ)

Ví dụ 1.25 Tìm cực trị của hàm số

z

2y

zx4

yx)z,y,x(u

2 2

zx

yx)z,y,x(

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

z

2y

z2z

z

2y

zx

yxz

)z,y,x(

y

zx2

yy

z

2y

zx

yxy

)z,y,x(

x

y1x

z

2y

zx

yxx

)z,y,x(

nên điểm dừng là nghiệm của hệ

phương trình

)(D)1,1,21(1z

1y

21x

0z

1yz

0y

zxy

0x2

y1

0z

2y

z2

0y

zxy

0x

y1

2

2 2

2

2 2 2 2

z2z

y

)1,1,21(

0z

x

)1,1,21(

2x

yy

x

)1,1,21(

6z

4y

2z

)1,1,21(

3y

z2x2

1y

)1,1,21(

4x

2

yx

)1,1,21(

y

z2z

y

)z,y,x(

0z

x

)z,y,x(

x

yy

x

)z,y,x(

z

4y

2z

)z,y,x(

y

z2x2

1y

)z,y,x(

x2

yx

)z,y,x(

) 1 , 1 , 2 ( ) z , y , x ( 2 2

2

) 1 , 1 , 2 ( ) z , y , x ( 2 2

) 1 , 1 , 2 ( ) z , y , x ( 3 2

2

) 1 , 1 , 2 ( ) z , y , x ( 3 2 2

2

) 1 , 1 , 2 ( ) z , y , x ( 3 2 2

2

2 2

2

2 2

3 2

2

3 2 2

2

3 2 2

2

Bước 4 Tại điểm (12,1,1) ta có vi phân toàn phần cấp hai của hàm số

z

2y

zx4

yx)z,y,x

2 2

2

dyy

)1,1,21(dx

x

)1,1,21(1

,1,21fdz.zdy.ydx.x1

2 2 2

2

dz6dy3dx4dydzz

y

)1,1,21(2dxdzz

x

)1,1,21(2dxdyy

x

)1,1,21(2dz

2dxdz.0.2dxdy

232

024

Ma trận A có các định thức con chính A1 det 4  4 4, 8

32

243

2

24det

232

024

620

232

024

zx

yx)z,y,x(

2 2

121.4

12

1z

2y

zx

yx)

) 1 , 1 , 2 ( ) z , y , x (

2 2

Thông thường, có hai cách giải quyết bài toán tìm cực trị có điều kiện Cách thứ nhất: Nếu từ điều kiện ràng buộc đã cho giữa các biến mà có thể biểu diễn tường minh một biến qua các biến còn lại thì có thể đưa bài toán tìm cực trị có điều kiện về bài toán tìm cực trị không có điều kiện với số biến giảm đi một Tuy nhiên, không phải bao giờ cũng làm được như vậy (tức là biểu diễn tường minh một biến qua các biến còn lại từ điều kiện ràng buộc đã cho giữa các biến), khi đó ta sử dụng Cách thứ hai: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange đưa bài toán tìm cực trị có điều kiện về bài toán tìm cực trị không có điều kiện với số biến tăng lên một

Ví dụ 1.26 Khi sản xuất hộp đựng sữa, để tiết kiệm chi phí bao bì, người ta cần phải giải quyết bài

toán: Tìm hình trụ tròn có thể tích lớn nhất trong các hình trụ tròn có cùng diện tích toàn phần S không đổi

Bài giải

Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ tròn tương ứng là h > 0 và r > 0

Khi đó, chu vi (Cđ) và diện tích đáy (Sđ) của hình trụ tròn là Cđ = .2r = 2r và Sđ = r2và diện tích xung quanh (Sxq) của hình trụ tròn là Sxq = hCđ = h.2r = 2hr, suy ra diện tích toàn phần (Stp) và thể tích (V) của hình trụ tròn là Stp = Sxq + 2Sđ = 2hr + 2r2 = 2(h + r)r = S và V = hSđ = h r2 = hr2 Như vậy, bài toán cần giải quyết là: Tìm giá trị cực đại của hàm số 2 biến V(h,r)  hr2 với điều

Bây giờ ta sử dụng Cách thứ nhất để giải bài toán này Từ điều kiện 2(h + r)r = S (S là hằng số) ta biểu diễn tường minh được biến h qua biến r, cụ thể là r

r2

S)

,h(

Sdr

d)('

d')('f)(

Srr2

Sr

r2

S)rff

6

S2r2h,6

Sr

3 0 0 r

r

3 0

cđ

0 0 0

0

Như vậy, hình trụ tròn có chiều cao bằng đường kính đáy của nó là hình trụ tròn có thể tích lớn nhất trong các hình trụ tròn có cùng diện tích toàn phần

Phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến

Bài toán Tìm cực trị của hàm số n biến fx1,x2, ,xn xác định trên tập mở D(f)Rn và các biến

x1,x2,…,xn bị ràng buộc bởi điều kiện g(x1,x2,…,xn) = 0

Nhà toán học Lagrange đã giải bài toán trên bằng cách sau đây

Bước 1 Lập hàm số Lagrange (n + 1) biến L(x1,x2,…,xn,) = f(x1,x2,…,xn) + g(x1,x2,…,xn), trong

đó  (được gọi là nhân tử Lagrange) là tham số chưa được xác định

Bước 2 Tìm các điểm  *

n

* 2

x

L

)ni1(,0x

x, ,x,xgx

x, ,x,xfx

,x, ,x,

x

L

2 2 1 2

2 1

i

2 2 1 i

2 2 1 i

2 2 1

Bước 3 Với mỗi * tìm được ở Bước 2 thì hàm số  *

2 2

1,x , ,x ,x

L  là hàm số n biến (x1,x2,…,xn)

và tiếp theo, tính vi phân toàn phần cấp hai của hàm số này tại điểm *

n

* 2

*

1,x , ,xx

* 1 2 n n 2

2 1 1

*

* n

* 2

* 1 2

,x, ,x,xLdx.x

dx.xdx.x,

x, ,x,xLd

j i j

i

*

* n

* 2

* 1 2 n

1 i

2 i 2

i

*

* n

* 2

* 1 2 n

i

*

* n

* 2

* 1 2

dxdxx

x

,x, ,x,xL2dx

x

,x, ,x,xLdx

dxx

x

,x, ,x,x

L

là dạng toàn phương của n biến dx1, dx2, , dxn

Tiếp theo, ta xét dấu của dạng toàn phương  * *

n

* 2

* 1 2

,x, ,x,xL

d  , có hai trường hợp xảy ra:

- Trường hợp thứ nhất Nếu dạng toàn phương  * *

n

* 2

* 1 2

,x, ,x,xL

d  xác định dương, hoặc xác định

âm thì kết luận: Hàm số fx1,x2, ,xn có cực tiểu địa phương tại điểm  *

n

* 2

f  Bài toán được giải xong

- Trường hợp thứ hai Dạng toàn phương  * *

n

* 2

* 1 2

,x, ,x,xL

d  không xác định dấu thì thực hiện sang Bước 4

Bước 4 Tính vi phân toàn phần cấp một của hàm số g(x1,x2,…,xn) = 0

0dx.x

)x, ,x,x(g)

x, ,x

)x, ,x,x(g

i n

1

* n

* 2

* 2

* 1

x

)x, ,x,x(g





(1 ≤ i ≤ n) là các hằng số, nên từ đẳng thức này có thể biểu diễn tường minh, chẳng hạn biến dxi qua các biến còn lại dx1, dx2,…, dxi-1, dxi+1,…, dxn

là dxi = (dx1,dx2,…,dxi-1,dxi+1,…,dxn)

Bước 5 Thay dxi = (dx1,dx2,…,dxi-1,dxi+1,…,dxn) vào  * *

n

* 2

* 1 2

,x, ,x,xL

d  , sau đó xét dấu của biểu thức nhận được là dạng toàn phương  * *

n

* 2

* 1 2

,x, ,x,xL

d  của (n – 1) biến dx1, dx2,…, dxi-1,

dxi+1,…, dxn

n

* 2

* 1 2

,x, ,x,xL

* 1

* 1

*

1,x , ,xx

Để thuận lợi cho việc làm bài tập, ta cụ thể hóa Phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị có điều kiện cho hàm số 2 biến như sau

Bài toán Tìm cực trị của hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở D(f)R2 và các biến x, y bị ràng buộc bởi điều kiện g(x,y) = 0

Bước 1 Lập hàm số Lagrange 3 biến L(x,y,) = f(x,y) + g(x,y), trong đó  (được gọi là nhân tử Lagrange) là tham số chưa được xác định

Bước 2 Tìm các điểm  * *

y,

x và * tương ứng, là nghiệm của hệ 3 phương trình

,

x

L

0y

y,xgy

y,xfy

,y

,

x

L

0x

y,xgx

y,xfx

,y

L  là hàm số 2 biến (x,y) và tiếp theo, tính vi phân toàn phần cấp hai của hàm số này tại điểm * *

y,x