Bài giảng Giải tích - Chương 2: Tích phân bội

Bài giảng Giải tích - Chương 2: Tích phân bội. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: tích phân kép - định nghĩa, cách tính trong tọa độ Descartes, đổi biến, ứng dụng hình học; cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Oxy; đổi biến số trong tích phân kép; ứng dụng của tích phân kép;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Trang 1

Giải tích

Chương 2 Tích phân bội

Vũ Hữu Nhự

PHENIKAA University

Trang 2

2.1 Tích phân kép: định nghĩa, cách tính trong tọa độ

Descartes, đổi biến, ứng dụng hình học

Trang 3

2.1.1 Khái niệm Cho hàm số z = f (x , y ) xác định trên miền D

dn= max {diam(∆S1), diam(∆S2), , diam(∆Sn)}

Vũ Hữu Nhự Giải tích Chương 2 Tích phân bội

Trang 4

2.1.1 Khái niệm Cho hàm số z = f (x , y ) xác định trên miền D

Trang 5

2.1 Tích phân kép: định nghĩa, cách tính trong tọa độ Descartes, đổi biến, ứng dụng hình học

2.1.1 Khái niệm Cho hàm số z = f (x , y ) xác định trên miền D(D là miền đóng và bị chặn)

- Chia miền D thành n mảnh nhỏ, có diện tích

∆S1, ∆S2, , ∆Sn

- Xác định đường kính của các mảnh:

diam(∆Si) = max {AB | A, B ∈ ∆Si}

và đặt

dn= max {diam(∆S1), diam(∆S2), , diam(∆Sn)}

Trang 6

- Lấy điểm Mi(xi, yi) ∈ ∆Si (tùy ý) và lập tổng tích phân

- D : miền lấy tích phân

- f (x , y ) hàm dưới dấu tích phân

- dS : yếu tố diện tíchNếu tích phân (2) tồn tại, ta nói hàm f (x , y ) khả tích trên D

Trang 7

- dS : yếu tố diện tíchNếu tích phân (2) tồn tại, ta nói hàm f (x , y ) khả tích trên D

Trang 8

- dS : yếu tố diện tích

Nếu tích phân (2) tồn tại, ta nói hàm f (x , y ) khả tích trên D

Trang 9

- dS : yếu tố diện tích

Nếu tích phân (2) tồn tại, ta nói hàm f (x , y ) khả tích trên D

Trang 10

Chú ý: Nếu f (x , y ) liên tục trên miền đóng và bị chặn D thì

Trang 11

Chú ý: Nếu f (x , y ) liên tục trên miền đóng và bị chặn D thì

Trang 16

• R R

D

dxdy = S (D) = diện tích miền D

• Nếu f (x, y ) liên tục trên miền đóng và bị chặn D thì tồn tại(x0, y0) ∈ D sao

D

f (x , y )dxdy = f (x0, y0)S (D)

Trang 17

D

dxdy = S (D) = diện tích miền D

• Nếu f (x, y ) liên tục trên miền đóng và bị chặn D thì tồn tại(x0, y0) ∈ D sao

Trang 18

2.1.2 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Oxy.

Trang 19

2.1.2 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Oxy.

Trang 23

Corollary (2)

Giả sử

• D = {(x, y ) | a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2(x )} ⊂ [a, b] × [c, d ]

• các hàm: y1(x ), y2(x ) là các hàm liên tục trên [a, b]

• f (x, y ) liên tục trên [a, b] × [c, d ]

Trang 24

Corollary (2)

Giả sử

• D = {(x, y ) | a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2(x )} ⊂ [a, b] × [c, d ]

• các hàm: y1(x ), y2(x ) là các hàm liên tục trên [a, b]

• f (x, y ) liên tục trên [a, b] × [c, d ]

Trang 29

Giả sử miền D được cho bởi

Trang 30

Giả sử miền D được cho bởi

Trang 32

2.1.3 Đổi biến số trong tích phân kép

Trang 33

2.1.3 Đổi biến số trong tích phân kép

Trang 34

xu0 xv0

yu0 yv0

6= 0 ∀(u, v ) ∈ D1

Trang 35

xu0 xv0

yu0 yv0

6= 0 ∀(u, v ) ∈ D1

f (x (u, v ), y (u, v ))|J|dudv (10)

Trang 37

Tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Công thức đổi tọa độ:

Trang 38

(

x = r cos ϕ

r = OM, ϕ =−−→OM, Ox\ .Giả sử miền D được cho bởi

Trang 39

(

x = r cos ϕ

r = OM, ϕ =−−→OM, Ox\ .Giả sử miền D được cho bởi

Trang 40

Chú ý.

Nếu O là điểm trong của miền D và mọi tia xuất phát từ O có góc

ϕ đều cắt biên tại một điểm có bán kính r (ϕ) thì

D

f (x , y )dxdy =

Z 2π 0

d ϕ

Z r (ϕ) 0

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr (13)

Trang 42

x2+ y2− 2y ≥ 0, x2+ y2− 1 ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0

Trang 44

2.1.4 Ứng dụng của tích phân kép

(2) Tính thể tích Cho hình trụ V

• có đường sinh k Oz,

• đáy dưới là miền D ⊂ (Oxy )

• đáy trên là mặt cong z = f (x, y )

Trang 45

(2) Tính thể tích Cho hình trụ V

• có đường sinh k Oz,

• đáy dưới là miền D ⊂ (Oxy )

• đáy trên là mặt cong z = f (x, y )

Trang 46

Tính thể tích V phần hình trụ giới hạn bởi mặt

x2+ y2= 2xnằm trong mặt cầu

x2+ y2+ z2= 4

Trang 47

(3) Tính khối lượng bản phẳng

• bản phẳng kim loại (hoặc chất liệu khác như nhựa, giấy, )trong mặt phẳng xy có mật độ khối lượng (= khối lượng trênmột đơn vị diện tích) là ρ(x , y ) và hình dạng được xác địnhbởi miền R

• khối lượng của bản phẳng được tính bằng công thức sau

Trang 48

• (4) Xác định trọng tâm của bản phẳng: Bản phẳng kim loại

với M là khối lượng của bản phẳng tính theo công thức (16)

• (5) Xác định mô-ment quán tính của bản phẳng: Bản phẳngkim loại R ; mô-ment quán tính đối với trục x (Ix), trục y (Iy),

và đối với gốc toạ độ (I0):

Trang 51

dn= max {diam(∆V1), diam(∆V2), , diam(∆Vn)}

Trang 53

dn= max {diam(∆V1), diam(∆V2), , diam(∆Vn)}

Trang 54

- Lấy điểm Mi(xi, yi, zi) ∈ ∆Vi (tùy ý) và lập tổng tích phân

d n →0σn (nếu giới hạn tồn tại) (18)

- V : miền lấy tích phân

- f (x , y , z) hàm dưới dấu tích phân

- dV : yếu tố thể tíchNếu tích phân (18) tồn tại, ta nói hàm f (x , y , z) khả tích trên V

Trang 55

- dV : yếu tố thể tíchNếu tích phân (18) tồn tại, ta nói hàm f (x , y , z) khả tích trên V

Trang 56

- dV : yếu tố thể tích

Nếu tích phân (18) tồn tại, ta nói hàm f (x , y , z) khả tích trên V

Trang 57

Chú ý: Nếu f (x , y , z) liên tục trên miền đóng và bị chặn V thì

Trang 58

Chú ý: Nếu f (x , y , z) liên tục trên miền đóng và bị chặn V thì

Trang 62

• Nếu f (x, y , z) ≤ g (x, y , z) với mọi (x, y , z) ∈ V , thì

Trang 63

Trang 64

Trang 65

D là hình chiếu của V lên mặt Oxy

Trang 67

D là hình chiếu của V lên mặt Oxy

Trang 69

I =

V

x2dxdydz

với V là hình cầu đơn vị

Trang 71

2.2.4 Đổi biến số trong tích phân bội 3

Trang 72

2.2.4 Đổi biến số trong tích phân bội 3

Trang 73

xu0 xv0 xw0

yu0 yv0 yw0

zu0 zv0 zw0

...

- f (x , y , z) hàm dấu tích phân

- dV : yếu tố thể tíchNếu tích phân (18) tồn tại, ta nói hàm f (x , y , z) khả tích V

Vũ Hữu Nhự Giải tích. .. tồn tại) (18)

- dV : yếu tố thể tíchNếu tích phân (18) tồn tại, ta nói hàm f (x , y , z) khả tích V

- dV : yếu tố thể tích

Nếu

Tiêu đề	Tích phân bội
Tác giả	Vũ Hữu Nhự
Trường học	Phenikaa University
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Giáo trình

Định dạng
Số trang	83
Dung lượng	322,99 KB