Một số ứng dụng của đại số tuyến tính trong kinh tế

Mô hình chung để giải quyết một bài toán thực tế có cấu trúcnhư sau: Bài toán thực tế → Mô hình toán → Lời giải → Quyết địnhTrong bối cảnh phải tích cực đổi mới, hoàn thiện để phát triển

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

LÊ THỊ KHÁNH LINH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

LÊ THỊ KHÁNH LINH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Hoàng Nhật Quy

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 MA TRẬN 5

1.1.1 Các định nghĩa 5

1.1.2 Các phép toán trên ma trận 8

1.1.3 Các phép biến đổi trên ma trận 11

1.2 ĐỊNH THỨC 11

1.2.1 Mở đầu 11

1.2.2 Định nghĩa 13

1.2.3 Tính các định thức cấp 1, 2, 3 13

1.2.4 Các tính chất cơ bản của định thức 15

1.3 HẠNG CỦA MA TRẬN 16

1.3.1 Định nghĩa 16

1.3.2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận 17

1.4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 19

1.4.1 Định nghĩa 19

1.4.2 Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo 20 1.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 21

1.5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 21

1.5.2 Hệ phương trình Cramer 22

1.6 PHẦN MỀM R 24

1.6.1 Giới thiệu phần mềm, cách download và cài đặt phần mềm 24

1.6.2 Cách sử dụng phần mềm R vào giải một số bài toán 26 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ 33

2.1 MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG 33

2.1.1 Thị trường một loại hàng hóa 33

2.1.2 Thị trường hai loại hàng hóa 34

2.1.3 Thị trường nhiều loại hàng hóa 38

2.2 MÔ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MÔ 43

2.2.1 Mô hình cân bằng đối với một nền kinh tế đóng chưa tính thuế thu nhập 43

2.2.2 Mô hình cân bằng đối với một nền kinh tế đóng tính thuế thu nhập 45

2.3 MÔ HÌNH IS-LM 47

2.4 MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT CỦA LEONTIEF 54

2.4.1 Xây dựng 54

2.4.2 Tên gọi và ý nghĩa 56

2.4.3 Công thức xác định tổng cầu đối với sản phẩm của các ngành sản xuất 57

2.4.4 Các ví dụ 57

2.5 MÔ HÌNH HỒI QUY 63

2.5.1 Mô hình hồi quy tuyến tính đơn 66

2.5.2 Mô hình hồi quy tuyến tính bội 69

2.5.3 Mô hình hồi quy phi tuyến tính 71

2.6 PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG HÀM HỒI QUY MẪU BA BIẾN

72

KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Qs Lượng cung hàng hóa

Qd Lượng cầu hàng hóa

p Giá hàng hóa

Qsi Lượng cung hàng hóa thứ i

Qdi Lượng cầu hàng hóa thứ i

pi Giá hàng hóa thứ i

Q Lượng cân bằng

p Giá cân bằng

Y Tổng thu nhập quốc dân

Yd Tổng thu nhập quốc dân sau thuế

E Tổng chi tiêu kế hoạch

C Tiêu dùng của hộ gia đình

G Chi tiêu của chính phủ

I Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất

r Lãi suất

Y Mức thu nhập cân bằng

C Mức tiêu dùng cân bằng

r Lãi suất cân bằng

L Lượng cầu tiền

M Lượng cung tiền

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay, trong điều kiện kỹ thuật và công nghệ phát triển rất mạnh,Toán học có nhiều cơ hội được ứng dụng một cách mạnh mẽ vào nhiềulĩnh vực khác nhau của đời sống con người, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh

tế Việc sử dụng Toán học để cắt nghĩa các vấn đề, hiện tượng kinh tế đãmang đến những hiểu biết rất mạch lạc và đem lại những giải pháp tối ưunhất có thể Mô hình chung để giải quyết một bài toán thực tế có cấu trúcnhư sau:

Bài toán thực tế → Mô hình toán → Lời giải → Quyết địnhTrong bối cảnh phải tích cực đổi mới, hoàn thiện để phát triển và hộinhập thì việc sử dụng các công cụ khoa học, trong đó có Toán học để phântích, tìm ra các quy luật vận động, phát triển của các sự vật, hiện tượngkinh tế trong hệ thống kinh tế xã hội là một việc làm cần thiết Trong cácứng dụng của Toán học thì "mô hình toán kinh tế" và "đo lường kinh tế"

là hai công cụ sắc bén để phân tích hoạt động kinh tế Mặt khác, các kiếnthức của đại số tuyến tính được sử dụng rất nhiều và rất hiệu quả để giảiquyết các bài toán được đưa ra ở đây Luận văn này nhằm vận dụng cáckiến thức của đại số tuyến tính để mô hình hóa cho một số vấn đề kinh

tế, sau đó ứng dụng phần mềm R để giải quyết các mô hình toán và đưa

ra các giải pháp tối ưu

Để hệ thống các kiến thức cần thiết và tối thiểu nhất về đại số tuyếntính dành cho các nhà kinh tế, để giúp bạn đọc nói chung và các nhà kinh

tế nói riêng làm quen được với việc sử dụng toán học như một công cụphân tích kinh tế Hơn nữa, để làm rõ được các lợi ích và các ứng dụngcủa đại số tuyến tính trong kinh tế, tôi chọn đề tài Một số ứng dụngcủa đại số tuyến tính trong kinh tế

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu những phần kiến thức của đại số tuyến tính là cơ sở đểgiải quyết các bài toán trong kinh tế

- Giới thiệu và sử dụng phần mềm R hỗ trợ giải quyết các bài toán kinh

tế bằng đại số tuyến tính

- Nghiên cứu tổng quan về kinh tế, các “mô hình kinh tế”, các nội dungtrong kinh tế cần sử dụng công cụ đại số tuyến tính Đưa ra các bài toán

và ví dụ cụ thể có sử dụng đại số tuyến tính để giải quyết

3 Đối tượng nghiên cứu

Đại số tuyến tính trong kinh tế

4 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài không bao quát đầy đủ tất cả các nội dung của đại số tuyếntính, không đề cập đến cấu trúc không gian trừu tượng mà chỉ dừng lại ởnhững vấn đề thực sự cần thiết trong việc giải quyết một số bài toán kinh

tế, mô hình kinh tế, theo sát nhu cầu sử dụng toán học trong kinh tế

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu, tổng hợp các kiến thức về đại số tuyến tính sử dụng trongkinh tế

- Tổng hợp các mô hình kinh tế, bài toán kinh tế có áp dụng kiến thứccủa đại số tuyến tính, sau đó phân tích phân loại các nội dung kiến thức

về đại số tuyến tính được sử dụng

- Tìm hiểu, cài đặt và sử dụng phần mềm R vào hỗ trợ giải các bài toánkinh tế bằng đại số tuyến tính

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài trình bày và hệ thống lại các kiến thức quan trọng của đại sốtuyến tính được sử dụng nhiều trong lĩnh vực kinh tế với mục đích trang

bị công cụ nên mang một sắc thái riêng, hiệu quả, cần thiết và hữu hiệucho những ai đang nghiên cứu về toán học áp dụng vào kinh tế Người đọc

sẽ rất dễ nắm bắt các kiến thức về đại số tuyến tính được áp dụng vào các

bài toán, mô hình kinh tế được nêu ở chương 2.

Đề tài này cũng là một dẫn chứng cụ thể về mối liên hệ giữa toán học

và thực tiễn đời sống, cụ thể là mối liên hệ giữa toán học và điều khiểnkinh tế Các bài toán trong kinh tế được giải quyết một cách dễ dàng,chính xác bằng cách dùng kiến thức của đại số tuyến tính Giúp người họctoán ham thích hơn, giúp người làm kinh tế dễ hiểu hơn

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

am1 am2 amn







* Ta sẽ dùng các chữ cái in hoa A, B,C, để đặt tên cho các ma trận

Để gán tên cho một ma trận là A ta viết:

m chiều Ta ký hiệu Adi để chỉ dòng thứ i của ma trận A và ký hiệu Acj đểchỉ cột thứ j của nó.

Định nghĩa 1.2 Hai ma trận bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùngcấp và các phần tử ở các vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau

* Hai ma trận A và B bằng nhau ta viết A = B

* Ma trận không cấp m × n kí hiệu là Om×n hoặc O

* Một ma trận vuông có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là matrận vuông cấp n Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát:

Phần tử aij thuộc đường chéo chính ⇔ i = j;

Phần tử aij nằm phía trên đường chéo chính ⇔ i < j;

Phần tử aij nằm phía dưới đường chéo chính ⇔ i > j

Định nghĩa 1.6 Ma trận tam giác là ma trận vuông và các phần tửnằm về một phía của đường chéo chính bằng 0

* Có hai loại ma trận tam giác:

Ma trận tam giác trên

Ma trận đơn vị được kí hiệu là E và có dạng:

* Ta có thể xem các ma trận dòng và ma trận cột như các vec-tơ Tuynhiên, dưới góc độ ma trận thì hai ma trận này là khác nhau, còn dướidanh nghĩa vec-tơ thì đó là hai dạng viết của cùng một vec-tơ

1.1.2 Các phép toán trên ma trận

a Phép cộng ma trận:

Cho hai ma trận cùng cấp m × n:

A = [aij]m×n, B = [bij]m×n.Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × n, ký hiệu là

A + B và được xác định như sau:

A + B = [aij + bij]m×n.Chú ý: Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp

b Phép nhân ma trận với số:

Cho số α và ma trận A cấp m × n:

A = [aij]m×n.Tích của số α và ma trận A là một ma trận cấp m × n, ký hiệu là αA

và được xác định như sau:

c Phép trừ ma trận:

Cho hai ma trận cùng cấp m × n:

A = [aij]m×n, B = [bij]m×n.Hiệu của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × n, ký hiệu là

A − B và được xác định như sau:

A − B = A + (−B) = [aij − bij]m×n.Chú ý: Phép trừ ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp

Hiệu của hai ma trận là A − B =



−6 12 −2

−7 −7 −3



d Phép nhân hai ma trận:

Cho hai ma trận:

A = [aij]m×n, B = [bij]n×p.trong đó số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B bằng n.Tích của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × p, ký hiệu là AB

và được xác định như sau:

AB = [cij]m×p,trong đó cij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj; ∀i = 1, m, j = 1, p

11 A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA;

12 α(AB) = (αA)B = A(αB);

13 AE = EA = A

1.1.3 Các phép biến đổi trên ma trận

a Phép biến đổi sơ cấp:

am1 am2 amn





 Nếu xoay cácdòng của A thành các cột (các cột thành các dòng) với thứ tự tương ứng

a1n a2n amn







Phép biến đổi ma trận A thành At được gọi là phép chuyển vị ma trận

Ma trận At được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A

với αi, i = 1, n, là số tự nhiên đứng ở vị trí thứ i trong hoán vị đó (αi 6= αj

khi i 6= j) Trong hoán vị α1, α2, , αn, nếu i < j mà αi > αj thì ta nóihai số αi, αj tạo thành một nghịch thế

Tổng số nghịch thế có trong hoán vị là số chẵn thì hoán vị đó được gọi

* Nếu tập hợp n số tự nhiên đầu với n ≥ 2 thì trong tổng số n! hoán

vị của tập hợp đó có một nửa là hoán vị chẵn, một nửa là hoán vị lẻ

- Để chọn, trước tiên ta lấy một hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên đầu,gọi là hoán vị chỉ số cột : α1, α2, , αn

- Sau đó ta chọn n phần tử của ma trận A theo quy tắc "trên dòng ilấy phần tử ở cột αi, i = 1, n"

Như vậy ta sẽ có lần lượt các phần tử a1α1, a2α2, , anαn tạo thành bộgồm n phần tử của ma trận A như mong muốn.

Vậy, ta có n! cách chọn các bộ gồm n phần tử của ma trận A mà cácphần tử đó thuộc các dòng khác nhau và các cột khác nhau

* Mỗi hoán vịα1, α2, , αn cho ta một bộ gồm n phần tử của ma trậnA

làa1α1, a2α2, , anαn Gọi h là tổng số nghịch thế của hoán vị α1, α2, , αn

* Mỗi tích T được gọi là một thành phần của định thức

* Định thức của ma trận A được ký hiệu là |A| hoặc det(A)

Nếu không gọi tên ma trận thì định thức cấp n được viết là:

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

an1 an2 ann

2 −5 3

−1 5 6

0 9 7

= −100

b Hạng của ma trận:

* Hạng của một ma trận là cấp cao nhất của các định thức con khác 0của ma trận đó

* Hạng của ma trận A được kí hiệu là rankA hay r(A)

Ví dụ: Ma trận A được cho ở trên có hạng r(A) = 3

Chú ý: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma trận

1.3.2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận

a Phương pháp định thức bao quanh:

Nếu ma trận A có một định thức con D 6= 0 cấp r và mọi định thứccon cấp r + 1 bao quanh D (nếu có) đều bằng 0 thì hạng của ma trận A

bằng r

Ma trận A có định thức con D cấp r, bổ sung vào D một dòng và mộtcột của A ta được định thức mới D cấp r + 1 Khi đó, D là định thức bao

quanh của D.

Vậy, ta có thể tính hạng của một ma trận theo phương pháp như sau:

Từ một định thức con D 6= 0 cấp s, ta tính các định thức con D cấp

s + 1 bao quanh D (nếu có) Có 2 trường hợp xảy ra:

+ Không có D nào hoặc tất cả các định thức con D cấp s + 1 baoquanh D đều bằng 0 Kết luận hạng của ma trận là s

+ Có một định thức con D cấp s + 1 mà D 6= 0 Ta chuyển sang xétcác định thức con cấp s + 2 bao quanh D

Lặp lại quá trình này sau một số bước hữu hạng ta sẽ xác định đượchạng của ma trận

3 2

0 1

= 3 6= 0

Trong số các định thức con cấp 3 bao quanh định thức cấp 2 ở trên, ta có:

D123123 =

... bằng0.

4 Nhân dòng (cột) ma trận với số α (tức nhân mỗiphần tử dòng (cột) với số α) ta ma trận có địnhthức định thức ma trận ban đầu nhân với số α Nói cách khác,thừa số chung phần tử dịng (cột) đưa...

an1 an2 ann

* Mỗi định thức số xác định phân biệt với ma trận bảngsố

Ví dụ: Ma trận A = [9] có detA =