Một số ứng dụng tích phân của hàm một biến trong hình học và vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THU HÒA MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2015 .... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUY

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU HÒA

MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG

HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, Năm 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU HÒA

MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG

HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Thái Nguyên, Năm 2015

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS Nguyễn Văn Ngọc,thầy đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình làm luậnvăn này

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại Học Khoa Học, các thầy côgiáo, các phòng chức năng của trường đã tạo cho tác giả mọi điều kiện tốt nhấttrong quá trình học tập tại trường

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, các bạn học viên tronglớp cao học toán K7b đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian họctập cùng nhau

Cuối cùng tác giả xin bày tỏ sự biết ơn vô hạn đối với cha mẹ, các anh chị

em và người thân trong gia đình mình đã động viên và giúp đỡ tác giả trongsuốt quá trình học tập

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Học viênNguyễn Thu Hòa

Mục lục

Mở đầu 1

1 Tích phân xác định 3 1.1 Tích phân xác định và lớp hàm khả tích Riemann 3

1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định 3

1.1.2 Lớp hàm khả tích Riemann 4

1.2 Các tính chất của tích phân xác định 7

1.2.1 Đẳng thức 7

1.2.2 Bất đẳng thức 7

1.2.3 Các định lý về giá trị trung bình tích phân 8

1.3 Tích phân xác định và nguyên hàm 9

1.3.1 Tích phân xác định là hàm theo cận trên 9

1.3.2 Nguyên hàm 10

1.4 Tính toán và biến đổi các tích phân 11

1.4.1 Công thức Newton- Leibnitz Tích phân của các hàm chẵn, hàm lẻ 11

1.4.2 Công thức tích phân từng phần 14

1.4.3 Đổi biến trong tích phân bất định 15

1.4.4 Đổi biến trong tích phân xác định 17

1.5 Tích phân suy rộng 18

1.5.1 Tích phân suy rộng loại một 18

1.5.2 Tích phân suy rộng loại hai 24

2 Ứng dụng của phép tính tích phân trong hình học 27 2.1 Tính diện tích hình phẳng 27

2.1.1 Cơ sở lý thuyết 27

2.1.2 Các bài toán 28

2.2 Tính thể tích của khối tròn xoay 32

2.2.1 Cơ sở lý thuyết 32

2.2.2 Các bài toán 32

2.3 Tính chiều dài của một đường cong phẳng 35

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 35

2.3.2 Các bài toán 36

2.4 Tính diện tích của một mặt cong 37

2.4.1 Cơ sở lý thuyết 37

2.4.2 Các bài toán 38

3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong Vật lý 40 3.1 Sơ đồ tổng quát ứng dụng tích phân giải bài toán Vật lý 40

3.1.1 Khái quát chung 40

3.1.2 Lược đồ ứng dụng tích phân xác định 41

3.2 Moment và trọng tâm 42

3.2.1 Moment tĩnh và moment quán tính của hệ điểm 42

3.2.2 Moment của một cung phẳng 42

3.2.3 Moment của một hình thang cong thuần nhất 43

3.2.4 Các bài toán 44

3.3 Ứng dụng tích phân trong các bài tập điện 55

3.3.1 Cường độ điện trường 55

3.3.2 Điện trở 57

3.3.3 Từ trường 58

3.3.4 Điện xoay chiều 59

3.4 Một số vấn đề khác 60

3.4.1 Công 60

3.4.2 Lực-Áp suất 62

3.4.3 Phân hủy-Phóng xạ 66

Kết luận 69

Tài liệu tham khảo 70

Cauchy (1823) miêu tả một cách nghiệm ngặt tích phân của hàm liên tụcnhư giới hạn của một tổng Riemann (1854), chỉ đơn thuần là một phần bênngoài trong luận án nổi tiếng của ông về chuỗi lượng giác, định nghĩa tích phâncho các hàm tổng quát hơn Trong phần tiếp theo chúng ta miêu tả ngắn gọn lýthuyết tích phân Riemann và mở rộng của nó bởi Bois-Reymond và Darboux.

Lý thuyết tổng quát hơn của Lebesgue (1902) không được khảo sát ở đây.Trong định nghĩa của tích phân xác định đã sử dụng tiếp cận tính diệntích của một hình phẳng cũng như tính khối lượng của một vật phẳng khi biếthàm mật độ khối Vì thế, tích phân xác định từ nội tại đã có những ứng dụngHình học và Vật lý

Ứng dụng tích phân trong hình học, như tính diện tích của một hìnhphẳng, tính thể tích của khối tròn xoay, độ dài đường cong phẳng, diện tíchcủa mặt tròn xoay, v.v đã được đề cập khá nhiều trong các sách giáo khoa,sách chuyên khảo nâng cao, cũng như trong các đề thi vào Đại học nhiều năm.Vật lý học là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, các công thứccủa Vật lý thường được xây dựng trên các biểu thức Toán học phù hợp với kếtquả thực nghiệm Việc sử dụng Toán học có hiệu quả trong việc giải các bàitoán của Vật lý là việc rất khó đối với học sinh phổ thông, kể cả các học sinhkhá, giỏi

So với những ứng dụng của tích phân trong Hình học sơ cấp thì tài liệugiới thiệu về ứng dụng của tích phân giải các bài toán của Cơ học và Vật lý sơcấp chưa có nhiều và khá sơ sài.Vì vậy chúng tôi đã chọn đề tài về ứng dụng

của tích phân trong Hình học, Cơ học và Vật lý làm Luận văn Thạc sĩ Khoahọc.

Theo chúng tôi được biết, đề tài trên đây cũng đã được đề cập trong Luậnvăn Thạc sĩ Khoa học [5], năm 2011 Tuy nhiên trong tài liệu này chỉ thấytrình bày lý thuyết tóm tắt của tích phân trong Hình học và Cơ học mà chưathấy có các bài toán áp dụng, đặc biệt là các bài toán khó và các bài toán củavật lý sơ cấp

Luận văn này gồm có; Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận và Tài liệutham khảo

Chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định Riemann Kiếnthức của chương này có thể tìm thấy trong bất kỳ tài liệu nào về phép tính viphân và tích phân

Chương 2 trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong Hình học.Nội dung của chương này dựa trên nhiều tài liệu, đặc biêt là các tài liệu [1], [4]

và các đề tuyển sinh Đại học trong nhiều năm

Chương 3 trình bày ứng dụng phép tính tích phân trong các bài toán củavật lý Chương này là nội dung chính của luận văn Mục 3.1 trình bày sơ đồtổng quát áp dụng tích phân xác định vào các bài toán của cơ học và vật lý.Ngoài việc hiểu các kiến thức cần thiết của Vật lý còn phải biết Toán học hóabài toán của Vật lý, như đưa vào các biến cần thiết, xét hệ tọa độ thích hợp.Vấn đề quan trọng trong ứng dụng phép tính tích phân là trước hết phải biết

vi phân các đại lượng, sau đó dùng các định luật của Vật lý thiết lập các đạilượng vi phân nguyên tố, sau đó mới tích phân các đại lượng vi phân nguyên

tố này, v.v

Chương 1

Tích phân xác định

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định Riemann.Kiến thức của chương này có thẻ tìm thấy trong bất kỳ tài liệu nào về phéptính vi phân và tích phân của hàm một biến, đặc biệt là các tài liệu [1], [4]

sự làm mịn của ∆ nếu nó chứa tất cả các điểm của ∆, tức là ∆0 ⊃ ∆

• Giả sử f : [a, b] → R là một hàm tùy ý Nếu ∆ = {x0, x1, , xn}, là mộtphân hoạch của [a, b], khi đó một cách lựa chọn gắn với ∆ là một lớp hữu hạn

ξ = (ξ1, , ξn) sao cho ξi−1 ≤ ξi ≤ ξi+1 với i = 1, , n Ta gắn với f, ∆ và ξtổng Riemann S(f ; ∆, ξ) xác định bởi

|S(f ; ∆, ξ) − I| < ε, với mọi cách lựa chọn ξ gắn với ∆ Số I được gọi là tíchphân của f trên [a, b] và ký hiệu bằng

Z b a

f (x)dx Như vậy, theo định nghĩa tacó

f (x)dx =

Z b a

f (y)dy =

Z b a

f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b],

f(x) liên tục trên [a, b],

f(x) liên tục từng khúc chỉ có một số hữu hạn điểm

gián đoạn trên đoạn [a, b]

Đặc biệt, nếu ta thay đổi giá trị của một hàm khả tích tại hữu hạn điểm, thìhàm số vẫn khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi Hàm bị chặn cóthể không khả tích Để minh họa, xét hàm Dirichlet sau đây

Ví dụ 1.1 Hàm Dirichlet được xác định bởi công thức

• Trong phần tiếp theo chúng tôi miêu tả một phương pháp tiếp cận tính khảtích Riemann khác Ta định nghĩa tổng Darboux dưới và tổng Darboux trêngắn với f : [a, b] → R và cách chia ∆ = {x0, x1, , xn} của [a, b] là

S+(f ; ∆), với cách chọn ξ gắn với cách chia ∆ Hơn nữa, nếu ∆0 là phéplàm mịn của ∆, thì

S−(f ; ∆) ≤ S−(f ; ∆0) ≤ S+(f ; ∆0) ≤ S+(f ; ∆),nếu ∆1 và ∆2 là hai cách chia tùy ý, thì

S−(f ; ∆1) ≤ S+(f ; ∆2)

Điều này chỉ ra tập các tổng Darboux dưới của f bị chặn trên bởi mọi tổngDarboux trên và tập các tổng Darboux trên của một hàm nhất định được bịchặn dưới bởi bất kỳ tổng Darboux dưới Do đó, ta khảo sát cận trên đúng củatổng Darboux dưới và cận dưới đúng của tổng Darboux trên Ta định nghĩatích phân Darboux dưới

Z b a

f (x)dx := inf

∆ S+(f ; ∆)

Các tiêu chuẩn tích phân sau là của Darboux

Định lý 1.1 Một hàm f : [a, b] → R khả tích khi và chỉ khi với bất kỳ ε > 0tồn tại δ > 0 sao cho

S+(f ; ∆) − S−(f ; ∆) < ε,với mọi phân hoạch ∆ = {x0, x1, , xn} với maxi(xi− xi−1) < δ

Điều này kéo theo một hàm f : [a, b] → R khả tích khi và chỉ khi tíchphân Darboux trên và tích phân Darboux dưới bằng nhau Trong trường hợpnày ta có

Z b a

f (x)dx :=

Z b a

f (x)dx =

Z b a

n nếu x =

m

n, m, n ∈ N∗, (m, n) = 1

Trong phần tiếp theo ta lập luận f là hàm khả tích trên [0, 1] vàR01f (x)dx =

0 Cố định ε > 0 Tồn tại một số hữu hạn (giả sử p) các số x ∈ [0, 1]sao cho f (x) > ε Bây giờ ta chọn một phân hoạch ∆ của [0, 1] vớimaxi(xi − xi−1) < ε/p sao cho mọi số thực x với f (x) > ε nằm trongphần trong của khoảng con Khi đó S−(f ; ∆) = 0 và

S+(f ; ∆) ≤ ε + p · max

i (xi− xi+1) < 2ε,

do đó f khả tích trên [0, 1] và R01f (x)dx = 0

[αf (x) + βg(x)]dx = α

Z b a

f (x)dx + β

Z b a

g(x)dx

2 Nếu f (x) khả tích trên đoạn [b, a], thì nó khả tích trên đoạn [b, a],ngoài ra

Z b a

f (x)dx = −

Z a b

f (x)dx,

Z a a

f (x)dx = 0

3 Giả sử f (x) khả tích trên khoảng rộng nhất trong ba khoảng [a, b], [b, c]

và [a, c] Khi đó f(x) khả tích trong hai khoảng còn lại và có đẳng thức

Z b a

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx +

Z b c

f (x)dx

1.2.2 Bất đẳng thức

Trong phần này ký hiệu [a, b] là khoảng mà a<b

4 Nếu f (x) ≥ 0 trên khoảng [a, b] (a<b), f (x) 6=≡ 0, thì

Z b a

f (x)dx > 0

5 Nếu f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], a < b thì

Z b a

f (x)dx ≤

Z b a

g(x)dx

6 Nếu f (x) khả tích trên [a, b], a<b thì

Z b a

f (x)dx

≤

Z b a

|f (x)|dx

7 Cho f là hàm khả tích trên [a, b] với m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b].

m(b − a) ≤

Z b a

f (x)dx ≤ M (b − a)

1.2.3 Các định lý về giá trị trung bình tích phân

Định lý 1.2 (Định lý trung bình tích phân thứ nhất) Giả sử f (x) khảtích trên [a, b]( a<b hoặc a>b) và giả sử m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] Khi đó

Z b a

f (x)dx = µ(b − a),trong đó m ≤ µ ≤ M

Định lý 1.3 (Định lý trung bình tích phân thứ nhất mở rộng) Giả sử1) f (x), g(x) là những hàm khả tích trên [a, b],

2) m ≤ f (x) ≤ M,

3) g(x) có dấu không đổi trên đoạn [a, b] Khi đó có đẳng thức

Z b a

f (x)g(x)dx = µ

Z b a

f (x)g(x)dx = f (c)

Z b a

trong đó a ≤ c ≤ b

Định lý 1.4 (Định lý trung bình tích phân thứ hai)

1) Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f (x) ;liên tục, không âm và đơn điệu giảm,còn g(x) khả tích trên [a, b], thì

Z b a

f (x)g(x)dx = f (a)

Z ξ a

g(x)dx, ξ ∈ [a, b] (1.4)

2) Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f (x) ;liên tục, không âm và đơn điệu tăng,còn g(x) khả tích trên [a, b], thì

Z b a

f (x)g(x)dx = f (b)

Z b ξ

g(x)dx + f (b)

Z b ξ

g(x)dx, ξ ∈ [a, b] (1.6)

1.3.1 Tích phân xác định là hàm theo cận trên

• Giả sử f (x) là hàm khả vi trên đoạn [a, b] Xét tích phân xác định với cậntrên biến đổi trong đoạn [a, b] :

F (x) =

Z x a

f (t)dt

Áp dụng Định lý giá trị trung bình thứ nhất, ta được

F (x + h) − F (x) =

Z x+h x

f (t)dt = µh, m0 ≤ µ ≤ M0,

trong đó µ là giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất m0 và

M0 của f (x) trên đoạn [x, x + h] Do tính liên tục của f (t) tại t = x, với mọi

ε > 0 tồn tại δ > 0, sao cho

f (x) − ε < f (t) < f (x) + ε, |h| < δ

đối với mọi t ∈ [x, x + h] Khi đó ta có

Z

xαdx = x

α+1

α + 1 + C, ( α 6= −1),3

Z dx

x = ln |x| + C,4

Z

axdx = a

x

ln a + C, 0 < a 6= 1,5

Z

sin xdx = − cos x + C,6

Z

cos xdx = sin x + C,7

Z

dxcos2x = tan x + C,8

Z

dxsin2x = − cot x + C,

x − a

x + a

+ C, a 6= 0,10

Zsinh xdx = cosh x + C,11

Zcosh xdx = sinh x + C12

Zdxsinh2x = − coth x + C,13

Zdxcosh2x = tanh x + C,14

√

a2− x2dx = arcsinx

a + C, a 6= 0,16

√

a2+ x2dx = ln |x +√

a2+ x2| + C,17

1.4 Tính toán và biến đổi các tích phân

1.4.1 Công thức Newton- Leibnitz Tích phân của các hàm chẵn,

hàm lẻ

Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) trên đoạn [a, b] thì ta có côngthức Newton- Leibnitz:

Z b a

f (x)dx = F (x)

...

• Hội tụ tích phân suy rộng loại hai Nếu tích phân (1.30) số hữu hạn ta nói tích phân suy rộng loại hai hội tụ,còn giới hạn tương ứng với tích phân khơng tồn vơcùng ta nói tích phân phân kỳ

(1.28)-Chúng... 2

Ứng dụng phép tính tích phân hình học< /h2>

Chương trình bày ứng dụng phép tính tích phân Hình học. Nội dung chương dựa nhiều tài liệu, đặc biêt tài liệu [1], [4]

và đề tuyển... data-page="24">

Nếu tích phân (1.17)-(1.19) số hữu hạn, ta nói tích phânsuy rộng loại hội tụ Ngược lại, giới hạn tương ứng cáctích phân khơng tồn vơ cùng, ta nói tích phân suy rộng nàyphân kỳ.

Mệnh