Báo cáo nhóm chủ đề 1 một số ứng dụng của cực trị của hàm nhiều biến chủ đề 2 một số ứng dụng của phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KẾ TOÁN KIỂM TOÁN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH BS6010 TÊN CHỦ ĐỀ Chủ đề 1 Một số ứng dụng của cực trị của hàm nhiều biến Chủ đề 2 Một số ứn[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KẾ TOÁN - KIỂM TOÁN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH BS6010

TÊN CHỦ ĐỀ:

Chủ đề 1 : Một số ứng dụng của cực trị của hàm nhiều biến Chủ đề 2: Một số ứng dụng của phương trình vi phân

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Thu Thảo

Nguyễn Thị Kim Liên Nguyễn Thị Ly

Lại Thảo Anh

Lê Ánh Tuyết Trịnh Thị Lý Phan Thị Thùy Dương Phạm Thị Ngọc Diễm Nguyễn Thị Loan

Tên lớp : 20221BS6010007

Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Chí Thanh

Hà Nội, 18 tháng 11 năm 2022

BẢNG ĐÁNH GIÁ TIÊU CHÍ LÀM VIỆC NHÓM( 5 TIÊU CHÍ)

Tiêu

chí

Tên thành

viên

Sự nhiệt tình tham gia công việc

Đưa ra ý kiến và

ý tưởng làm bài

Giao tiếp

và phối hợp tốt với thành viên khác cùng giải quyết vấn đề chung

Tổ chức và hướng dẫn cả nhóm

Hoàn thành công việc hiệu quả

Tổng điểm được

đánh giá bởi Thảo cho

từng thành viên

(TĐA)

Nguyễn Thị

Thu Thảo

Nguyễn Thị

Kim Liên

Nguyễn Thị

Ly

Phan Thị

Thùy Dương

Phạm Thị

Ngọc Diễm

Nguyễn Thị

Loan

TỔNG ĐIỂM ĐÁNH GIÁ CỦA CÁC THÀNH VIÊN

Tên thành viên TĐ = Tổng điểm được đánh

giá bởi tất cả các thành viên trong nhóm

Điểm trung bình

= TĐ/(5xsố thành

viên)

Hệ số cá nhân (dựa vào bảng qui đổi)

Phan Thị Thùy

Dương

BẢNG QUI ĐỔI RA HỆ SỐ CÁ NHÂN

Điểm trung

bình

Hệ số cá

nhân

A-Mục lục:

Trang

*Phần mở đầu: Giới thiệu 5

*Nội dung báo cáo:

Chủ đề 1: Một số ứng dụng của cực trị của hàm nhiều biến

1.Kiến thức về cực trị của hàm nhiều biến 5-9

2 Ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến trong bài toán kinh tế 10-12

Chủ đề 2: Một số ứng dụng của phương trình vi phân

1.Định nghĩa phương trình vi phân 12

2 Một số loại của phương trình vi phân 12-17 3.Ứng dụng của phương trình vi phân 18-19

*Phần kết luận 19

khảo 19

──────── * ───────

B-Phần mở đầu: Giới thiệu bao quát về nội dung của bài báo cáo

 Bài báo cáo bao gồm 2 chủ đề:

Kiến thức cực trị của hàm nhiều biến Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến trong bài toán kinh tế

Chủ đề 1: Một số ứng

dụng của cực trị của hàm

nhiều biến

Định nghĩa phương trình vi phân Một số loại của phương trình vi phân Ứng dụng của phương trình vi phân Chủ đề 2: Một số ứng dụng

của phương trình vi phân

C- Phần nội dung báo cáo:

***Chủ đề 1: Một số ứng dụng của cực trị của hàm nhiều biến

I Cực trị không có điều kiện

1.1 Định nghĩa

Hàm số z=f(x,y) đạt cực trị tại M(x0,y0) Nếu tại mỗi điểm M(x,y) khá gần nhưng khác M, thì hiệu∆f=f(x,y)−f(x0,y0) có dấu không đổi

- Nếu∆f < 0 thìf(x0,y0) là giá trị cực đại và M0 là điểm cực đại của hàmz=f(x,y)

- Nếu∆f >0 thì f(x0,y0)là giá trị cực tiểu và M0 là điểm cực tiểu của hàm số z=f(x,y)

Ví dụ: Hàm số w=x2 + y2 đạt giá trị cực tiểu tại điểm O(0, 0)

Vì x2 + y2 >0với mọi (x, y) thuộc cận điểm (0, 0)

1.2 Định lý

a) Điều kiện cần

Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị tại điểm M0(x0,y0) và tại đó hàm số có các đạo hàm riêng thì f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0

Điểm M0(x0,y0) thỏa mãn f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0 được gọi là điểm dừng Điểm dừng

M0 có thể không là điểm cực trị của hàm số

→Nhận xét 1: Từ định lý trên ta suy ra: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng của nó, nên để tìm các điểm cực trị ta chỉ cần tìm trong số các điểm dừng → Nhận xét 2: Một điểm là điểm dừng của hàm số thì chưa chắc là điểm cực trị Cho nên cần xétđiều kiện đủ để một điểm dừng là điểm cực trị

b) Điều kiện đủ

Giả sử z=f(x,y) có điểm dừng là Mo và có các đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận của điểm M0

Đặt A=f } rsub {{x} ^ {2}¿ (M0), B= f } rsub {xy¿(M0), C= f } rsub {{y} ^ {2}¿ (M0) Khi đó:

− Nếu {B2−AC <0

A >0 =>f(x,y) đạt cực tiểu tại M0

− Nếu {B2−AC <0

A <0 =>f(x,y) đạt cực đại tại M0

− Nếu B2− AC>0 =>f(x,y) không có cực trị tại M0

− Nếu B2− AC=0 chưa có kết luận ( M0 là điểm nghi ngờ)

c) Qui trình giải bài toán tìm cực trị hàm số z=f(x,y)

Bài toán: Tìm cực trị : z= f(x,y) trên miền D R2

 Bước 1: Tìm điểm dừng, xét hệ: {f ' x=0

f ' y=0

=>Tọa độ M(x0, y0)

 Bước 2: Đặt A= f”x2 ; B= f”x ; C=f”y2

Bảng dấu

 Bước 3: Kết luận cực trị của hàm số

VD: z = -x3+2 y4+6 x2−9 x+8 y

Giải:

- Tìm điểm dừng bằng việc xét hệ:

{f ' x=0

y=−1

Đặt A=f } rsub {{x} ^ {2}} =-6x+1¿ ; B=f } rsub {xy} =¿ ;C=

f } rsub {{y} ^ {2}} =24 {y} ^ {2¿

Ta có: B2-AC=0-(-6x+12).24y

Với M1(3;-1) →A=-6 , C=2

B2-AC=0-(-6).24=144>0

→M1 không là điểm cực trị

Với M2(1;-1) →A=6 , C=24

B2-AC=0-6.24=-144<0

A=6>0

→M2 là điểm cực tiểu

Z CT = -10

2.1 Định nghĩa

Ta nói hàm số z=f(x,y) đạt cực đại ( cực tiểu) tại điểm M0(x0, y0) với điều kiện g(x,y)=0 Nếu tồn tại một lân cận D của điểm M0 sao cho f(M)<f(M0)(f(M)>f(M0)) với mọi điểm

M∈D , M≠M0, g(M)=0

2.2 Điều kiện có cực trị

a) Điều kiện cần

Giả sử M0(x0,y0) là điểm cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0

Trong đó f(x,y),g(x,y) là các hàm số có các đạo hàm riêng liên tục

Khi đó tồn tại số λsao cho:

¿ (1)

Số λ được gọi là nhân tử lagrange

Hàm số L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) được gọi là hàm Lagrange

b) Điều kiện đủ

Giả sử điểm M0(x0, y0) thỏa mãn (1) ứng với nhân tử λ0 Ta gọi M0 là điểm dừng bài toán cực trị có điều kiện Ta chuyển bài toán tìm cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0 thành bài toán cực trị không điều kiện của hàm Lagrange

Xét biểu thức :

det H= 2g' x g' y L ' ' xy− ¿

Khi đó:

Nếu det(H(M0))>0 thì M0là điểm cực đại của hàm số

Nếu det(H(M0))<0 thì M0 là điểm cực tiểu của hàm số

Nếu det(H(M0))=0 thì chưa có kết luận về tính cực trị của hàm số tại điểm

M0

2.3 Các bước tìm cực trị có điều kiện

Bài toán:

Tìm cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0

 Bước 1: Lập hàm lagrange

L(x , y , λ) = f( x,y) + λg(x,y)

 Bước 2: Tìm điểm dừng, xét hệ:

{L ' x=0

L' y=0

L ' z=0

→ Tọa độ M

 Bước 3: Xét

det H= 2g ' x g ' y L '' xy− ¿

 Nếu det H>0→M là điểm cực đại

 Nếu det H<0→M là điểm cực tiểu

 Nếu det H=0→Chưa có kết luận

 VD1: Tìm cực trị của hàm số :

f(x,y) = 3x2+5xy với điều kiện x+y=16

Giải:

Đặt g(x,y)=x+y-16

Xét hàm Lagrange

L(x,y,λ)= 3x2+5xy+ λ(x+ y−16)

Tìm điểm dừng bằng việc xét hệ:

{L ' x=0

L' y=0

5 x+λ=0(2)

x+ y−16=0 (3)

Từ (1), (2) ta có:

x=−λ5 , y= λ25 thay vào (3) ta có:

−λ

5 + λ25−16=¿0

→−4 λ25 =16

Với λ=−100 → x= 20, y=-4

→M(20,-4)

Xét det H= 2g' x g' y L' ' xy− ¿

Trong đó g ' x =1,g' y =1,L } rsub {xy} =5 , {L y2=0, L} rsub {{x} ^ {2}} =¿

→det H = 2.1.1.5 = 10 >0

→M(20,-4) là điểm cực đại và ZCĐ = 800

VD2: Tìm cực trị của hàm số z = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1

Giải

Đặt g(x,y) = x2 + y2 – 1

Xét hàm Lagrange

L(x,y,λ) = 6 - 4x – 3y + λ(x2 + y2 – 1)

Tìm điểm dừng bằng việc xét hệ:

{L ' x=0

L ' y=0

L ' λ=0

 {−4+2 λx=0(1)

−3+2 λy=0(2)

x2+ y2 =1(3)

Từ (1) và (2) ta có :

x= 2λ , y=2λ3 thay vào (3) ta có :

4

λ2+ 94 λ2=1

− ¿> λ=± 52¿

Với λ = 52thì x = 45 , y=35

Do đó M1 ( 45, 35)

Với λ = −52 thì x= −45 , y= −35

Do đó M2 ( −45 ,−35 )

Xét det H= 2g' x g' y L' ' xy− ¿

Trong đó g' x =2x ,g' y =2 y ,L } rsub {xy} =0 , {L y2=2 λ ,L } rsub {{x} ^ {2}} =2¿

Do đó det H= -8λ(x2+ y2 ¿

Vậy tại M1 thì det H = -20 < 0 , hàm số đạt cực tiểu và zct = 1

M2 thì det H = 20 > 0 , hàm số đạt cực đại và zcđ = 11

II Ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến trong bài toán kinh tế

Một số ký hiệu:

Pi: Đơn giá của sản phẩm thứ i

Qi: Số lượng của sản phẩm thứ i

C=C(Q1,Q2): Hàm chi phí tính theo số lượng sản phẩm

⇒ π = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 - C(Q 1 ,Q 2 )

a Sản xuất trong điều kiện độc quyền

VD1: Công ty A sản xuất 2 loại sản phẩm có giá thị trường là: P1=400, P2=600 Chi

phí công ty bỏ ra là C= Q12+2Q22+2Q1+4Q2 +300

Hãy xác định cơ cấu sản xuất (Q1,Q2) để công ty đó đạt lợi nhuận tối đa?

Hướng dẫn:

- bài toán dẫn tới tìm cực trị của hàm lợi nhuận

π = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 - C(Q 1 ,Q 2 )

π=400 Q1+600 Q2 −(Q12+2Q22+2Q1+4 Q2 +300)

π=−Q12−2Q22+398 Q1+596 Q2 −300

Xét hệ:

{π ' Q1=0

Q2=149

→M(199,149)

Ta đặt: A=π' ' Q1 =−2B=π ' ' Q12=0 C=π ' ' Q2 =−4

B2-AC=-8<0

A=-2<0

→Hàm lợi nhuận đạt cực đại tại (Q1,Q2) = (199,149) với π CĐ=84001

VD2: Một hãng sẩn xuất 1 loại hàng với giá thị trường là 12＄ Hàm sản xuất Q=2

L12+3K23

Hỏi hãng sản xuất có đạt lợi nhuận tối đa không biết giá thuê lao động và giá thuê

tư bản lần lượt là 24＄ và 48＄?

Hướng dẫn:

Bài toán đưa về tìm cực đại của hàm lợi nhuận

¿12(2 L12+3 K23)−(24 L+48 K )

= 24 L12+36 K23−24 L−48 K

Xét hệ:

{π ' L=0

4

K= 1

8

→(L,K)=(14; 1

8¿

Ta đặt:

A=π } rsub {{L} ^ {2}} =-4¿ B=π } rsub {LK} =¿ C=π} rsub {{K} ^ {2}} =-12¿

B2− AC=−6144 < 0

A=−48< 0

→Hãng sản xuất đạt lợi nhuận tối đa tại (L ; K) = (14; 18¿ với π CĐ=−17

b Bài toán người tiêu dùng

VD: sinh viên A có 900 để mua 2 loại sản phẩm x,y với giá của từng loại sản phẩm lần lượt là Px= 10 và Py= 40 Hàm tổng thời gian sử dụng là (x-2)y.Xác định số lượng từng loại sản phẩm để thời gian sử dụng là lớn nhất?

Hướng dẫn:

-Khi đó, ta có: 10x+40y=900

-Bài toán đưa về tìm cực trị có điều kiện của hàm f(x , y)=(x−2) y với điều kiện 10x+90y=900

Đặt g(x,y)= 10x+40y-900

Lập hàm Lagrange

L(x,y,λ) =(x-2)y+λ(10x+40y-900)

Tìm điểm dừng bằng việc xét hệ:

{L ' x=0

L' y=0

x−2+40 λ=0(2)

10x+40 y−900=0(3)

Từ (1), (2), ta có: x=2-40λ , y=-10λ thay vào (3) ta được:

→ 10(2-40λ)+40(-10λ)-900=0

→ 20-400λ-400λ-900=0

→ -800λ-880=0

→ λ= - 1110

Với λ= - 1110 → x=46, y=11→ M(46,11)

Xét det H= 2g' x g' y L' ' xy− ¿

Trong đó g' x =10 , g ' y=40, L ' ' xy=1, L ' ' y2 =0, L ' ' x2 =0

Det H= 2.10.40.1=800>0

→M(46,11) là điểm cực đại và zCĐ = 484

***Chủ đề 2: Một số ứng dụng của phương trình vi phân

I Định nghĩa phương trình vi phân:

Phương trình vi phân là phương trình xuất hiện biến số, hàm số cần tìm và các đạo hàm (vi phân) các cấp của hàm số đó Phương trình tổng quát có dạng:

F¿(1) Trong đó: y ' ; y} ; {y} ^ {n ¿ là đạo hàm các cấp tương ứng

Nghiệm tổng quát phương trình có dạng : y=φ(x ;c) , ( c là hằng số )

- Nếu c=c0 ⇒y = φ(x ;c0) gọi là một nghiệm riêng

Ví dụ : Sau đây là một số phương trình vi phân thường:

a) y’=x2 + xy2 + y xuất hiện biến số x, hàm số cần tìm y(x) và đạo hàm y’(x) b) xdy – (y + x2)dx = 0 xuất hiện biến số x, hàm số y và vi phân dx, dy

II Một số loại của phương trình vi phân:

1.Phương trình vi phân cấp 1 với biến số phân li:

Là phương trình có dạng: f(x)dx=g(y)d

Phương pháp giải:

∫f(x)dx=∫g(y)dy

Ví dụ : Giải phương trình vi phân sau: (1+ y2)2

=2 y y ' .√1−x2

Giải:

Ta có: (1+ y2)2

=2 y y ' √1−x2

⟺ dx

√1−x2= 2 ydy

(1+ y2)2; x≠−1

⇔arc sin x=∫ √1−x dx 2=−arc cos x

⇔ arc sin x=∫(1+ y2)2

.d(1+ y2)

⇔arc sin x= −1

1+ y2 + c ( Nghiệm tổng quát phương trình)

2 Phương trình vi phân thuần nhất (phương trình đẳng cấp):

Hàm số f(x,y) gọi là hàm thuần nhất bậc n nếu f(tx,ty)=t n f(x,y).

+Phương pháp giải:

Phương trình thuần nhất có dạng: y’=f(x y).

Đặt u = x y

 y=ux, trong đó u(x) là hàm số của x Ta có:

Y’=xu’+u=f(u)  xdu dx=f(u)-u.

 Nếu f(u) u, ta có f (u)−u du =dx x , đây là phương trình phân ly biến số

 Nếu f(u)=u  u’x=0 u’=0u=C nghiệm của phương trình y=Cx

Ví dụ: Giải các phương trình vi phân:

a) xy’=xsin y x+y

Đặt y=xu y’  xu’u Thay vào phương trình ta được:

x(xu'+u) =xsinu+xu

 xu' = sin u

Ta thấy sinu=0  u=kπ ,kϵ thỏa mãn xu’=sinu

Do đó y= kπx là các nghiệm của phương trình ban đầu

Nếu sinu ≠ 0, ta có:

du

sin u = dx x ln ¿tg u2∨ ¿ ln ¿x∨+ln¿C∨¿¿tg2x y =Cx

b) (x+2y)dx-xdy=0 và y(1)=-2

Đặt y=xudy=xdu+udx, thay vào phương trình ta được:

(x+2xu)dx - x(udx+xdu) = 0

x(1+u)dx = x2du

Ta thấy u = -1 không thỏa mãn điều kiện ban đầu, nên đó không là nghiệm của phương trình Ta được phương trình tưởng đương

dx

x =u+1 du ln ¿x∨¿+ln ¿C∨¿¿= ln ¿u+1|

u+1 = Cx

Y(1) = -2u(1) = -2, nên C = -1

Vậy nghiệm của phương trình đang xét là: y=-x2-x

3.Phương trình vi phân cấp 2:

Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng:

F(x,y,y’,y”)=0; y”=f(x,y,y’)

Các dạng PTVP cấp 2:

a) PTVP giảm cấp được

b) PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hàm:

y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (1)

+ Nếu f(x)=0  PTVP thuần nhất

+ Nếu f(x)≠0  PTVP không thuần nhất

Trong đó p(x), q(x), f(x) là các hàm cho trước

*Phương pháp giải:

+ Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

y”+py’+qy=0

Xét phương trình đặc trưng:

K2 + pK + q = 0 (2)

-Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt K1,K2 thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

y=C1eK

1+C2eK

2 (C1,C2_ const) -Nếu phương trình (2) có nghiệm kép K1=K2 thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

y=(C1+C2)eK1x

-Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm phức liên hợp K1=α+βi, K2=α+βi thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

y=e αx(C1cosβx + C2cosβy)

+ Bước 2: tìm một nghiệm riêng nếu f(x)= e αxPn(x)

-Nếu α không là nghiệm của phương trình (2), nghiệm riêng có dạng:

Y=e αxQn(x)

-Nếu α là nghiệm đơn của phương trình (2), nghiệm riêng có dạng:

Y= xe αxQn(x)

-Nếu α là nghiệm kép của phương trình (2), nghiệm riêng có dạng:

Y= x2 e αxQn(x)

 Nghiệm phương trình: y=y+Y

Ví dụ:

Giải PT y”- 6y’ + 9y = 2x2

GIẢI:

y”- 6y’+9y = e0x 2x2

-Tìm nghiệm thuần nhất y” – 6y’ + 9y = 0

Xét phương trình đặc trưng : k2 - 6k + 9 = 0

k = 3 ( nghiệm kép )

 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

y= (C1x + C2).e3x

-Tìm một nghiệm riêng

f(x) = e0x 2x2

α =0 ; n=2

Vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên:

Y= e0x (Ax2 + Bx + C) = Ax2 + Bx + C

Y’= 2Ax + B Y”= 2A

Thay vào phương trình ban đầu ta có:

2A – 6(2Ax + B) + 9(Ax2 + Bx + C) = e0x.2x2

2A – 12Ax – 6B + 9Ax2 + 9Bx + 9C = 2x2

(9A – 2)x2 + (9B – 12A)x + 2A – 6B + 9C =0

Đồng nhất thức ta có:

{ 9 A=2

9 B−12 A=0

B= 827 C= 427

Nghiệm riêng: Y= 29x2+ 278 x + 274

Nghiệm phương trình: y= ( C1x+C2).e3x + 29x2 + 248 x + 274

4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng y’+ p(x)y = g(x) (1)

trong đó p(x), q(x) là các hàm của biến x

+ Nếu g(x)=0  PTVP thuần nhất

+ Nếu g(x)≠0  PTVP không thuần nhất

Khi đó nghiệm của phương trình (1) là:

Y=( ∫g(x).e∫p(x)dx +c) e−∫p(x)dx

*Phương pháp giải PTVP thuần nhất:

Biến phân ly (tách biến):

(1)y’= -p(x)y

dy dx= -p(x)y

dy y = -p(x)dx

Ta lấy tích phân 2 vế:

∫dy y =∫− p¿¿x)dx + C1

 ln|y| =∫− p¿¿x)dx + C1

 y =e∫−p(x)dx+C1

 y = e C1e∫− p( x)dx

 y =Ce∫− p( x)dx (C_const)

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

a) y’ -1+ x 2x2 y= 0

y =Ce∫− p( x)dx

y =Ce∫1 +x 2x2dx

y =Ce∫d(1+ x 1+ x22)

y =Ce ln (1+x2 )

y =C (1+x2 )

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y =C (1+x2 )

b) y’=1x¿y + xex - 2ex)

 y’=2 y x

 dy y =2dx x

 ln ¿y∨¿¿ = 2ln ¿x∨¿¿ + ln ¿C∨¿¿

 y = Cx2

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng y’=C(x)x2

Thay vào phương trình ta được C’(x)=(x−2)e x

x3 , suy ra:

C(x)=∫¿¿)dx=e x x2 + K

Với K=0, y’=ex

Vậy nghiệm của phương trình cần tìm là y=ex + Cx2

III Ứng dụng của phương trình vi phân

1 Một số mô hình toán học trong vật lí, cơ học, kĩ thuật:

• Định luật thứ hai của Newton về chuyển động

• Phương trình dao động của con lắc

• Phương trình chuyển động của hành tinh trong Hệ Mặt Trời

• Phương trình vi phân cho các mạch điện

• Phương trình phóng xạ

2 Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể: