slide thuyết trình MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘICHỦ ĐỀ :MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ... Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 7s.. 4.Ứ

ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

CHỦ ĐỀ :MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

THÀNH VIÊN

Phạm Minh Thảo(nhóm

trưởng)

Nguyễn Văn Thống

Nguyễn Khắc Tiến

Phạm Ngọc Toàn

Trương Việt Toàn

Vũ Khánh Toàn

Bùi Văn Trường

Nguyễn Minh Trí

Nguyễn Minh Tú

Hoàng Nguyên Tuấn Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Văn Tuấn

I Ứng dụng của đạo hàm

1 Định nghĩa

2 Ý nghĩa

3.Ứng dụng trong tính vận tốc, gia tốc

4 Ứng dụng trong xây dựng

5 Ứng dụng trong kinh tế

II Ứng dụng của cực trị

1 Định nghĩa, điều kiện

2 Phương pháp giải

3 Ứng dụng trong kinh tế

3

3 Ứng dụng vào tính các đại lượng tức thời

Vận tốc tức thời:

Ví dụ :

Người ta thả một vật rơi tự do và đo đạc có

được phương trình s = (1/2)gt2, trong đó g ≈

9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường Tính vận tốc

tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 7s.

Trả lời: Ta có vận tốc của chuyển động:

v = s’(t) = gt

Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại

thời điểm t = 7s là: v= 9,8.7 = 68,6 m/s

Gia tốc tức thời:

Ví dụ:

Một chiếc xe khách đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa khoảng 160km Người ta đo đạc và lấy được phương trình chuyển động của chiếc xe là S(t)= -+40t Như vậy ta có thể dễ dàng tính được vận tốc tức thời, gia tốc tức thời lúc t= 2h

-> V(t)= S’(t)= -2t+40 -> V(2)= 36 (km/h) -> a(t)= V’(t)= S’’(t)= -2

Một chuyển động thẳng có phương trình dạng s=at

là một

hàm số có đạo hàm, khi đó vận tốc tức thời xác

định bằng công thức

Với đạo hàm cấp hai ta có

là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

0

0

0

t t

s t s t

v t s t

t t









( )

f t 

( )

t

Ví dụ: Xét một cơ cấu chuyển động như sau: Thanh trượt AB dài 10m, đỉnh A trượt trên Oy, đỉnh B trượt trên Ox Giả

sử đỉnh B đang trượt ra xa gốc O với tốc

độ 1m/s(hình vẽ) Hỏi đỉnh A của thanh trượt trượt về gốc O với tốc độ như thế nào, khi B trượt tới điểm cách O là 6m

4.Ứng dụng trong xây dựng

Bài toán ví dụ :

Nhà Long muốn xây một hồ chứa nước có dạng một khối hộp chữ

nhật có nắp đậy có thể tích bằng 3 576m Đáy hồ là hình chữ nhật

có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá tiền thuê nhân công để xây hồ

tính theo 2 m là 500.000 đồng/m2 Hãy xác định kích thước của

hồ chứa nước sao cho chi phí thuê nhân công là ít nhất và chi phí

đó là bao nhiêu?

Lời giải Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của

hồ chứa nước,(x>0, y>0, h>0, m)

Ta có : =2 y=2x

Thể tích hồ nước là :V= xyh h = = =

Diện tích cần xây dựng hồ chứa nước :

S(x)= 2xy + 2xh + 2yh = 4x2 + + = 4 +

Để chi phí nhân công là ít nhất thì diện tích cần xây dựng

là nhỏ nhất, mà vẫn đạt thể tích như mong muốn

Bài toán trở thành tìm x để S (x) nhỏ nhất

S(x) =4 + S’(x)=0 8x- =0 x=6

BBT

Vậy kích thước của hồ là: rộng 6m, dài 12m, cao 8m Diện tích cần xây: 432m2

Chi phí ít nhất là 432x500000= 216000000 (đồng)

5.Ứng dụng trong kinh tế

Ví dụ 1:

Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa

đó trong thị trường nội địa là Q D = 4200 — P và Q S = -200 + P.Giá bán trên thị trường quốc tế + chi phí nhập khẩu của một đơn vị hàng là P0 = 1600 Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu

để thu được nhiều thuế nhập khẩu nhất

Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu Và Q là

lượng hàng cần phải nhập khẩu Khi đó để tiêu thụ hết hàng

nhập khẩu thì:

Q = Q d — Q S = (4200—P) — (—200 + P) = 4400—2P

Doanh thu:

R = P.Q = P(4400—2P)

Chi phí:

C = P 0 Q = 1600(4400 — 2P)

Tổng thuế nhập khẩu phải nộp:

T = t.Q = t (4400 — 2P)

 P = 1900 + t/2

π “= —4 < 0 nên p đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá P =

1900 + t/2

Khi đó tổng thuế là: T= t.Q = t.(4400-2P) = t(600-t)

T' = 600 — 2t

 T' = 0

 t = 300

 T" = —2 => hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 300

Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó sẽ là P = 1900 +300:2=2050

Lợi nhuận:

π = R — C — T = (4400 — 2P)(P —1600 — t)

=> π’= -2(P-1600-t) + (4400-2P) = 7600-4P+2tP-1600-t) + (4400-2P) = 7600-4P+2t) + (P-1600-t) + (4400-2P) = 7600-4P+2t4400-2P) = 7600-4P+2t) + (4400-2P) = 7600-4P+2t

=> π’=0 =>7600+2t) + (4400-2P) = 7600-4P+2t-4P = 0

Ví dụ 2 Cho một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của

hàng hóa đó trong thị trường nội địa là Q d = 4200 — P và Q s = —200 + P.Giá bán trên thị

trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một đơn vị hàng) là P0 = 3200 Tìm mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để thu được nhiều thuế xuất khẩu nhất

Gọi t là mức thuế định trên một đơn vị hàng xuất khẩu

Và Q là lượng hàng xuất khẩu

P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng đó để xuất khẩu

Khi đó lượng hàng có thể xuất khẩu là:

Q = Q S - Qd =-200 + P - (4200 - P) = 2P - 4400

Doanh thu:

R = P 0 Q = P 0(2P - 4400) = 3200(2P - 4400)

Chi phí:

C = P.Q = P(2 P - 4400)

Tổng thuế nhập khẩu phải nộp:

T = t.Q = t (2P - 4400)

Lợi nhuận:

π = R - C - T = (2P - 4400)(3200 - P - t) π’ = 2(3200 - P -1) - (2P - 4400) = 10800 - 2t - 4P

=> π’ = 0 => 10800 – 2t) + (4400-2P) = 7600-4P+2t - 4P = 0

 P = 2700 – t/2

π " = -4 < 0 nên P đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá P = 2700 -t/2

Khiđótổngthuế:T=t.Q=t.(2P-4400)=t.[2.(2700-t/2)-4400]=t.(1000-t)

T ' = 1000-2t T' = 0 => t = 500 T" = -2 => hàm T đạt cực đại tại mức thuế t = 500

Giá bán trên thị trường nội địa lúc đó sẽ là: P = 2700 – 500:2 = 2450

3

2 Phương pháp tìm cực trị

3.Ứng dụng trong kinh tế

Bài toán cực trị tự do: tối đa hóa lợi nhuận sản phẩm.

VD1: Xét doanh nghiệp cạnh tranh thuần tuý sản xuất 2 loại sản phẩm với giá bán lần lượt là: p 1=160,

p2=120(nghìn VNĐ).Chi phí mà doanh nghiệp cần bỏ ra là:

C=3Q1 2+2Q1Q2+2Q22

Hãy xác nhận cơ cấu sản xuất (Q1, Q2) để lợi nhuận doanh nghiệp thu được là tối đa

Giải

Bài toán dẫn tới cần tìm cực trị của hàm lợi nhuận:

 =160Q1+120Q2-(3Q1 2+2Q1Q2+2Q22)

=-3Q12-2Q22+160Q1+120Q2-2Q1Q2 (1)

Q1’=0 -6Q1-2Q2+160=0 Q1=20 (1) đạt cực trị tại =>  

 Q2’=0 -2Q1-4Q2+120=0 Q2=20

Tại (Q1, Q2)=(20,20) ta có:

A= Q1Q1 ”=-6; B=Q1Q2”=-2; C=Q2Q2”=-4

 B2-4AC=-92<0, A<0

Vậy, hàm lợi nhuận đạt cực đại tại (Q1, Q2)= (20,20) với doanh thu =3940(nghìn VNĐ) đạt giá trị cao nhất

Ví dụ 2: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: C=Q1 2+2Q1Q2+Q22+20 (nghìn VNĐ) Cho biết hàm cầu đối với các sản phẩm đó như

sau:Q1=25-0,5p 1, Q2=30-p 2 Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 cho lợi nhuận tối đa

Lập hàm lợi nhuận:  = p1Q1 + p2Q2 – C =(50-2Q1)Q1+(30-Q2)Q2-(Q1 2+2Q1Q2+Q22+20) = -3Q12-2Q22-2Q1Q2+50Q1+30Q2-20 (1)

Giải

Q1’=0 -6Q1-2Q2+50=0 Q1=7 (1) đạt cực trị tại:  

 Q2’=0 -2Q1-4Q2+30=0 Q2=4

Tại (Q1, Q2)=(7, 4) ta có:

A= Q1Q1 ”=-6; B=Q1Q2”=-2; C=Q2Q2”=-4

 B2-4AC=-92<0, A<0

Vậy, hàm lợi nhuận đạt cực đại tại (Q1, Q2)= (7,4) với doanh thu =215(nghìn VNĐ) đạt giá trị cao nhất và giá cho lợi nhuận tối đa là (p1,p2)=(36,26) (nghìn VNĐ)

Bài toán cực trị có điều kiện: tối đa hóa lợi ích tiêu dùng

Ví dụ: Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích u = x0,4.y0,9 Trong điều kiện giá của hàng hóa thứ nhất là 2 triệu đồng, giá của hàng hóa thứ hai là 5 triệu đồng và thu nhập dành cho tiêu dùng là 120 triệu đồng Hãy xác định giỏ hàng đem lại lợi ích tối đa cho người tiêu dùng

Giải:

Bài toán trên thực chất là bài toán cực trị có điều kiện:

Tìm (x, y) sao cho hàm số u=x0,4.y0,9 đạt cực đại với điều kiện:

2x+5y=120

- Lập hàm Lagrange: L = x0,4.y0,9 + λ(120-2x-5y)

- Giải điều kiện cần:

+ Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và 2:

Lx’=0 0,4x-0,6.y0,9-2λ=0

Ly’=0 0,9x0,4.y-0,1-5λ=0

Lλ’=0 2x+5y=120

Chia theo vế hai phương trình đầu trong hệ, ta được: y = 6x Thay y = 6x vào PT thứ 3, ta được: 2x + 5.6x = 120

=> x=10; y=20; λ=0,18.100,4.20-0,1

Vậy có một điểm dừng duy nhất là:M(10,60);λ=0,18.100,4.20-0,1

-Kiểm tra điều kiện đủ:

+ Tính định thức cấp 3:

0 gx’ gy’ 0 2 5 H= gx’ Lxx” Lxy” = 2 Lxx” Lxy” = 20Lxy” - 25Lxx” - 4Lyy”

gy’ Lyx” Lyy” 5 Lyx” Lyy”

Vì Lxy”=0,9y-0,1.0,4x-0,6>0; Lxx”=-0,24x-0,6.y-0,1<0; Lyy”= 0,9x0,4 (-0,1)y1,1<0

 H>0 với mọi x,y,λ Như vậy, điểm dừng M(10,20) là điểm cực đại

Kết luận: Giỏ hàng cho lợi ích tối đa là (x, y) (10,20)

Kết luận:

*Hiểu được ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc, gia tốc.

*Ứng dụng được đạo hàm vào các bài toán xây dựng, kinh tế.

*Hiểu được ứng dụng của cực trị để tính các bài toán kinh tế