Chủ đề một số ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến một số ứng dụng của tích phân hàm nhiều biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN TOÁN KỸ THUẬT BS6004 CHỦ ĐỀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN & MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN H[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: TOÁN KỸ THUẬT BS6004

CHỦ ĐỀ: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN & MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH

PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Sinh viên thực hiện :

Hà Nội, tháng năm

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU………

…… 2

CÁO……… 3

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

PHẦN KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN MỞ ĐẦU

Toán học nói chung và toán giải tích nói riêng có những ứng dụng đa dạngtrong nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt trong khoa học kinh tế.Các nghiên cứu và phân tích kinh tế về mặt định lượng thường được tiến hành thông qua các quy mô kinh tế toán Vì thế các nhà nghiên cứu ngàycàng có nhu cầu sử dụng nhiều hơn các công cụ toán học, đặc biệt là côngcụ giải tích Đề tài báo cáo đề cập đến một số ứng dụng của cực trị hàm nhiềubiến Việc tìm hiểu những kiến thức này là hoàn toàn cần thiết và hữu ích.Giúp hiểu sâu hơn về các công cụ giải tích, tối ưu hóa và vận dụng tốt hơntrong thực tiễn giảng dạy toán cho các đối tượng kinh tế Các nội dung được đề cập đến trong bài báo cáo không qua hìnhthức mà gần gũi với tư duy kinh tế, với nhiều ứng dụng minh họa cụ thể,vẫn giữ được tính chính xác, chặt chẽ

về mặt toán học Bài toán cực trị là bài toán rất quan trọng trong giải tích toán học vàcó nhiều ứng dụng khác nhau trong toán học và cũng như trong nhiềunhành khoa học khác như: kinh tế, khoa học công nghệ, …Để giải bài toán cực trị hàm nhiều biến có rất nhiều phương phápkhác nhau Mục đích của bài báo cáo là giới thiệu và đưa ra phương phápgiải, cho bình luận đồng thời đưa ra một số ứng dụng cơ bản

PHẦN NỘI DUNG BÁO CÁO

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM

NHIỀU BIẾN

I Cực trị không có điều kiện

1.1 Định nghĩa

Hàm số z=f(x,y) đạt cực trị tại M(x0,y0) Nếu tại mỗi điểm M(x,y) khá gần nhưng khác M, thì hiệu∆f=f(x,y)−f(x0,y0) có dấu không đổi

- Nếu∆f < 0 thìf(x0,y0) là giá trị cực đại và M0 là điểm cực đại của hàmz=f(x,y)

- Nếu∆f >0 thì f(x0,y0)là giá trị cực tiểu và M0 là điểm cực tiểu của hàm số z=f(x,y)

Vì x2 + y2 >0với mọi (x, y) thuộc cận điểm (0, 0)

1.2 Định lý

a) Điều kiện cần

Nếu hàm số z=f(x,y) đạt cực trị tại điểm M0(x0,y0) và tại đó hàm số có các đạo hàm riêng thì f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0

Điểm M0(x0,y0) thỏa mãn f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0 được gọi là điểm dừng Điểm dừng

M0 có thể không là điểm cực trị của hàm số

→Nhận xét 1: Từ định lý trên ta suy ra: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng của nó, nên để tìm các điểm cực trị ta chỉ cần tìm trong số các điểm dừng → Nhận xét 2: Một điểm là điểm dừng của hàm số thì chưa chắc là điểm cực trị Cho nên cần xétđiều kiện đủ để một điểm dừng là điểm cực trị

b) Điều kiện đủ

Giả sử z=f(x,y) có điểm dừng là Mo và có các đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận của điểm M0

Đặt A=f } rsub {{x} ^ {2}¿ (M0), B= f } rsub {xy¿(M0), C= f } rsub {{y} ^ {2}¿ (M0)

3 Khi đó:

− Nếu {B2−AC <0

A >0 =>f(x,y) đạt cực tiểu tại M0

− Nếu {B2−AC <0

A <0 =>f(x,y) đạt cực đại tại M0

− Nếu B2− AC>0 =>f(x,y) không có cực trị tại M0

− Nếu B2− AC=0 chưa có kết luận ( M0 là điểm nghi ngờ)

c) Qui trình giải bài toán tìm cực trị hàm số z=f(x,y)

Bài toán: Tìm cực trị : z= f(x,y) trên miền D R2

 Bước 1: Tìm điểm dừng, xét hệ: {f ' x=0

f ' y=0

=>Tọa độ M(x0, y0)

 Bước 2: Đặt A= f”x2 ; B= f”x ; C=f”y

Bảng dấu

B2-AC Dấu A Kết luận

 Bước 3: Kết luận cực trị của hàm số

VD: z = -x3+2 y4+6 x2−9 x+8 y

Giải:

- Tìm điểm dừng bằng việc xét hệ:

{f ' x=0

f ' y=0 →{−3 x2+12 x−9=0

8 y3 +8=0 →{x=3; x=1

y=−1

Đặt A=f } rsub {{x} ^ {2}} =-6x+1¿ ; B=f } rsub {xy} =¿ ;C=

f } rsub {{y} ^ {2}} =24 {y} ^ {2¿

Ta có: B2-AC=0-(-6x+12).24y

Với M1(3;-1) →A=-6 , C=2

4

B2-AC=0-(-6).24=144>0

→M1 không là điểm cực trị

Với M2(1;-1) →A=6 , C=24

B2-AC=0-6.24=-144<0

A=6>0

→M2 là điểm cực tiểu

ZCT = -10

2.1 Định nghĩa

Ta nói hàm số z=f(x,y) đạt cực đại ( cực tiểu) tại điểm M0(x0, y0) với điều kiện g(x,y)=0 Nếu tồn tại một lân cận D của điểm M0 sao cho f(M)<f(M0)(f(M)>f(M0)) với mọi điểm

M∈D , M≠M0, g(M)=0

2.2 Điều kiện có cực trị

a) Điều kiện cần

Giả sử M0(x0,y0) là điểm cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0

Trong đó f(x,y),g(x,y) là các hàm số có các đạo hàm riêng liên tục

Khi đó tồn tại số λsao cho:

¿ (1)

Số λ được gọi là nhân tử lagrange

Hàm số L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) được gọi là hàm Lagrange

b) Điều kiện đủ

Giả sử điểm M0(x0, y0) thỏa mãn (1) ứng với nhân tử λ0 Ta gọi M0 là điểm dừng bài toán cực trị có điều kiện Ta chuyển bài toán tìm cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0 thành bài toán cực trị không điều kiện của hàm Lagrange

Xét biểu thức :

det H= 2g' x g' y L ' ' xy− ¿

5 Khi đó:

Nếu det(H(M0))>0 thì M0là điểm cực đại của hàm số

Nếu det(H(M0))<0 thì M0 là điểm cực tiểu của hàm số

Nếu det(H(M0))=0 thì chưa có kết luận về tính cực trị của hàm số tại điểm

M0

2.3 Các bước tìm cực trị có điều kiện

Bài toán:

Tìm cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=0

 Bước 1: Lập hàm lagrange

L(x , y , λ) = f( x,y) + λg(x,y)

 Bước 2: Tìm điểm dừng, xét hệ:

L' y=0

L ' z=0

→ Tọa độ M

 Bước 3: Xét

det H= 2g '

x g '

y L ''

xy− ¿

 Nếu det H>0→M là điểm cực đại

 Nếu det H<0→M là điểm cực tiểu

 Nếu det H=0→Chưa có kết luận

 VD1: Tìm cực trị của hàm số :

f(x,y) = 3x2+5xy với điều kiện x+y=16

Giải:

Đặt g(x,y)=x+y-16

Xét hàm Lagrange

L(x,y,λ)= 3x2+5xy+ λ(x+ y−16)

Tìm điểm dừng bằng việc xét hệ:

6

L' y=0

L ' λ=0 {6 x+5 y+λ=0(1)

5 x+λ=0(2)

x+ y−16=0 (3)

Từ (1), (2) ta có:

x=−λ5 , y= λ

25 thay vào (3) ta có:

−λ

5 + λ25−16=¿0

→−4 λ25 =16

→ λ=−100

Với λ=−100 → x= 20, y=-4

→M(20,-4)

Xét det H= 2g' x g' y L' ' xy− ¿

Trong đó g ' x =1,g' y =1,L } rsub {xy} =5 , {L y2=0, L} rsub {{x} ^ {2}} =¿

→det H = 2.1.1.5 = 10 >0

→M(20,-4) là điểm cực đại và ZCĐ = 800

VD2: Tìm cực trị của hàm số z = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1 Giải

Đặt g(x,y) = x2 + y2 – 1

Xét hàm Lagrange

L(x,y,λ) = 6 - 4x – 3y + λ(x2 + y2 – 1)

Tìm điểm dừng bằng việc xét hệ:

{L ' x=0

L ' y=0

L ' λ=0

 {−4+2 λx=0(1)

−3+2 λy=0(2)

x2+ y2=1(3)

Từ (1) và (2) ta có :

x= 2λ , y=2λ3 thay vào (3) ta có :

7

4

λ2 + 9

4 λ2 =1

− ¿> λ=± 5

2¿

Với λ = 52thì x = 45 , y=35

Do đó M1 ( 45, 35)

Với λ = −52 thì x= −45 , y= −35

Do đó M2 ( −45 ,−35 )

Xét det H= 2g' x g' y L' ' xy− ¿

Trong đó g' x =2x ,g' y =2 y ,L} rsub {xy} =0 , {L y2=2 λ ,L} rsub {{x} ^ {2}} =2¿

Do đó det H= -8λ(x2+ y2 ¿

Vậy tại M1 thì det H = -20 < 0 , hàm số đạt cực tiểu và zct = 1

M2 thì det H = 20 > 0 , hàm số đạt cực đại và zcđ = 11